Masas ietekme uz orbitālo ātrumu

- [Instruktors] Satelīts ar masu mazais m riņķo ap Zemi

ar rādiusu lielais R un ātrumu v nulle, kā parādīts zemāk.

Tā masa ir mazais m.

Aerokosmiskais inženieris nolemj palaist otru satelītu,

kura masa ir divreiz lielāka, tajā pašā orbītā.

Tā pati orbīta, tātad šis rādiuss joprojām

būs lielais R.

Un šim satelītam, otrajam satelītam,

ir masa 2m.

Zemes masa ir M.

Šī ir Zeme, lielais M.

Kāds ir smagākā satelīta ātrums, mazais v,

izteikts ar v nulle?

Un ātrumu tu vari uzskatīt par ātruma vektora moduli,

tāpēc to apzīmē ar mazo burtu v,

bez vektora simbola virs tā.

Tas, ko mēs mēģinām noskaidrot,

ir tā ātruma modulis, lai tas noturētos orbītā.

Ar ko būs vienāds mazais v?

Apturi šo video un pamēģini to izrēķināt

pats.

Labi, lai to atrisinātu, atceries galveno iemeslu,

kāpēc kaut kas paliek orbītā, nevis vienkārši pārvietojas

pa taisnu līniju kosmosā, ir tas, ka pastāv

nemainīga moduļa centrtieces paātrinājums,

vērsts uz Zemes centru, kas turpina griezt,

varētu teikt, satelītu pa šo riņķveida trajektoriju.

Un no citiem video mēs zinām, ka modulis

mūsu centrtieces paātrinājumam būs vienāds

ar mūsu ātruma moduli,

un es izmantošu šo pirmo satelītu,

tātad tā ātruma modulis kvadrātā, dalīts

ar mūsu rādiusu, kas šajā gadījumā ir lielais R.

Bet kas nosaka mūsu centrtieces paātrinājumu?

Mēs varam izmantot Ņūtona vispasaules gravitācijas likumu.

Ja mēs domājam par gravitācijas spēka moduli,

tas būs vienāds ar G,

kas ir universālā gravitācijas konstante,

reizinātu ar abu masu reizinājumu,

starp kurām darbojas spēks,

tātad reizinājumu no Zemes masas, lielais M,

un šī satelīta masas.

Pagaidām es pievērsīšos šim satelītam,

dalītu ar attālumu starp to masas centriem

kvadrātā.

Šajā gadījumā tas ir R, lielais R, kvadrātā.

Un, ja tu gribētu iegūt centrtieces paātrinājumu,

tev vienkārši spēks būtu jādala ar masu.

Atceries no otrā Ņūtona likuma,

mēs zinām, ka F = ma.

Ja mēs runājam par centrtieces paātrinājumu,

to izraisa gravitācijas spēks.

Un, ja tu gribi aprēķināt centrtieces paātrinājumu,

vienkārši abas puses dali ar m.

Tātad mūsu centrtieces paātrinājums šeit,

ja tu dali mūsu gravitācijas spēku ar mazo m,

ar satelīta masu,

mūsu centrtieces paātrinājums būs

universālā gravitācijas konstante, reizināta ar Zemes masu,

dalīta ar rādiusu kvadrātā.

Mēs varam ņemt šo un ievietot

to atpakaļ šeit un aprēķināt

mūsu ātruma moduli.

Sanāks, ka universālā

gravitācijas konstante, reizināta ar Zemes masu,

dalīta ar rādiusu kvadrātā, ir vienāda ar

mūsu ātruma moduli jeb ātrumu kvadrātā,

dalītu ar lielo R.

Tagad var abas puses reizināt ar R,

un es arī samainīšu puses vietām,

un sanāks, ka v nulle kvadrātā būs

vienāds ar lielais G reiz lielais M dalīts ar R.

Vai, ja tu izvelc kvadrātsakni no abām pusēm,

tu iegūsti, ka v nulle ir vienāds ar kvadrātsakni no

universālās gravitācijas konstantes,

reizinātas ar Zemes masu, dalītas ar attālumu

starp masas centriem.

Interesanti ir tas, ka,

mēs redzam, ka šis ātrums, kas nepieciešams, lai uzturētu šo orbītu,

nekādā veidā nav atkarīgs no šī satelīta masas.

Es neredzu mazo m nekur šajā izteiksmē

labajā pusē.

Un, tā kā tas nav atkarīgs no masas

objektam, kas atrodas orbītā,

ja tu dubulto masu, ja tu pārej no mazā m

uz 2m,

tas nemaina nepieciešamo orbitālo ātrumu.

Kāds ir smagākā satelīta ātrums v,

izteikts ar v nulle?

Tas būs tāds pats.

Mēs varam rakstīt, ka v ir vienāds ar v nulle.

Nav svarīgi, ko tu dari ar masu šeit,

tev būs nepieciešams tāds pats orbitālais ātrums.