Vairāk par otro Ņūtona likumu

- [Instruktors] Ja tu saskaries

ar sarežģītu otrā Ņūtona likuma uzdevumu,

tev būs nepieciešama padziļināta izpratne

par otro Ņūtona likumu.

Tieši to es centīšos tev šeit sniegt,

lai neatkarīgi no tā, ar kādu situāciju tu saskaries,

tu varētu šo likumu pareizi pielietot.

Lielākā daļa cilvēku zina, ka otrais Ņūtona likums ir F = ma,

kas ir labi, tas ir vienkāršs veids, kā to saprast,

un tas der vienkāršiem uzdevumiem.

Ja man, piemēram, būtu asteroīds ar masu m,

atklātā kosmosā, kur nav ne gaisa pretestības, ne berzes,

un uz to darbotos tikai viens spēks F,

un šis spēks būtu vērsts pa labi,

pieņemsim, ka šis spēks bija 50 ņūtoni,

es varētu ievietot 50 ņūtonus spēka vietā,

es varētu ievietot asteroīda masu,

pieņemsim, ka tā ir 10 kilogrami, masas vietā,

un es atrastu asteroīda paātrinājumu,

šajā gadījumā 50 dalīts ar 10 man dotu 5

metrus sekundē kvadrātā.

Bet, kas notiktu, ja uz šo asteroīdu darbotos papildu spēki?

Kas, ja būtu vēl viens spēks, kas vērsts pa kreisi,

un tas būtu 30 ņūtoni?

Apzīmēsim, nosauksim tos tagad.

Nosauksim šo par F1, šos 50 ņūtonus,

pieņemsim, ka tas ir šī spēka modulis,

pieņemsim, ka F2 ir 30 ņūtonu spēka modulis,

tas ir vērsts pa kreisi, jā, tas ir negatīvais virziens,

bet pieņemsim, ka šie spēki šeit

tikai norāda to moduli,

un virzienu norāda

bultiņas virziens.

Ko es tagad darītu?

Lai ar to tiktu galā, mums jāsaprot,

ka kreisajā pusē nav tikai spēks,

tas ir kopspēks.

Vai arī to var saukt par spēku summu.

Lai apzīmētu kopspēku,

mēs bieži rakstām grieķu burtu sigma,

un sigma ir matemātisks simbols,

kas apzīmē summu tam, kas seko pēc tā.

Tātad šī ir spēku summa.

Jo F ir pēc tā.

Ja man būtu G, tā būtu G summa,

un ja man būtu H, tā būtu H summa.

Un tas jau ir nedaudz mulsinoši.

Cilvēki fonētiski dzird "sum of" (angļu val. - summa no),

un viņi domā - ak, dažreiz viņi domā, nu, daži no?

Piemēram, daži?

Nē, nē, nē, mēs domājam visus, visus spēkus.

Tieši to tas nozīmē.

Tu saskaiti visus spēkus, un tas būs vienāds ar

masu, reizinātu ar paātrinājumu.

Šajā gadījumā mēs ņemtu šos 50 ņūtonus,

es varu ņemt 50 ņūtonus, jo tas ir pa labi,

un, es domāju, mēs varam virzienu pa kreisi saukt par pozitīvu,

ja mēs to tiešām gribētu, ja būtu labs iemesls,

bet, ja nav norādīts citādi,

mēs vienkārši izvēlēsimies virzienu pa labi kā pozitīvu

un virzienu uz augšu kā pozitīvu, tātad šiem 50 ir jābūt pozitīviem.

Un es nevaru tagad, ar spēku summu, es saskaitu spēkus,

bet man tie jāsaskaita kā vektori.

Šis spēks šeit ir vektors.

Spēki ir vektori, un tāpēc man tie jāsaskaita kā vektori.

Šis ir vektoru vienādojums.

Es nevaru vienkārši saskaitīt 50 + 30, lai iegūtu atbildi,

jo vektorus, kas vērsti pa kreisi,

mēs uzskatīsim par negatīviem,

un vektorus, kas vērsti pa labi, mēs uzskatīsim par pozitīviem,

tāpēc es ņemšu 50 ņūtonus mīnus 30 ņūtonus.

Tas būs vienāds ar

masu, reizinātu ar paātrinājumu,

es varētu ievietot 10 kilogramus, ja vēlētos,

reizināt ar a, un šajā gadījumā es iegūtu

20 dalīts ar 10 ir 2 metri sekundē kvadrātā.

Tātad tie jāsaskaita kā vektori,

un, ja man būtu vairāk spēku, ar tiem būtu tikpat viegli tikt galā,

es varu tos vienkārši saskaitīt kā vektorus.

Ja man šeit būtu vēl viens spēks, kas varbūt bija,

tas ir varbūt 25 ņūtoni, mēs to sauksim par F3.

Un pieņemsim, ka ir vēl viens spēks, kas vērsts pa kreisi,

šis būs 40 ņūtoni, tātad mums būs

40 ņūtoni pa kreisi, mēs to sauksim par F4,

nu, es varu tos vienkārši turpināt iekļaut.

Es varu tos vienkārši saskaitīt kā vektorus,

40 ņūtonu spēks ir vērsts pa kreisi,

tāpēc tam jābūt negatīvam,

es likšu mīnus 40 ņūtoni,

un tad šie 25 ir vērsti pa labi,

es to padarīšu par pozitīvu, tātad plus 25 ņūtoni,

un es varu atrast savu kopējo spēku, savu kopspēku,

manu spēku summu, un tas man ļautu

aprēķināt paātrinājumu.

Tomēr te ir viena problēma.

Daudzreiz fiziķiem vairs nepatīk šādi rakstīt,

vismaz fiziķiem, kuri interesējas par izglītību,

tik ļoti nepatīk šī otrā Ņūtona likuma forma,

daudziem no viņiem nepatīk,

un iemesls ir nepareizs priekšstats, kas rodas studentiem.

Viņi domā, ka, zīmējot spēkus šeit,

m reiz a arī ir spēks.

Viņi grib uzzīmēt papildu spēku, kas darbojas uz šo asteroīdu,

varbūt tas ir vērsts pa labi,

kas ir masa reiz paātrinājums.

Bet masa reiz paātrinājums nav spēks.

Masa reiz paātrinājums ir tikai tas, kam kopspēks

ir vienāds.

Ja tu saskaiti visus kopspēkus, vai, atvainojiet,

ja tu saskaiti kopspēku, kas darbojas uz objektu,

kas ir visu uz objektu darbojošos spēku saskaitīšana kā vektorus,

tas būs vienāds ar ma, tas ir vienāds ar ma.

Bet ma pats par sevi nav spēks,

tāpēc to nevar zīmēt kā spēku,

neko no tā nezīmējiet, tas nav spēks,

tas ir tikai tas, kam ir vienāda spēku summa.

To saprotot, fiziķi teica: "Ak, labi,

tas rada neskaidrības,

tāpēc uzrakstīsim tikpat labu formu

otram Ņūtona likumam algebras izteiksmē,

bet tādu, kas arī neļauj cilvēkiem

tik viegli krist šī nepareizā priekšstata lamatās,

un šī alternatīvā otrā Ņūtona likuma versija

izskatās šādi.

Paātrinājums ir vienāds ar kopspēku, dalītu ar masu.

Un tu varētu teikt, un kas par to?

Mēs vienkārši abas puses izdalījām ar masu, kam tas rūp?

Lūk, kāpēc tā ir labāk.

Jo cilvēki daudz retāk domā,

ka paātrinājums pats par sevi ir spēks.

Viņi daudz retāk teiks: "Ak,

paātrinājums ir spēks šeit,

es domāju, cilvēki varētu tā darīt, bet ir mazāk ticams.

Paātrinājums nav spēks, tas ir vektors,

bet tas nav spēka vektors.

Un vēl viens iemesls, kāpēc šis vienādojums ir labs,

tas parāda mums attiecību atkarību

paātrinājumam, tas parāda, ka kopspēks

ir tas, kas mums dod paātrinājumu,

un jo lielāks kopspēks mums ir,

jo lielāks ir paātrinājums.

Tas parāda, ka paātrinājums ir proporcionāls

kopspēkam jeb spēku summai.

Un tas parāda, ka paātrinājums

ir apgriezti proporcionāls masai.

Tātad, jo lielāka masa, jo mazāks paātrinājums.

Tas ir vēl viens iemesls, kāpēc šis vienādojums ir labs,

tas parāda, no kā paātrinājums faktiski ir atkarīgs

attiecībā uz kopspēku un masu.

Šeit ir vēl viena problēma.

Tas ir labāk, tas jau ir labāk,

tagad mēs zinām, ka tas ir kopspēks, tagad mēs varam to rakstīt šādi

un nepieļaut kļūdu, domājot, ka ma ir spēks.

Tomēr ir problēma.

kas notiktu, ja es šeit pievienotu vēl vienu spēku?

Pieņemsim, es pievienoju spēku, kas vērsts uz leju.

Pieņemsim, ka šis spēks ir 28 ņūtoni,

un šis ir F4, nu, F4 mēs jau izmantojām, šis ir F5.

Mums ir F5, 28 ņūtoni uz leju,

tu varētu domāt: "Ak, es zinu, kā ar to tikt galā",

vai es nevaru vienkārši ielikt šos 28 šeit

un uzrakstīt to kā mīnus 28, jo tas ir uz leju,

vai es nevaru vienkārši ielikt mīnus 28 turpat

un izrādās, ka to nevar darīt.

Tas nav atļauts,

un iemesls ir tāds pats, kāpēc mēs nevarējām saskaitīt 50 + 30,

jo mēs tos saskaitām kā vektorus,

un virziens pa kreisi nozīmēja negatīvu, bet pa labi - pozitīvu,

mēs nevaram ņemt vertikālu spēku un vienkārši pieskaitīt tā moduli,

vai atņemt to no moduļa

horizontālajam spēkam.

Tas nav atļauts,

horizontāla un vertikāla spēka summa

nebūs vienāda ar summu,

vai starpību, no to moduļiem.

Es saku šo.

Padomā par to šādi: ja tev būtu noteikts spēka lielums

pa labi,

un noteikts spēka lielums uz augšu,

to summa nebūtu vienāda ar

šī lieluma un šī lieluma summu,

tev tie būtu jāsaskaita, izmantojot Pitagora teorēmu.

Šādi saskaitot vektorus, tu iegūtu šo vektoru.

Tas būtu tavs kopējais vektors.

Tev būtu jāizmanto a kvadrātā plus b kvadrātā ir vienāds

ar kopspēka kvadrātu starp šiem diviem vektoriem,

un tu varētu domāt: "Ak, lieliski,

es negribu šeit nodarboties ar trigonometriju".

Un izrādās, ka tev tas nav jādara, vismaz ne vēl.

Ja šie ir vienīgie spēki, kas mums ir,

mums tas nav jādara šādā veidā,

es tikai cenšos parādīt, ka tu nevari vienkārši

naivi saskaitīt 50 mīnus 28 un gaidīt,

ka iegūsi pareizu atbildi.

Bet lūk, ko tu varētu darīt.

Tu varētu ņemt tikai horizontālos spēkus,

vispirms tikt ar tiem galā horizontālajā virzienā.

Un tikai vertikālos spēkus, un tikt ar tiem galā

vertikālajā virzienā,

tas ir tas pats triks, ko mēs, fiziķi, vienmēr izmantojam,

mēs sakām: "Labi, sadalīsim un valdīsim",

mēs ņemsim visus horizontālos spēkus

un ievietosim tos savā vienādojumā,

jo horizontālajiem spēkiem vajadzētu ietekmēt tikai

horizontālo paātrinājumu.

Ja es gribu tikai horizontālo paātrinājumu,

es varu ņemt tikai horizontālos spēkus, tos saskaitīt,

un iegūt horizontālo paātrinājumu.

Vai arī es varētu ņemt tikai vertikālos spēkus.

Saskaitot tos, es iegūtu vertikālo paātrinājumu.

Ņemot to vērā, es izveidošu vienādojumu

katram virzienam atsevišķi,

un es zinu, ka varu atrast katru komponenti

paātrinājumam, izmantojot tikai spēkus

šajā konkrētajā virzienā.

Tas ir labs triks,

mēs aplūkosim katru virzienu atsevišķi.

Un tad, ja mēs patiešām gribētu, teiksim,

pieņemsim, ka tie bija paātrinājuma vektori,

pieņemsim, ka mēs gribējām kopējo paātrinājumu,

iepriekš mēs runājām par spēkiem,

bet visi vektori tiek saskaitīti vienādi.

Tu vari izmantot Pitagora teorēmu.

Ja tu aprēķini a x virzienā,

kopējo paātrinājumu x virzienā,

un tu aprēķini kopējo paātrinājumu

y virzienā,

tu varētu aprēķināt kopējo paātrinājumu,

tā moduli, atkal

izmantojot Pitagora teorēmu, un tas ir tikai veids,

tas ir parocīgs veids, kā tikt galā ar šiem spēkiem,

kas vērsti dažādos virzienos.

Ļaujiet man šeit pievienot vēl vienu spēku, tikai tāpēc,

lai mums būtu viens, kas vērsts uz augšu,

un tad mums būs visi iespējamie virzieni.

Labi, tātad, ja šis spēks F, kurš mums ir pēc kārtas, sestais,

būs, varbūt apmēram 42,

tas ir labs skaitlis, ņūtoni uz augšu,

kā mēs ar to tiksim galā?

Mēs jau tikām galā ar x virzienu.

Šis bija x virziens, tas mums dod visus spēkus

x virzienā,

kas ir vienāds ar masu reiz paātrinājumu x virzienā,

tas nav uzrakstīts šādā formā,

tas ir vienkārši reizināts ar 10 labajā pusē,

nevis dalīts šeit, bet šī ir formula,

ko var izmantot, lai saistītu spēkus x virzienā

ar paātrinājumu x virzienā.

Būtībā mēs vienkārši ņemam visus šos spēkus,

ievietojam tos kopspēkā x virzienā,

dalām ar masu un atrastu

paātrinājumu x virzienā.

Y virzienam mēs varētu teikt,

ka paātrinājums y virzienā

būtu kopspēks y virzienā,

kā mēs ar to tiktu galā,

tikai vertikālie spēki ietekmēs

vertikālo paātrinājumu.

Es varu ņemt šo F6, kas ir 42 ņūtoni,

tas ir vērsts uz augšu, mēs to uzskatīsim par pozitīvu,

jo mums nav laba iemesla

uzskatīt virzienu uz leju par pozitīvu,

42 uz augšu, un tā ir pieņemtā konvencija,

42 mīnus 28, 28 ir vērsts uz leju,

mēs to parasti izvēlamies kā negatīvo virzienu,

tagad mēs varam dalīt ar masu.

Mēs dalīsim ar 10 kilogramiem,

tas mums dos paātrinājumu vertikālajā virzienā.

Un tagad, kad mums ir abi šie,

mēs varētu, ja gribētu, aprēķināt Ax kvadrātā

plus Ay kvadrātā ir vienāds ar kopējo A kvadrātā,

lai atrastu kopējā paātrinājuma moduli.

Labi, pacelsim grūtības pakāpi vēl par vienu līmeni

un paskatīsimies, kas notiks, padarīsim to par vienu soli grūtāku.

Mēs to pārvietosim malā,

es atbrīvošu nedaudz vietas.

Pieņemsim, ka šie 40 ņūtoni joprojām darbojas,

bet es to vienkārši nolikšu šeit, lai tas netraucē.

Pieņemsim, ka ir vēl viens vektors,

vēl viens vektors, kas vērsts šajā virzienā,

un pieņemsim, ka šī vektora lielums,

mēs to sauksim par F7,

pieņemsim, ka F7 ir 45 ņūtoni.

Labi.

45 ņūtoni pielikti leņķī,

pieņemsim, ka 30 grādu leņķī no šī punkta.

Kā ar to tikt galā?

Šis ir vēl sarežģītāks

otrā Ņūtona likuma uzdevums.

Šeit tas sāk biedēt cilvēkus,

viņi nezina, ko darīt,

bieži viņi mēģina vienkārši iemest

šos 45 ņūtonus vienā no vienādojumiem,

viņi domā, ka 45 varbūt vajadzētu iet

x vienādojumā, jo tas ir vērsts pa kreisi,

tas ir horizontāli, tas ir X, bet tas ir vērsts arī vertikāli,

dažreiz viņi iemet visus 45

vertikālajā vienādojumā, varbūt viņi šeit pieskaita 45,

bet tas ir nepareizi, to nevar darīt,

un to nevar darīt, jo tikai vertikālie spēki

un spēku komponentes

var iet šajā vertikālajā vienādojumā,

un tikai horizontālie spēki un horizontālās komponentes

var iet šajā horizontālajā vienādojumā.

Tas, kas mums šobrīd ir jādara,

es domāju, jūs zināt, kas mums jādara,

mums tas ir jāsadala.

Mums ir jāņem šie 45 ņūtoni,

kas ir vērsti uz augšu un pa kreisi,

mums tas jāsadala, cik daudz no šī spēka

ir vērsts pa kreisi, cik daudz no šī spēka ir vērsts uz augšu.

Mums būs jānoskaidro, kāda ir šī komponente

šī spēka šajā virzienā, x virzienā,

kāda ir šī komponente vertikālajā virzienā,

es to saukšu par F7 y virzienā,

un šī komponente šeit būtu F7 x virzienā,

tur kļūst nedaudz pārblīvēts, atvainojos par to.

Mums jānoskaidro, kādas ir šīs komponentes,

un, kad mēs tās būsim noskaidrojuši,

es varu saistīt F7x ar x vienādojumu,

un F7y ar y vienādojumu,

bet es nevaru ielikt visus 45 nevienā no vienādojumiem,

jo visi 45 ņūtoni nav vērsti vertikāli

vai horizontāli, tikai daļa no tā.

Mums jānoskaidro, izmantojot vēl trigonometriju,

mēs izmantosim to pašu noteikumu vai to pašu ideju

šeit, bet Pitagora teorēmas vietā

mēs ņemsim šos 45 ņūtonus

un sadalīsim to komponentēs,

un veids, kā mēs to darām,

ir, izmantojot sinusa un kosinusa definīciju.

Ja tas ir, es to vienkārši uzzīmēšu lielāku šeit,

45 ņūtoni, ja šī mala ir 45 ņūtoni,

tad šī mala būtu piekatete šiem 30 grādiem,

šis F7 x virzienā,

un šī mala būtu pretkatete tiem 30 grādiem,

tātad tas ir F7 y virzienā.

Tagad mēs izmantojam sinusu un kosinusu,

izmantosim kosinusa definīciju.

Kosinusa, tēta, definīcija ir piekatete

dalīts ar hipotenūzu.

Piekatete šiem 30 grādiem

ir mala, kas pieskaras šim leņķim, kas ir F7x.

Tātad F7 x virzienā dalīts ar hipotenūzu

ir šī spēka vektora kopējais modulis,

kas ir 45 ņūtoni.

Tagad es varu atrisināt F7 x virzienā,

F7 x virzienā būs 45 ņūtoni

reiz kosinuss no 30 grādiem.

Tagad es varu ņemt šo F7 x virzienā,

es varu ņemt šo, lai arī kas tas būtu,

tas ir tikai skaitlis, tu to vari aprēķināt, ja vēlies,

un es to ņemšu un ievietošu

tieši x virzienā,

es to ielikšu tieši šeit, kā, paskatīsimies,

tam jābūt pozitīvam vai negatīvam?

Šeit ir āķis.

F7y ir vērsts uz augšu, F7x ir vērsts pa kreisi,

šī ir x komponente, tātad svarīgs ir virziens pa kreisi,

kas mums rūp, fakts, ka tas ir vērsts uz augšu,

x virzienā nav svarīgs,

bet šī komponente ir vērsta pa kreisi,

tāpēc mums tas jāiekļauj kā mīnus 45 ņūtoni

reiz kosinuss no 30.

Un tagad y virzienam

mēs varam izmantot sinusa no tēta definīciju.

Sinuss no tēta ir F7 y virzienā,

kas ir pretkatete,

jo sinuss ir pretkatete dalīts ar hipotenūzu.

Šajā gadījumā pretkatete ir F7 y virzienā,

dalīts ar hipotenūzu, hipotenūza ir kopējais vektors,

kas ir 45 ņūtoni, kopējā vektora modulis,

tātad mēs iegūstam, ka F7 y virzienā

būs 45 ņūtoni reiz sinuss no 30 grādiem.

Es varu ņemt šo, šī ir y komponente,

es varu to ievietot, kā es tur tikšu,

nešķērsojot līniju?

Es to ņemšu un ievietošu

šeit.

Tieši šajā y virziena vienādojumā.

Tam jābūt pozitīvam vai negatīvam?

Y komponente ir vērsta uz augšu, tātad tas būs

plus 45 ņūtoni reiz sinuss no 30 grādiem, uff.

Labi, tātad, otrais Ņūtona likums,

tagad tu esi sagatavots, tu zini, kā to izmantot,

šie spēki varbūt nav asteroīda spēki,

varbūt tie ir sastiepuma, gravitācijas vai reakcijas spēki,

vai berzes spēki, varbūt ir spēki,

visos dažādos virzienos,

bet šie noteikumi joprojām ir spēkā neatkarīgi no spēka,

vai tas ir uz augšu, uz leju, pa kreisi, pa labi vai pa diagonāli,

tagad tu zini, kā tu vari izdomāt,

kā izmantot otro Ņūtona likumu,

neatkarīgi no tā, kādā virzienā spēks ir vērsts.