Kustības vienādojumu izvedums

- [Instruktors] Kā mēs varam aprēķināt, cik garš skrejceļš

ir nepieciešams, lai lidmašīna,

kas, piemēram, nolaižas, varētu droši apstāties?

Vai iedomājies, ka ir asteroīds,

kas traucas Zemes virzienā.

Neuztraucies, tas nesadursies ar Zemi.

Tas palidos ļoti tuvu garām,

bet atkal, kā mēs varam aprēķināt, cik ilgs laiks būs nepieciešams,

lai tas pietuvotos Zemei,

lai mēs varētu sagatavoties to ieraudzīt, vai ne?

Nu, lai to izdarītu, mums ir jāparedz nākotne,

un viens no veidiem, kā to izdarīt,

ir, veidojot tā sauktos matemātiskos modeļus,

bet kas tieši tie ir

un kā mēs to darām?

Nu, noskaidrosim.

Labākais veids, kā uzzināt, kas tas ir,

ir, apskatot konkrētu piemēru.

Šie piemēri ir diezgan sarežģīti,

tāpēc apskatīsim daudz vienkāršāku piemēru,

piemēru, kurā objekts kustas

ar nemainīgu paātrinājumu.

Piemēram, šeit ir demonstrējums.

Mēs varam novietot rotaļu mašīnu uz slīpās plaknes, palaist to vaļā,

un tā kustēsies ar nemainīgu paātrinājumu, vai ne?

Un mēs varam izmērīt tās stāvokli jeb koordinātas,

laikus un ātrumus,

un, teiksim, šeit ir datu paraugs.

Tātad dažādām stāvokļa vērtībām,

mēs esam reģistrējuši laikus,

kuros šis stāvoklis tika sasniegts,

un mēs esam reģistrējuši arī ātrumu.

Jautājums, ko mēs varētu uzdot,

ir, kā tieši ātrums ir saistīts ar laiku?

Atbilde uz šo jautājumu ir tas, ko mēs saucam par

matemātiskā modeļa veidošanu.

Bet pagaidi,

vai tas nav vienkārši vienādojuma sastādīšana?

Jā, matemātiskie modeļi ir vienādojumi,

bet tie nav jebkādi vienādojumi.

Tie ir vienādojumi, kas savieno

fizikālus lielumus, fizikālus, izmērāmus lielumus.

Tātad vienādojumi, kas savieno izmērāmus lielumus,

ir tas, ko mēs saucam par matemātisko modeli.

Kā mēs iegūstam matemātisko modeli,

kas saista ātrumu un laiku?

Nu, šim nolūkam mēs varam uzzīmēt ātruma un laika grafiku.

Mēs varam izvēlēties laiku kā neatkarīgo mainīgo,

jo tā plūdumu nekas nekontrolē,

un mēs uzskatīsim ātrumu par atkarīgo mainīgo.

Atkarīgo mainīgo parasti attēlo uz vertikālās ass.

Neatkarīgo mainīgo attēlo uz horizontālās ass,

tāpēc uzzīmēsim šo grafiku.

Tātad, lūk, grafiks.

Šo mēs iegūstam,

un tu vari redzēt, ka šis grafiks

ir gandrīz taisna līnija.

Tātad, kad grafiks ir taisna līnija,

mēs sakām, ka tas ir lineārs grafiks,

un lineāru grafiku skaistums ir tāds,

ka tas nozīmē, ka šie divi lielumi

kļūst proporcionāli viens otram.

Šajā gadījumā

mēs varam teikt, ka ātrums ir proporcionāls laikam.

Ko tas nozīmē?

Tas nozīmē, ja laiks mainās par kādu reizinātāju,

arī ātrums mainīsies par to pašu reizinātāju.

Paskatīsimies, kā tas izskatās grafikā, labi?

Apskatīsim, kā laiks mainās no 0 līdz 1.

Labi, tātad, lūk,

laiks mainās no 0 līdz 1 sekundei.

Paskatīsimies, cik ļoti mainās ātrums.

Ātrums sākumā ir 20.

Šeit tu vari redzēt, ka tas ir sākuma ātrums.

20,4, aptuveni 20, labi?

Un no šejienes tas mainās līdz,

paskatīsimies, līdz cik lielai vērtībai,

tas mainās līdz 38.

Tātad ātruma izmaiņa šeit

ir 18 centimetri sekundē.

Tātad, kad laiks mainās par 1 sekundi,

ātrums mainās par 18 centimetriem sekundē.

Labi, tagad apskatīsim, kas notiek,

ja laiks mainās par 2 sekundēm,

tātad no šejienes līdz šejienei.

Izdarīsim to šeit.

Tagad laiks ir mainījies par 2 sekundēm.

Paskatīsimies, par cik mainās ātrums.

Atkal, tas sākas ar 20

un iet līdz šejienei,

un tas ir aptuveni 56.

Tu redzi, ka puse ir 50,

un šis ir kaut kur pa vidu,

tātad tas ir ap 56.

Un atkal, par cik tas ir mainījies?

No 20 līdz 56,

atņemot abus, iegūst 36.

Tātad šoreiz ātrums ir mainījies par 36,

un tam ir jābūt centimetriem sekundē,

un šis ir 2 sekundes.

Un tagad tu skaidri redzi,

ka, laikam mainoties 2 reizes,

paskat, arī ātrums mainījās 2 reizes.

Ja laiks būtu mainījies 3 reizes,

arī ātrums būtu mainījies 3 reizes,

un tā tālāk, un tā joprojām.

Lūk, ko nozīmē būt proporcionālam.

Kad viens lielums mainās par kādu reizinātāju,

arī otrs lielums mainās par to pašu reizinātāju.

Labi, kā lai tagad izveido modeli

jeb vienādojumu, kas saista ātrumu un laiku?

Mēs zinām taisnes vienādojumu.

Taisnes vienādojums ir y = mx + b,

kur b ir krustpunkts ar y asi,

un m apzīmē kāpumu.

Tagad pieņemsim, ka mēs zinām kāpuma vērtības,

un šis kāpums ir vertikālās izmaiņas attiecība pret horizontālo,

un mums ir šīs vērtības.

Tas ir 18 dalīts ar 1,

vai arī tu vari to izdarīt šeit,

36 dalīts ar 2, kas ir 18.

Tātad mēs zinām, ka m ir 18,

un b ir krustpunkts ar y asi, kas ir šeit.

Tu vari redzēt, ka tas ir ap 20, precīzāk 20,4,

bet mēs varam to vienkārši noapaļot

un saukt to par 20.

Vērtības šeit nav īsti svarīgas.

Mūsu mērķis ir izveidot modeli, vai ne?

Tātad mēs iegūstam y = 18x + 20,

bet tagad paskatīsimies, ko šie skaitļi apzīmē.

y apzīmē mūsu ātrumu,

tātad šis būs mūsu ātrums.

Ko apzīmē 18?

Paskaties uz mērvienībām.

Tie ir 18 centimetri sekundē.

Izdalīts ar sekundi, tas ir kāpums, vai ne?

Tas ir centimetri sekundē kvadrātā.

Tas ir paātrinājums, skaidrs?

Tas ir paātrinājums.

Tātad 18 šeit apzīmē paātrinājumu,

x apzīmē laiku,

un kas ir šis 20?

Šis 20 apzīmē sākuma ātrumu.

Ātrums, kad laiks bija 0,

tāpēc mēs to varam saukt par v₀,

un, lūk, rezultāts.

Šis ir matemātiskais modelis,

kas saista ātrumu un laiku.

Un tagad, ja mēs zinātu, kāds ir paātrinājums,

un kāds ir sākuma ātrums,

tad es varu to izmantot, lai paredzētu nākotni.

Ja šis objekts turpinātu kustēties ar to pašu nemainīgo paātrinājumu,

un, ja tu ievadītu laika vērtību,

es varētu aprēķināt, kāda būtu vērtība

ātrumam šajā konkrētajā laikā,

paredzot nākotni, izmantojot matemātiskos modeļus.

Diezgan forši, vai ne?

Mēģināsim izveidot citu modeli.

Šoreiz pajautāsim sev,

kāda ir saistība starp stāvokli un laiku?

Un atkal mēs varam šoreiz uzzīmēt

stāvokļa un laika grafiku.

Šoreiz stāvoklis būs atkarīgais mainīgais,

laiks būs neatkarīgais,

un iegūtais grafiks izskatās šādi.

Interesanti ir tas, ka šis nav lineārs grafiks.

Patiesībā, šis ir kvadrātisks grafiks.

Mēs to saucam par parabolu.

Tātad viens veids, kā izveidot modeli stāvoklim un laikam,

ir mēģināt uzrakstīt parabolas vienādojumu,

bet tam mums ir jāatceras

parabolas vienādojums,

un mums ir jādomā par to,

kāda veida parabola tā ir un tamlīdzīgi.

Mēs varam to darīt,

bet ir arī cits veids, kā par to domāt, labi?

Atgriezīsimies pie ātruma un laika grafika,

ko mēs bijām uzzīmējuši.

Tu, iespējams, atceries, ka laukums zem ātruma un laika grafika

apzīmē pārvietojumu.

Tas nozīmē, ja es aprēķināšu šo laukumu,

tad es varu izveidot vienādojumu stāvoklim un laikam.

Tāpēc būtu lieliska ideja apturēt video

un pamēģināt atrast šī grafika laukumu,

un paskatīties, vai tu vari izdomāt, kāds būtu modelis,

kas saista stāvokli un laiku.

Labi, darām.

Ir vairāki veidi, kā aprēķināt šī grafika laukumu,

bet man patīk sadalīt šo grafiku divās daļās.

Mēs redzam taisnstūri un trijstūri.

Tagad padomāsim par malām.

Šī mala apzīmē mūsu ātrumu,

jo šī ir ātruma ass.

Šī apzīmē laiku,

jo tā ir laika ass.

Šī mala apzīmē sākuma ātrumu.

Vai tam ir jēga?

No tā mēs varam uzrakstīt, ka delta x,

kas ir pārvietojums,

ir laukums zem grafika.

Tas ir vienāds ar šī taisnstūra laukumu,

kas ir v₀ reiz t,

plus šī trijstūra laukums,

kas ir 1/2 reiz pamats,

kas ir t, reiz augstums.

Augstums, šis augstums būtu v mīnus v₀.

Labi, mums ir modelis,

bet mēs varam to vēl vienkāršot.

v mīnus v₀, kā mēs redzam no šejienes, ir vienkārši at.

Es paņemšu šī kopiju

un aizstāšu to ar at,

iegūstot 1/2at².

Un, visbeidzot, kas ir delta x?

Delta x ir pārvietojums,

kas ir stāvokļa maiņa,

kas ir beigu stāvoklis mīnus sākuma stāvoklis.

Izdarīsim to.

Un tad, visbeidzot, pārkārtojot šo,

es iegūstu nepieciešamo modeli.

Tas ir modelis, kas saista stāvokli un laiku.

Un tagad, ja tu paskaties uz šo modeli,

mēs redzam, ka šeit vairs nav lineāra vienādojuma.

Mums ir kvadrātvienādojums.

Tas ir labi, jo tas ir tieši tas, ko mēs redzējām.

Tas nebija lineārs grafiks.

Tas bija kvadrātisks grafiks,

un mēs ieguvām parabolu.

Bet interesanti šajā konkrētajā gadījumā ir,

kas būtu, ja sākuma ātrums būtu 0?

Mūsu gadījumā tas tā nav,

bet kas būtu, ja mums būtu

cita veida kustība ar nemainīgu paātrinājumu,

kurā sākuma ātrums būtu 0, skaidrs?

Tad šis vienkāršotos uz x ir vienāds ar x₀.

Šis būtu 0 plus 1/2at²,

un interesanti ir tas,

ka tas arī ir formā y = mx + b,

ar nosacījumu, ka horizontālā ass nav t, bet t².

Citiem vārdiem sakot, ja tu uzzīmē grafiku

stāvoklim atkarībā no t, tā ir parabola,

jo šī ir kvadrātiska atkarība.

Bet, ja šajā īpašajā gadījumā,

mēs uzzīmētu stāvokļa un t² grafiku,

tā būtu taisna līnija.

Un tātad šajā konkrētajā gadījumā,

ne mūsu, bet šajā konkrētajā gadījumā,

mēs būtu varējuši iegūt šo modeli,

uzzīmējot stāvokļa un laika kvadrāta grafiku,

uzzīmējot taisnu līniju,

un tad noskaidrojot, kāds būtu kāpums

un kāds būtu krustpunkts,

un tā mēs

būtu varējuši iegūt šo matemātisko modeli.

Šeit ievēro, ka mēs iegūtu stāvokli,

kas ir proporcionāls nevis laikam, bet laika kvadrātam,

un šo metodi, kur mēs apzināti izvēlamies asis tādā veidā,

lai iegūtu lineāru grafiku, sauc par linearizāciju.

Lai nu kā, tā kā mums ir tik jautri,

izveidosim vēl vienu modeli,

kurā saistīsim stāvokli un ātrumu.

Atkal uzzīmēsim grafiku,

šoreiz par neatkarīgo mainīgo ņemsim stāvokli,

un par atkarīgo mainīgo ņemsim ātrumu,

tātad tas būs uz vertikālās ass.

Stāvoklis būs uz horizontālās ass.

Paskatīsimies, kā izskatās grafiks,

un mēs iegūstam šādu grafiku, ja attēlojam visus punktus.

Tu redzi, ka tā nav taisna līnija,

un atkal, tas izskatās pēc parabolas.

Lūk, kā par to var domāt.

Tā kā tā ir pagriezta uz sāniem,

redzi, ātrums nav proporcionāls stāvoklim.

Tas nepieaug tik ātri.

Tas aug daudz lēnāk,

tāpēc tas nav proporcionāls stāvoklim.

Tas ir kvadrātsaknes grafiks.

Tātad šajā konkrētajā gadījumā

ātrums ir proporcionāls kvadrātsaknei no stāvokļa,

vai arī mēs varam atbrīvoties no kvadrātsaknēm.

Man nepatīk kvadrātsaknes.

Mēs varētu teikt, ka ātruma kvadrāts ir proporcionāls stāvoklim.

Šis ir mēģinājums veikt linearizāciju,

kas nozīmē, ka mēģināsim uzzīmēt grafiku

ātruma kvadrātam atkarībā no stāvokļa,

un paskatīsimies, vai mēs iegūsim taisnu līniju.

Ja mēs iegūsim taisnu līniju,

tas ir lieliski, linearizācija nostrādāja.

Ja nē, mums, iespējams, būs jāmeklē problēma

un jāizdomā citi veidi, kā to linearizēt.

Bet lai nu kā, paskatīsimies, vai tas strādā,

tātad mums tagad ir jāskatās uz ātruma kvadrātu.

Mēs varam pievienot vēl vienu kolonnu, kur mēs šīs vērtības kāpinām kvadrātā,

izdarīsim to.

Lūk, mēs vienkārši kāpinājām šīs vērtības kvadrātā,

un tagad uzzīmēsim ātruma kvadrāta un stāvokļa grafiku,

un paskatīsimies, ko mēs iegūstam. Aiziet.

O, mēs patiešām iegūstam taisnu līniju.

Tu skaidri redzi, ka tā ir skaista taisna līnija.

Tātad ātruma kvadrāts atkarībā no stāvokļa

dod mums taisnu līniju.

Linearizācija nostrādāja, tātad tas patiešām strādā.

Tagad mēs varam uzrakstīt vienādojumu

taisnei un vienkāršot to,

un paskatīties, kāds ir modelis.

Lieliska ideja ir apturēt video

un pamēģināt to izdarīt pašam.

Labi, atgriežoties pie taisnes vienādojuma,

y = mx + b.

Mēs zinām, kas ir y.

Tas ir mūsu ātruma kvadrāts.

Mēs zinām, kas ir x, tas ir mūsu stāvoklis.

Mēs zinām, kas ir b.

b ir šis krustpunkts ar y asi,

kas ir sākuma ātruma kvadrāts.

Lielais jautājums ir, kas ir m?

Paskatīsimies uz vērtību

un mēģināsim to noskaidrot.

Mēs varam rēķināt vertikālās izmaiņas attiecību pret horizontālo.

Ja es apskatu 40 centimetrus,

tad vertikālā izmaiņa šeit

būtu, atņemot šīs divas vērtības,

ko es ieguvu no šejienes.

Šīs divas vērtības, kas ir 1444 centimetri

kvadrātā sekundē kvadrātā.

Tātad kāpums būtu šis dalīts ar šo,

un, ja mēs to izdarām,

mēs iegūstam aptuveni 36 centimetrus sekundē kvadrātā.

Pirmkārt, šīs ir paātrinājuma mērvienības,

tātad tam ir jābūt paātrinājuma mērvienībām.

Tātad šeit ir jābūt paātrinājumam,

un pagājušajā reizē mēs atradām, ka paātrinājums

bija 18 centimetri sekundē kvadrātā.

Tas nozīmē, ka šis ir divreiz lielāks par paātrinājumu,

tātad tas apzīmē divkāršu paātrinājumu.

Tagad mēs varam to visu pierakstīt.

Šis ir ātruma kvadrāts.

Šis ir divkāršs paātrinājums, tātad 2a.

Tad mēs iegūstam stāvokli plus b,

un b ir mūsu sākuma ātruma kvadrāts,

jo šī ir ātruma kvadrāta ass,

kas ir v₀ kvadrātā.

Ja mēs to pārkārtojam, mēs iegūstam šo,

un tad, visbeidzot, atceries,

ka x patiesībā ir pārvietojums.

Tas notiek tāpēc, ka mūsu sākuma stāvoklis bija 0.

Ja tas nebūtu 0,

tad mums vajadzētu to aizstāt ar x mīnus x₀.

Un, lūk, rezultāts,

pēdējais matemātiskais modelis,

kas saista ātrumu un stāvokli.

Šos trīs modeļus mēs saucam par kinemātikas vienādojumiem,

un tie ir ļoti noderīgi, lai paredzētu lietas,

kad mēs aplūkojam kustības,

kurām ir nemainīgs paātrinājums.