Proporciju lietošana kustības aprakstā

- [Lektors] NASA pēta, kā nosūtīt cilvēkus uz Marsu

jau ap 2030. gadu.

Tā ir sarežģīta misija,

jo jālido miljoniem kilometru,

un tas ietver daudzas lietas,

piemēram, jādomā, cik daudz degvielas ir nepieciešams,

cik daudz skābekļa mums vajag,

un tad, cik daudz laika mēs tur pavadīsim,

un cik lielam radiācijas starojumam cilvēki tiks pakļauti.

Tik daudz dažādu lietu.

Kā mēs varam izdomāt, kura ir labākā pieeja?

Parasti mēs darām tā,

ka mēģinām izstrādāt dažādus plānus.

Es tos varu nosaukt par Misiju A, Misiju B, Misiju C,

un tā tālāk, un tā joprojām.

Un tad mēs mēģinām tiem izveidot matemātiskos modeļus,

un pēc tam salīdzinām modeļus, lai atrastu kompromisus.

Un tad galu galā mēs izvēlamies vienu no tiem.

Un šī video mērķis ir gūt ieskatu,

kā veidot un salīdzināt matemātiskos modeļus.

Protams, mēs to nedarīsim tik sarežģītai misijai.

Mēs to vienkāršosim.

Mūsu gadījumā pieņemsim, ka kosmosa kuģis

pārvietojas pa taisnu līniju,

jo tas ir vienkārši,

un pieņemsim, ka tas pārvietojas

ar nemainīgu paātrinājumu.

Un visbeidzot, pieņemsim, ka sākuma ātrums ir nulle.

Pirmajā gadījumā pieņemsim,

nosauksim to par Misiju A,

pieņemsim, ka paātrinājums

ir 10 metri sekundē kvadrātā,

kas ir ļoti tuvu brīvās krišanas

paātrinājumam uz Zemes.

Tātad astronauti tur

justos gandrīz kā mājās.

Un kosmosa kuģis veiks noteiktu attālumu,

sauksim to par delta X, noteiktā laikā.

Bet tagad izveidosim otru plānu, otru misiju,

kurā atkal ir nemainīgs paātrinājums,

sākuma ātrums ir nulle.

Tas veiks to pašu attālumu delta X,

bet uz pusi īsākā laikā, labi?

Tagad mūsu mērķis ir salīdzināt dažus misijas parametrus.

Pirmā lieta, ko tu salīdzinātu, ir vidējais ātrums.

Padomā par to, vai ne?

Ja mēs gribam nokļūt no šejienes uz šejieni

uz pusi īsākā laikā nekā šeit,

tad skaidrs, ka vidējais ātrums šeit

būtu lielāks nekā šeit.

Tas ir intuitīvi saprotams.

Bet par cik lielāks?

Mēs gribam to salīdzināt.

Lai to izdarītu,

mēs gribam izveidot matemātisko modeli vidējam ātrumam

un tad tos salīdzināt.

Tad nu darīsim to.

Mēs varam mēģināt izmantot vidējā ātruma modeli,

kas ir delta X dalīts ar t.

Paskatīsimies, vai šis modelis mums noderēs.

Pirmkārt, mums ir jāsalīdzina vidējais ātrums.

Tāpēc ir labi, ka tas tur ir, vai ne?

Kā ar delta X?

Mēs zinām sakarību starp tiem,

tie ir tieši tādi paši.

Delta X misijai B ir tāds pats kā delta X misijai A.

Mēs aplūkojam to pašu delta X vērtību, tāpēc tas ir labi.

Un kā ar laiku?

Mēs zinām arī sakarību starp tiem.

Mēs zinām, ka laiks šeit

ir puse no laika šeit.

Tātad laiks B ir puse no laika A.

Tā kā mēs zinām sakarību šim starp šiem diviem

un sakarību šim starp šiem diviem,

mēs tagad varam izmantot šo vienādojumu,

izmantot šo modeli, lai atrastu sakarību

starp abu gadījumu vidējiem ātrumiem.

Šis būs noderīgs modelis.

Tagad iedomājies, ja tu būtu izmantojis vidējā ātruma modeli,

kurā būtu paātrinājums,

tad tas nebūtu noderīgs,

jo mēs nezinām sakarību

starp paātrinājumiem, vai ne?

Mēs nezinām, kāds ir paātrinājums šajā gadījumā.

Un tāpēc ir svarīgi izvēlēties pareizos modeļus,

bet mums nav pārāk jāuztraucas.

Ja tu izvēlēsies nepareizu modeli,

mēs to sapratīsim un atmetīsim,

un izmantosim citu modeli.

Mēģinājumu un kļūdu metode, nekas traks, labi?

Lai nu kā, turpināsim ar šo.

Uzrakstīsim vidējo ātrumu Misijai B.

Mēs varētu teikt, ka vidējais ātrums Misijai B

būtu delta XB dalīts ar tB.

Un vidējais ātrums Misijai A

būtu delta XA dalīts ar tA.

Mēs zinām, ka delta XB un delta XA ir vienādi,

tas ir vienkārši delta X,

tāpēc sauksim tos vienkārši par delta X.

Un tagad, lai tos salīdzinātu,

mēs varam vienkārši izdalīt abus vienādojumus.

Un tagad vienkāršosim.

Delta X noīsinās.

Un mēs iegūstam, ka tas ir vienāds ar 1/tB

dalīts ar 1/tA,

kas ir tA dalīts ar tB.

Un tagad mēs zinām, kas ir tB.

Laiks šeit ir puse no laika A,

mēs varam to ievietot.

Ja tu ievieto 1/2 tA, tad tA noīsinās,

un tu iegūsti 2.

Paskaties, šī attiecība iznāk 2.

Tagad mēs varam pārveidot

un rakstīt, ka vidējais ātrums Misijā B

būs divas reizes lielāks nekā vidējais ātrums Misijā A.

Lai veiktu to pašu attālumu delta X uz pusi īsākā laikā,

mums ir nepieciešams divreiz lielāks vidējais ātrums,

kas nav pilnīgi acīmredzams,

jo šeit mēs runājam par paātrinātu kustību.

Bet tagad interesants jautājums ir,

vai mēs būtu varējuši, tikai paskatoties uz šo vienādojumu,

bez rēķināšanas to izdomāt?

Un atbilde ir jā.

Ja tu uzmanīgi aplūko šo modeli,

tā kā delta X abos gadījumos ir vienāds,

mēs varam uz to paskatīties un teikt, ka vidējais ātrums

ir proporcionāls 1/t,

jeb tas ir apgriezti proporcionāls t.

Tas nozīmē, ka, ja t mainās par kādu reizinātāju,

tavs vidējais ātrums mainīsies

par šī reizinātāja apgriezto lielumu.

Ja t kļūst divreiz lielāks,

tavs vidējais ātrums būs tā apgrieztais lielums, 1/2.

Ja t trīskāršojas, vidējais ātrums būs tā apgrieztais lielums,

viena trešdaļa.

Mūsu gadījumā t kļuva par 1/2.

Tad vidējais ātrums būtu apgrieztais lielums no 1/2,

kas ir 2.

Un uzreiz, tikai paskatoties uz šo,

mēs būtu varējuši teikt,

hei, ja t kļūst par 1/2,

vidējais ātrums dubultosies.

Spēcīgi, vai ne?

Labi, tagad paskatīsimies, vai varam salīdzināt ko citu.

Salīdzināsim to paātrinājumus.

Kāds ir paātrinājums Misijā B, salīdzinot ar Misiju A?

Un atkal, lai to izdarītu, mums jāizmanto modelis,

šoreiz matemātiskais modelis,

kurā ir iekļauts paātrinājums.

Un viens no šādiem modeļiem ir šis.

Šis ir modelis lietām,

kas kustas ar nemainīgu paātrinājumu, vai ne?

Atkal aplūkosim lietas, ko mēs jau zinām,

un tad redzēsim, vai tas mums noderēs, labi?

Ko mēs zinām?

Pirmkārt, tā kā mums ir X0,

kas attiecas uz sākuma stāvokli,

kas ir šeit,

mēs to varam vienkārši pielīdzināt nullei.

Un tad X, kas ir beigu stāvoklis,

mēs to varam saukt vienkārši par delta X.

Mēs zinām šos divus, labi?

Tas ir vienāds abiem gadījumiem.

Mēs zinām arī sākuma ātrumu, kas ir V0,

tas ir 0.

Un mēs zinām, ka laiks šeit

ir puse no laika tur.

Un visbeidzot, mēs zinām pirmā gadījuma paātrinājumu.

Šīs ir pārējās lietas, kas mums ir dotas.

Pirmais, ko mēs varam darīt, ir ievietot nulles,

lai nedaudz vienkāršotu mūsu modeli.

Ja tu to izdari, šis kļūst par nulli,

šis kļūst par delta X, šis kļūst par nulli.

Sanāk, ka delta X ir 1/2 at kvadrātā.

Un, tā kā es gribu salīdzināt paātrinājumus,

es pārveidošu šo, lai iegūtu paātrinājumu.

Paātrinājums kļūst par 2 delta X dalīts ar t kvadrātā.

Un atkal paskatīsimies, vai šis modelis mums noder.

Es gribu salīdzināt paātrinājumu, tāpēc tas ir lieliski.

Man vajag paātrinājumus.

Vai es zinu sakarību starp delta X?

Jā, tie ir vienādi.

Un vai es zinu sakarību starp laikiem?

Jā, zinu.

Tāpēc es varu izmantot šo, lai atrastu sakarību

starp paātrinājumiem.

Būtu lieliska ideja apturēt video

un paskatīties, vai tu vari pamēģināt to pats.

Ļoti līdzīgi tam, ko darījām iepriekš.

Labi, darīsim to.

Mēs varam uzrakstīt paātrinājumus

abām misijām.

B gadījumā tas būs 2 reiz delta XB ar tB kvadrātā,

un A gadījumā būs 2 delta XA ar tA kvadrātā.

Bet mēs zinām, ka delta XB un delta XA ir tieši tādi paši,

tāpēc mēs varam atbrīvoties no A un B tur.

Un mēs varam abus izdalīt, tāpat kā iepriekš.

Un tad vienkāršot.

2 delta X un 2 delta X var noīsināt.

Tas mums atstāj 1/tB kvadrātā,

dalīts ar 1/tA kvadrātā.

Un tad mēs varam to pārveidot, lai iegūtu tA kvadrātā

dalīts ar tB kvadrātā.

Un atkal mēs beidzot varam ievietot, kas ir tB,

tB ir 1/2 tA.

Ja mēs to ievietojam šeit,

mēs iegūstam 1/2 tA, viss kvadrātā.

Visbeidzot, tA kvadrātā noīsinās,

atstājot mums 1 dalīts ar 1/4, kas ir 4.

No šī es tagad zinu,

ka paātrinājums Misijā B

būtu četras reizes lielāks nekā paātrinājums Misijā A.

Un lūk, rezultāts.

Mums šeit nepieciešams četras reizes lielāks paātrinājums,

salīdzinot ar šejieni.

Četras reizes vairāk ir 4 x 10, tas ir 40.

Un tad mēs varētu teikt,

ka 40 metri sekundē kvadrātā

ir pārāk liels paātrinājums, ko cilvēki var izturēt.

Tas nebūs iespējams,

jo mēs ceļosim ilgu laiku.

Un mēs varētu teikt, ka nē, mēs to nevaram darīt.

Pat ja mēs nonākam galā uz pusi īsākā laikā, tas nav iespējams.

Bet jebkurā gadījumā, tāpat kā iepriekš,

vai mēs būtu varējuši to izdomāt, neveicot visu rēķināšanu?

Un atbilde atkal ir jā.

Atkal, ja tu uzmanīgi aplūko modeli,

mēs redzam, ka delta X ir vienāds abiem gadījumiem,

kas nozīmē, ka paātrinājums būs proporcionāls

1/t kvadrātā,

jeb apgriezti proporcionāls t kvadrātā.

Tas nozīmē, lai arī par kādu reizinātāju mainās t,

paātrinājums mainīsies par reizinātāja kvadrāta apgriezto vērtību.

Tātad, ja t dubultotos,

paātrinājums mainītos par 1/4.

Ja t trīskāršotos, paātrinājums mainītos

par 1/9.

Bet mūsu gadījumā t kļuva par 1/2.

Tātad paātrinājums mainītos par reizinātāju 4.

Un lūk, rezultāts.

Šis ir ļoti spēcīgs veids, kā to darīt.

Tā kā mums šeit ir tik jautri,

mums vajadzētu izmēģināt vēl vienu plānu, Misiju C.

Šeit mēs saglabāsim tādu pašu paātrinājumu kā iepriekš,

bet mēs ļausim kosmosa kuģim ceļot

par 50% ilgāk nekā iepriekš.

Tātad tas pats paātrinājums, bet par 50% vairāk laika.

Tas nobrauks tālāk, vai ne?

Un jautājums ir, par cik tālāk?

Tagad mēs jau zinām, ko darīt.

Padomā par mūsu matemātisko modeli.

Atkal, tā kā mēs strādājam

ar stāvokļiem un paātrinājumiem,

izmantosim to pašu modeli, ko iepriekš.

Uzrakstīsim, ko mēs zinām.

Un jebkurā brīdī

droši apturi video un pamēģini to pats, labi?

Bet uzrakstīsim, ko mēs jau zinām.

Mēs zinām, mēs varam iestatīt mūsu X0 kā nulli,

sākuma stāvokli kā nulli,

un beigu stāvoklis būs vienkārši X.

Mēs varam vienkārši iestatīt X0 kā nulli.

Mēs arī zinām, ka V0, sākuma ātrums, ir nulle.

Mēs to zinām.

Mēs arī zinām, ka paātrinājumi ir vienādi

šoreiz.

Paātrinājums A un C gadījumā ir vienāds.

Un mēs atvēlam par 50% vairāk laika.

Mēs zinām, ka laiks šeit ir par 50% lielāks,

salīdzinot ar laiku A, kas nozīmē 1,5 reizes A.

Tātad tC jābūt 1,5 reizes tA.

Un atkal mēs varam ievietot nulles, lai vienkāršotu.

Šis kļūst par nulli, šis kļūst par nulli.

Un tas mums dod vienkāršotu modeli,

X, kas ir beigu stāvoklis, kuru mēs gribam.

Tas ir modelis.

Paskatīsimies, vai tas ir noderīgs, labi?

Mēs gribam X, mēs gribam to salīdzināt,

tāpēc ir labi, ka tas tur ir.

Vai mēs zinām sakarību starp paātrinājumiem?

Jā, paātrinājumi ir vienādi.

Vai mēs zinām sakarību starp laikiem?

Jā, mēs zinām.

Mēs zinām sakarību starp laikiem, 1,5 reizes tA.

Un mēs varam to izrēķināt.

Atkal, mēs varam veikt aprēķinus,

bet mēs arī tagad zinām, kā to izdarīt ātrāk, vai ne?

Mēs varam aplūkot šo modeli

un teikt, ka,

tā kā paātrinājums ir vienāds,

tā kā A ir vienāds,

X ir tieši proporcionāls t kvadrātā.

Tagad, lai arī par kādu reizinātāju mainās t,

X mainīsies par šī reizinātāja kvadrātu.

Tu vari redzēt, ka šoreiz tas ir tieši proporcionāls, vai ne?

Ja t dubultojas, X būs,

X mainīsies par reizinātāju 2 kvadrātā,

ja t trīskāršojas, X mainīsies par reizinātāju 3 kvadrātā.

Mūsu gadījumā t ir kļuvis 1,5 reizes lielāks.

Tātad X mainīsies par reizinātāju 1,5 kvadrātā.

Mēs varam uzreiz rakstīt XC,

beigu stāvoklis šeit, labi,

tam jābūt 1,5 kvadrātā reiz XA,

beigu stāvoklis šeit.

Un, ja tu vienkāršo, 1,5 kvadrātā ir 2,25.

Un mēs uzreiz iegūstam atbildi.

XC būtu 2,25 reizes XA,

kas ir apbrīnojami, ja tā padomā, vai ne?

Tikai par 50% vairāk laika,

tas nobrauks vairāk nekā divreiz lielāku attālumu,

salīdzinot ar pirmo.

Un, starp citu, mēs varam pārbaudīt aprēķinus,

un es šeit neiziešu cauri visiem soļiem.

Es tikai parādīšu jums visus soļus.

Tu vari apturēt video un vienkārši paskatīties,

ja tu dali un, zini, dari to garajā veidā,

tu iegūsi to pašu atbildi.

Bet jebkurā gadījumā, paskaties, ko tas nozīmē.

Tas nozīmē, ka, zini, pirmajā gadījumā,

ja mēs ļautu tam ceļot vienu gadu,

un pieņemsim, ka tā veiktais attālums

bija miljards kilometru,

otrajā gadījumā, ja mēs tam atvēlam par 50% vairāk laika,

kas ir 1,5 gadi,

tas nobrauks 2,25 miljardus kilometru.

Tas ir lieliski.

Īsāk sakot,

izmantojot matemātiskos modeļus,

mēs varam redzēt, kā viena mainīgā maiņa

ietekmē otru mainīgo.

Tas ir ļoti noderīgi, salīdzinot scenārijus.

Svarīgi ir tas, ka tev nav nepieciešamas faktiskās vērtības,

tev ir nepieciešami tikai modeļi, un tu vari tos izdalīt,

un tu vari izdomāt,

un tu vari salīdzināt, zini,

jebko, ko tu gribi salīdzināt.

Un cits veids ir to darīt, nedalot,

to var darīt, neveicot aprēķinus,

tikai aplūkojot modeli,

redzot, kuri mainīgie abiem ir vienādi,

un tad noskaidrojot proporcionalitātes sakarību,

pareizo proporcionalitātes sakarību.

Ja tu zini reizinātāju, ar kuru mainās viens mainīgais,

mēs varam noskaidrot reizinātāju,

ar kuru mainītos arī otrs mainīgais.

Tas ir noderīgi ne tikai kinemātikā,

tas ir noderīgi visā fizikas kursā.