Pārskats par spēka momentu un impulsa momentu

Apskatīt video Khan Academy platformā: Khan AcademyReview of torque and angular momentum

Transkripts:
00:00
- [Instruktors] Rotācijas kinemātikas formulas
00:02
ļauj mums saistīt piecus dažādus
00:04
rotācijas kustības mainīgos,
00:06
un tās izskatās gluži kā parastās kinemātikas formulas,
00:08
tikai pārvietojuma vietā
00:10
ir pagrieziena leņķis.
00:12
Sākuma ātruma vietā
00:13
ir sākuma leņķiskais ātrums.
00:15
Beigu ātruma vietā
00:17
ir beigu leņķiskais ātrums.
00:19
Paātrinājuma vietā ir leņķiskais paātrinājums,
00:22
un laiks joprojām ir laiks.
00:24
Tikai pirmās divas no šīm formulām
00:25
ir dotas AP eksāmena formulu lapā.
00:27
Trešā un ceturtā nav dotas.
00:29
Un, tāpat kā parastās kinemātikas formulas,
00:31
šīs rotācijas kinemātikas formulas
00:33
ir spēkā tikai tad, ja leņķiskais paātrinājums ir nemainīgs.
00:37
Ko nozīmē katrs no šiem rotācijas mainīgajiem?
00:40
Pagrieziena leņķis ir leņķa lielums,
00:42
par kādu objekts ir pagriezies
00:45
noteiktā laika posmā t.
00:47
Leņķiskais ātrums ir definēts kā leņķa lielums,
00:49
par kādu tu pagriezies noteiktā laikā,
00:52
tāpat kā parastais ātrums ir pārvietojums laikā,
00:56
un leņķiskais paātrinājums ir definēts
00:58
kā leņķiskā ātruma izmaiņas lielums laikā.
01:02
Tāpat kā parastais paātrinājums ir ātruma izmaiņa
01:04
noteiktā laikā.
01:06
Kaut kam, kas rotē pa apli,
01:07
tehniski leņķiskais ātrums ir vērsts
01:10
perpendikulāri rotācijas plaknei,
01:12
bet visvieglāk ir domāt par omega
01:14
kā par kustību pretēji pulksteņrādītāja virzienam vai pulksteņrādītāja virzienā.
01:17
Un pastāv sakarības starp šiem
01:18
leņķiskajiem mainīgajiem un to lineārajiem analogiem.
01:21
Lai iegūtu loka garumu s, ko objekts ir veicis,
01:24
jūs vienkārši reizināt trajektorijas rādiusu
01:27
ar pagrieziena leņķa lielumu.
01:29
Lai iegūtu objekta ātrumu,
01:30
vienkārši reiziniet trajektorijas rādiusu
01:32
ar objekta leņķisko ātrumu.
01:34
Lai iegūtu tangenciālo paātrinājumu,
01:36
reiziniet trajektorijas rādiusu
01:38
ar leņķisko paātrinājumu.
01:40
Ņem vērā, ka tas ir tangenciālais paātrinājums.
01:43
Šis paātrinājums liek objektam
01:45
kustēties ātrāk vai lēnāk.
01:47
Tas ir paātrinājuma centrtieces komponents,
01:50
kas liek objektam mainīt virzienu,
01:52
un tā formula joprojām ir
01:54
vienkārši v²/r.
01:56
Ja objekts kustas pa apli,
01:57
tam jābūt centrtieces paātrinājumam,
01:59
jo tas maina virzienu,
02:01
bet tikai tad, ja tas paātrinās vai palēninās,
02:03
tam būs tangenciālais paātrinājums
02:05
un leņķiskais paātrinājums.
02:07
Kāds ir piemērs uzdevumam, kas ietver
02:08
rotācijas kustības mainīgos?
02:11
Pieņemsim, ka objekts rotē pa apli
02:13
ar nemainīgu ātrumu.
02:14
Kurš no apgalvojumiem vislabāk raksturotu
02:16
trīs dažādos objekta paātrinājuma veidus?
02:19
Ja objekts vispār kustas pa apli,
02:21
tam ir jābūt centrtieces paātrinājumam,
02:23
tāpēc tam ir jābūt lielākam par nulli.
02:25
Un, ja tas rotē ar nemainīgu ātrumu,
02:27
omega nemainās,
02:29
un tas nozīmē, ka leņķiskais paātrinājums būs nulle.
02:32
Ja leņķiskais paātrinājums ir nulle,
02:34
arī tangenciālais paātrinājums būs nulle.
02:37
Tikai tad, kad objekts paātrinās vai palēninās,
02:40
tam ir leņķiskais paātrinājums
02:42
un tangenciālais paātrinājums.
02:44
Tie maina ātrumu (ātruma vektora moduli),
02:45
bet centrtieces paātrinājums maina virzienu.
02:49
Ko nozīmē spēka moments?
02:50
Tāpat kā spēks ir tas, kas izraisa paātrinājumu,
02:53
spēka moments ir tas, kas izraisa leņķisko paātrinājumu.
02:56
Lai objekts varētu paātrināt vai palēnināt
02:59
savu rotācijas kustību,
03:00
uz objektu ir jādarbojas kopējam spēka momentam.
03:03
Kas rada spēka momentu?
03:04
Spēki rada spēka momentu.
03:06
Lai būtu spēka moments, ir jābūt spēkam,
03:08
bet tas pats spēks var radīt atšķirīgu spēka momentu
03:11
atkarībā no tā, kur šis spēks tiek pielikts.
03:13
Ja spēks tiek pielikts tālu no rotācijas ass,
03:16
jūs iegūsiet lielāku spēka momentu ar to pašu spēka lielumu,
03:19
salīdzinot ar spēkiem, kas tiek pielikti
03:21
tuvu rotācijas asij.
03:23
Šis r apzīmē, cik tālu no ass
03:26
tiek pielikts šis spēks.
03:27
Un, lai maksimizētu šo spēka momentu,
03:28
spēkam ir jābūt vērstam perpendikulāri šim r,
03:32
jo 90 grādu sinuss ir vienāds ar 1.
03:35
Citiem vārdiem sakot, lai maksimizētu spēka momentu,
03:38
pieliec spēku pēc iespējas tālāk no ass
03:41
un pieliec šo spēku perpendikulāri
03:43
līnijai no ass līdz spēka pielikšanas punktam.
03:46
Uzdevumā var būt daudz leņķu,
03:48
bet šis leņķis vienmēr ir leņķis
03:50
starp r un F.
03:53
Un tāpat kā objekts ir translācijas līdzsvarā,
03:55
ja kopējais spēks ir nulle,
03:57
mēs sakām, ka objekts ir rotācijas līdzsvarā,
04:00
ja kopējais spēka moments ir nulle.
04:02
Tas nozīmētu, ka leņķiskais paātrinājums ir nulle,
04:04
tāpat kā translācijas līdzsvars
04:06
nozīmē, ka paātrinājums ir nulle.
04:08
Spēka moments ir vektors, tātad tam ir virziens.
04:11
Parasti visvieglāk ir iedomāties virzienu
04:13
kā vērstu pretēji pulksteņrādītāja virzienam vai pulksteņrādītāja virzienā
04:16
atkarībā no tā, kurā virzienā spēks
04:17
liktu objektam griezties.
04:19
Un, tā kā spēka moments ir r reiz F,
04:21
mērvienības būs metri reiz ņūtoni jeb ņūtonmetri.
04:25
Kāds izskatās piemērs uzdevumam ar spēka momentu?
04:27
Pieņemsim, ka jums ir šis stienis ar šo asi šeit,
04:30
un tam tiek pielikti spēki, kā parādīts.
04:32
Mēs gribam zināt, cik lielam jābūt spēkam F,
04:35
lai šis stienis būtu rotācijas līdzsvarā.
04:38
Atceries, rotācijas līdzsvars nozīmē,
04:40
ka kopējais spēka moments ir vienāds ar nulli.
04:42
Citiem vārdiem sakot, visiem spēka momentiem, kas vērsti pulksteņrādītāja virzienā,
04:45
ir jābūt vienādiem ar visiem spēka momentiem,
04:47
kas vērsti pretēji pulksteņrādītāja virzienam,
04:49
lai sistēma būtu līdzsvarā.
04:51
3 ņūtonu spēks un 1 ņūtona spēks
04:53
cenšas pagriezt šo sistēmu pulksteņrādītāja virzienā,
04:55
un nezināmais spēks F cenšas pagriezt
04:57
sistēmu pretēji pulksteņrādītāja virzienam.
04:59
Šis zaļais 1 ņūtona spēks
05:01
patiesībā nerada nekādu spēka momentu,
05:03
lai gan r vērtība nav nulle.
05:05
Leņķis starp spēku un r vērtību
05:08
būs 180 grādi,
05:10
un 180 grādu sinuss ir nulle.
05:12
Kas ir loģiski, jo šis spēks
05:14
patiesībā neliek šim stienim griezties
05:16
pulksteņrādītāja virzienā vai pretēji.
05:18
Spēka moments pulksteņrādītāja virzienā būtu
05:20
1 metrs reiz 3 ņūtoni,
05:22
lai atrastu spēka momentu no 3 ņūtonu spēka.
05:24
Plus, jūs neizmantotu 2 metrus
05:27
kā r 1 ņūtona spēkam.
05:29
Jums ir jāatrod r no ass,
05:31
kas būs 3 metri reiz 1 ņūtona spēks,
05:34
kas dod kopējo spēka momentu pulksteņrādītāja virzienā 6 ņūtonmetri,
05:37
un mēs varam uzrakstīt spēka momentu,
05:38
ko rada nezināmais spēks F, kā 1 metrs reiz F.
05:42
Lai 6 ņūtonmetri būtu vienādi ar 1 reiz F,
05:45
spēkam F vienkārši jābūt vienādam ar 6 ņūtoniem.
05:49
Ko nozīmē rotācijas inerce?
05:51
Objektu ar lielu rotācijas inerci
05:53
būs grūti iegriezt un grūtāk apstādināt.
05:57
Būtībā rotācijas inerce parāda,
05:59
cik ļoti objekts "pretosies" leņķiskajam paātrinājumam.
06:03
Tāpat kā parastā inerce parāda,
06:04
cik ļoti objekts "pretosies" parastajam paātrinājumam.
06:07
Un šo rotācijas inerci bieži dēvē
06:09
par inerces momentu.
06:11
Kā panākt, lai rotācijas inerce būtu liela?
06:13
Rotācijas inerci var palielināt,
06:15
ja masu novieto tālu no rotācijas ass,
06:19
un rotācijas inerci var samazināt,
06:21
ja masu novieto tuvu rotācijas asij.
06:24
Citiem vārdiem sakot, ja jūs varētu pabīdīt masu
06:26
tuvāk rotācijas asij,
06:28
kas ir punkts, ap kuru objekts rotē,
06:31
jūs varat padarīt inerces momentu arvien mazāku.
06:34
Lai atrastu inerces momentu jeb rotācijas inerci
06:36
objektam, kura visa masa rotē
06:39
vienādā rādiusā r,
06:41
jūs varat vienkārši izmantot formulu I
06:43
ir vienāds ar rotējošo masu
06:45
reizinātu ar attāluma no ass kvadrātu.
06:48
Šī formula nav dota, tā ir jāiegaumē.
06:51
I = mr².
06:53
Un, ja jums ir daudz masu, kas rotē dažādos r,
06:55
jūs varat vienkārši saskaitīt visu devumu
06:57
no katras atsevišķās masas.
06:59
Ja jums ir nepārtraukts objekts,
07:01
kura masa nav visa vienādā rādiusā no ass,
07:05
formulas ir nedaudz sarežģītākas.
07:07
Stienim, kas rotē ap savu centru,
07:09
inerces moments būtu 1/12
07:11
no stieņa masas, reizinātas
07:13
ar visa stieņa garuma kvadrātu.
07:15
Stienim, kas rotē ap vienu galu,
07:17
inerces moments būs lielāks,
07:19
jo vairāk masas ir izvietots tālāk no ass,
07:22
un šī formula ir 1/3 no stieņa masas
07:25
reizinātas ar visa stieņa garuma kvadrātu.
07:27
Sfēras rotācijas inerce,
07:29
rotējot ap asi, kas iet caur tās centru,
07:31
būtu 2/5 no sfēras masas
07:34
reizinātas ar sfēras rādiusa kvadrātu.
07:36
Un cilindra vai diska rotācijas inerce,
07:39
rotējot ap asi, kas iet caur tā centru,
07:41
būtu 1/2 no diska masas
07:44
reizinātas ar šī diska rādiusa kvadrātu.
07:46
Vēl viens piemērs, kas bieži parādās,
07:48
un kura formula jums nebūtu dota, ir stīpa.
07:50
Tas nozīmē, ka visa masa ir izvietota
07:53
ap centra punktu ar tukšu vidu.
07:56
Tā kā visa masa ir vienādā rādiusā r,
07:59
stīpas rotācijas inerces formula
08:02
ir tāda pati kā rotācijas inerces formula
08:05
vienai masai, kas rotē rādiusā r.
08:08
Fakts, ka masa ir izvietota aplī,
08:10
patiesībā nav svarīgs, jo masa
08:12
joprojām atrodas tādā pašā rādiusā r.
08:15
Rotācijas inerce nav vektors,
08:17
tāpēc tā vienmēr ir pozitīva vai nulle,
08:19
un, tā kā tā ir mr², mērvienības būtu
08:22
kilogrami reiz metrs kvadrātā.
08:24
Kāds ir piemērs uzdevumam, kas ietver
08:25
rotācijas inerci?
08:27
Pieņemsim, ka diviem cilindriem ļauj ripot
08:29
bez slīdēšanas no miera stāvokļa lejā pa nogāzi.
08:32
Cilindra A masa ir izvietota
08:34
vienmērīgi visā cilindrā.
08:36
Cilindrs B ir izgatavots no blīvāka materiāla
08:39
un tam ir tukšs vidus,
08:41
un masa izvietota ap šo tukšo vidu.
08:44
Ja cilindru masas un rādiusi ir vienādi,
08:47
kurš cilindrs pirmais sasniegs nogāzes apakšu?
08:50
Lai noskaidrotu, kurš cilindrs
08:52
pirmais nokļūs nogāzes apakšā,
08:53
mums jājautā, kurš ripos vieglāk.
08:56
Cilindrs ar mazāko inerces momentu
08:58
būs vieglāk iegriežams.
09:00
Tas nozīmē, ka tas ripos vieglāk
09:02
un ātrāk nokļūs nogāzes apakšā.
09:04
Ikreiz, kad masa ir izvietota tālāk no ass,
09:08
objektam būs lielāks inerces moments,
09:10
tā kā cilindra B masa kopumā
09:13
ir tālāk no ass salīdzinājumā ar cilindru A,
09:16
cilindram B ir lielāks inerces moments,
09:19
tas nozīmē, ka to ir grūtāk iegriezt.
09:20
Tam būs nepieciešams ilgāks laiks, lai noripotu lejā,
09:22
un cilindrs A uzvarēs.
09:24
Kāda ir otrā Ņūtona likuma versija rotācijas kustībai?
09:27
Otrais Ņūtona likums nosaka,
09:29
ka paātrinājums ir vienāds ar kopējo spēku,
09:31
dalītu ar masu,
09:33
un otrā Ņūtona likuma versija rotācijas kustībai nosaka,
09:35
ka leņķiskais paātrinājums ir vienāds ar kopējo spēka momentu,
09:38
dalītu ar rotācijas inerci.
09:40
m parāda, cik ļoti objekts pretojas paātrinājumam,
09:44
un inerces moments jeb rotācijas inerce
09:46
parāda, cik ļoti objekts pretojas leņķiskajam paātrinājumam.
09:49
Tāpat kā saskaitot spēka vektorus,
09:51
jums ir jābūt uzmanīgiem ar plus un mīnus zīmēm.
09:53
Tas pats attiecas uz spēka momenta vektoriem.
09:55
Jums ir jāpieņem vai nu kustība pretēji pulksteņrādītāja virzienam,
09:57
vai pulksteņrādītāja virzienā kā pozitīva,
09:59
un tad pieturēties pie šī pieņēmuma.
10:01
Kāds ir piemērs uzdevumam, kas ietver
10:02
otrā Ņūtona likuma versiju rotācijas kustībai?
10:04
Pieņemsim, ka zemāk redzamajam stienim
10:06
rotācijas inerce ir 2 kilogrami reiz metri kvadrātā,
10:09
un uz to darbojas spēki, kā parādīts.
10:12
Mēs gribam zināt, kāds ir stieņa leņķiskā paātrinājuma
10:13
modulis.
10:16
Mēs izmantojam otro Ņūtona likumu rotācijas kustībai,
10:18
kas nosaka, ka leņķiskais paātrinājums ir kopējais spēka moments,
10:20
dalīts ar rotācijas inerci.
10:22
Mums ir rotācijas inerce,
10:24
mums vajag tikai kopējo spēka momentu.
10:25
Mums jāaprēķina kopējais spēka moments
10:27
no visiem šiem spēkiem.
10:28
Spēka moments no 1 ņūtona spēka
10:30
attālumā r, kas būs 3 metri
10:32
no ass līdz šim 1 ņūtona spēkam.
10:36
Un, tā kā tas ir pielikts perpendikulāri,
10:37
90 grādu sinuss būs 1.
10:39
Spēka moments no 1 ņūtona spēka
10:41
būtu 3 ņūtonmetri
10:43
pretēji pulksteņrādītāja virzienam.
10:45
Un spēka moments no 4 ņūtonu spēka
10:46
būtu 1 metrs,
10:48
jo spēks ir pielikts 1 metra attālumā no ass,
10:50
reiz 4 ņūtoni, un mēs iegūstam 4 ņūtonmetrus
10:53
pulksteņrādītāja virzienā.
10:55
Tas nozīmē, ka kopējais spēka moments,
10:57
kad ir 4 ņūtonmetri pulksteņrādītāja virzienā
11:00
un 3 ņūtonmetri pretēji pulksteņrādītāja virzienam,
11:03
būs tikai 1 ņūtonmetrs
11:05
pulksteņrādītāja virzienā,
11:07
jo 4 ir par 1 vienību lielāks nekā 3.
11:09
Un tagad mēs dalam ar rotācijas inerci,
11:11
kas bija 2,
11:12
kas mums dod leņķisko paātrinājumu 1/2 jeb 0,5.
11:16
Ko nozīmē rotācijas kinētiskā enerģija?
11:18
Ja objekts rotē vai griežas,
11:20
mēs sakām, ka tam ir rotācijas kinētiskā enerģija.
11:22
Ja objekta masas centrs kustas
11:25
un objekts rotē,
11:26
mēs parasti sakām, ka objektam ir
11:28
translācijas kinētiskā enerģija un rotācijas kinētiskā enerģija.
11:31
Abas ir kinētiskās enerģijas,
11:33
tas ir tikai ērts veids, kā nodalīt
11:35
divus kinētiskās enerģijas veidus
11:37
un īpaši ērts veids,
11:38
kā atrast kopējo kinētisko enerģiju
11:40
kaut kam, kas kustas un rotē.
11:42
Rotācijas kinētiskās enerģijas formula
11:44
ir 1/2 reiz inerces moments
11:47
jeb rotācijas inerce, reizināta ar leņķiskā ātruma kvadrātu.
11:50
Kas ir loģiski, jo formula
11:51
parastajai kinētiskajai enerģijai ir 1/2 reiz parastā inerce,
11:55
tas ir, masa, reizināta ar parastā ātruma kvadrātu.
11:58
Atkārtoju, ja objekts rotē,
11:59
tam ir rotācijas kinētiskā enerģija.
12:01
Ja objekta masas centrs kustas,
12:03
tam ir parastā translācijas kinētiskā enerģija.
12:06
Un, ja masas centrs kustas
12:07
un objekts rotē,
12:09
tad mēs sakām, ka objektam ir gan rotācijas enerģija,
12:12
gan translācijas enerģija.
12:13
Rotācijas kinētiskā enerģija nav vektors.
12:16
Tā vienmēr ir pozitīva vai nulle,
12:18
un mērvienības var uzrakstīt kā
12:19
kilograms reiz metrs kvadrātā dalīts ar sekundi kvadrātā,
12:22
bet tā ir enerģija, tāpēc mēs zinām, ka tai ir jābūt vienādai ar džouliem.
12:25
Kāds ir piemērs uzdevumam,
12:26
kas ietver rotācijas kinētisko enerģiju?
12:28
Pieņemsim, ka uz cilindru, kas sākotnēji ir miera stāvoklī,
12:30
darbojas nemainīgs spēka moments,
12:32
un tas var griezties ap asi, kas iet caur tā centru.
12:34
Kura no šīm līknēm vislabāk attēlotu
12:36
cilindra rotācijas kinētisko enerģiju
12:39
kā laika funkciju?
12:40
Ja uz objektu darbojas nemainīgs
12:41
spēka moments,
12:43
tas izraisīs nemainīgu leņķisko paātrinājumu.
12:45
Un, ja leņķiskais paātrinājums ir nemainīgs,
12:47
mēs varam izmantot kinemātikas formulas,
12:49
lai noskaidrotu šī objekta beigu ātrumu.
12:52
Beigu leņķiskais ātrums, ja objekts sāka kustību no miera stāvokļa,
12:55
būtu vienkārši alfa reiz t.
12:57
Tas nozīmē, ka šī objekta rotācijas kinētisko enerģiju
13:00
varētu uzrakstīt kā 1/2 no inerces momenta,
13:03
kas ir konstante, reizinātu ar omega kvadrātā.
13:05
Kas šajā gadījumā būtu 1/2 I
13:08
reiz alfa t kvadrātā.
13:10
Tā kā kinētiskās enerģijas funkcija
13:12
ir proporcionāla laika kvadrātam,
13:14
ja jūs attēlotu kinētisko enerģiju kā laika funkciju,
13:17
tā izskatītos kā parabola,
13:19
tāpēc pareizā atbilde būtu B.
13:21
Kas ir impulsa moments?
13:23
Impulsa moments mūs interesē tāpēc,
13:25
ka tas saglabāsies sistēmā,
13:28
ja uz šo sistēmu nedarbosies ārējs spēka moments.
13:30
Un, tāpat kā parastais impulss ir masa reiz ātrums,
13:34
impulsa moments būs rotācijas inerce
13:37
reizināta ar leņķisko ātrumu.
13:39
Un šī ir ērta formula,
13:40
lai atrastu impulsa momentu stienim,
13:43
kura masa ir izvietota dažādos punktos
13:46
attālumā no rotācijas ass.
13:48
Savādais impulsa momentā ir tas,
13:50
ka pat punktveida masai, kas kustas pa taisni,
13:53
var būt impulsa moments.
13:55
Lai atrastu punktveida masas impulsa momentu,
13:57
kas kustas pa taisni,
13:58
ņem objekta masu,
14:00
reizini ar šī objekta ātrumu
14:02
un vai nu reizini ar to, cik tālu objekts ir no ass,
14:06
reiz leņķa sinusu starp
14:09
ātruma vektoru un šo R.
14:11
Vai arī vieglākais veids ir vienkārši reizināt ar
14:15
tuvāko pietuvošanās attālumu,
14:17
kas ir tas, cik tuvu šī masa jebkad pietuvosies
14:19
vai jebkad ir bijusi asij.
14:23
Citiem vārdiem sakot, lai noteiktu impulsa momentu
14:25
šai masai, kas kustas pa taisni,
14:27
novelciet taisnu līniju pa tās trajektoriju
14:29
un pajautājiet, cik tuvu tā ir pietuvojusies
14:31
vai jebkad pietuvosies asij?
14:33
Tas ir lielais R, par ko es runāju.
14:35
Un, ja jūs to reizināsiet ar masu un ātrumu,
14:38
jūs iegūsiet šīs punktveida masas impulsa momentu.
14:41
Impulsa moments ir vektors,
14:43
un visvieglāk ir domāt par virzienu
14:45
impulsa momentam kā par
14:47
kustību pretēji pulksteņrādītāja virzienam vai pulksteņrādītāja virzienā
14:49
atkarībā no tā, kurā virzienā objekts rotē.
14:52
Kas attiecas uz mērvienībām, ja jūs reizināt masu
14:54
kilogramos ar metriem sekundē un ar metriem,
14:57
jūs iegūtu kilogramu reiz metrs kvadrātā dalīts ar sekundi
15:00
kā impulsa momenta mērvienības.
15:02
Kāds ir piemērs uzdevumam,
15:03
kas ietver impulsa momentu?
15:05
Pieņemsim, ka māla lode ar masu M
15:07
virzījās uz stieni ar masu 3M un garumu L
15:10
ar ātrumu, kam vektora modulis ir v.
15:12
Stienis var brīvi griezties ap asi, kas iet caur tā galu.
15:15
Ja māls pielīp pie stieņa gala,
15:18
kāds būtu stieņa leņķiskais ātrums
15:20
pēc tam, kad māls ir pielipis pie stieņa?
15:22
Un mums ir dots, ka inerces moments
15:24
stienim ap tā galu ir 1/3 mL².
15:27
Tā kā uz šo sistēmu
15:28
nedarbosies kopējais ārējais spēka moments,
15:30
šīs sistēmas impulsa moments tiks saglabāts.
15:34
Vienīgais objekts šajā sistēmā,
15:35
kuram sākotnēji ir impulsa moments, ir šī māla lode.
15:38
Tā kā šī ir punktveida masa, kas kustas pa taisni,
15:41
mēs izmantosim formulu M reiz ātrums,
15:44
reiz tuvākais attālums, kādā tā jebkad nonāks līdz asij, kas ir L,
15:47
stieņa garums.
15:49
Tam būs jābūt vienādam ar beigu impulsa momentu,
15:51
ko mēs varam uzrakstīt kā I reiz omega.
15:53
Un šis I būtu inerces moments
15:55
gan stienim, gan mālam,
15:58
kas tagad ir pielipis pie stieņa gala.
16:00
Mums būtu MvL vienāds ar kopējo inerces momentu,
16:03
stieņa inerces moments ir 1/3 no stieņa masas,
16:07
kas ir 3M, reizināta ar stieņa garuma kvadrātu.
16:10
Plus šī māla gabala inerces moments,
16:13
kas pielipis pie stieņa gala
16:15
un rotē pa apli, būs
16:17
māla masa reiz apļa rādiuss,
16:20
ko māls veido, kas ir stieņa garums.
16:23
Citiem vārdiem sakot, mēs izmantojam formulu
16:25
punktveida masas inerces momentam,
16:27
kuras visa masa rotē
16:29
vienādā rādiusā no centra.
16:31
Un mēs to pieskaitām
16:33
paša stieņa inerces momentam.
16:34
Mēs reizinām ar omega.
16:36
Izteiksme iekavās ir 2ML².
16:39
Mēs varam noīsināt M,
16:41
mēs varam noīsināt vienu L
16:42
un iegūstam, ka omega būs vienāds ar v / 2L.
16:47
Pēdējā tēma, par kuru es gribu runāt,
16:48
ir vispārīgāka formula
16:50
gravitācijas potenciālajai enerģijai.
16:52
Kāpēc mums ir nepieciešama vispārīgāka formula?
16:54
Ja jūs atrodaties reģionā,
16:55
kur gravitācijas lauks, mazais g, ir nemainīgs,
16:58
tad jūs varat vienkārši izmantot mums pazīstamo formulu
17:00
mgh, lai atrastu gravitācijas potenciālo enerģiju.
17:03
Bet, ja jūs atrodaties reģionā,
17:04
kur gravitācijas lauks mainās,
17:06
tad jums ir jāizmanto šī vispārīgākā formula,
17:09
kas nosaka, ka gravitācijas potenciālā enerģija
17:12
starp divām masām, m1 un m2,
17:14
būs vienāda ar mīnus gravitācijas konstanti,
17:18
lielo G, reizinātu ar abu masu reizinājumu,
17:20
dalītu ar attālumu starp centru centriem
17:23
starp abām masām.
17:24
Ievēro, tas ir no centra līdz centram, nevis no virsmas līdz virsmai,
17:28
un tas nav kvadrātā, kā tas ir spēka formulā.
17:31
Šeit ir tikai attālums.
17:33
Gravitācijas potenciālā enerģija
17:34
nav vektors, bet šīs mīnus zīmes dēļ
17:37
gravitācijas potenciālā enerģija
17:39
vienmēr būs negatīva vai nulle.
17:41
Tā būs nulle tikai tad, kad šīs sfēras kļūs
17:43
bezgalīgi tālas viena no otras,
17:45
jo tad jūs dalītu ar bezgalību,
17:47
un 1 dalīts ar bezgalību būtu nulle.
17:49
Citos gadījumos tā vienmēr ir negatīva.
17:51
Bet, lai gan šī gravitācijas
17:52
potenciālā enerģija ir negatīva,
17:53
šī enerģija joprojām var tikt pārvērsta kinētiskajā enerģijā,
17:56
vienkārši, lai šī gravitācijas
17:58
potenciālā enerģija samazinātos,
18:00
tai būtu jākļūst vēl negatīvākai,
18:02
lai pārvērstu šo enerģiju kinētiskajā enerģijā.
18:05
Es pieminu šo tēmu šajā sadaļā,
18:07
jo bieži, kad planētas riņķo viena ap otru
18:09
pa riņķveida orbītām,
18:11
jums ir jāizmanto šī formula, lai noteiktu
18:13
gravitācijas potenciālo enerģiju starp tām.
18:15
Un, tā kā tā ir enerģija, mērvienības ir džouli,
18:18
tātad, kāds ir piemērs uzdevumam,
18:19
kas ietver šo vispārīgāko formulu
18:21
gravitācijas potenciālajai enerģijai?
18:23
Pieņemsim, ka divas sfēras ar rādiusu R un masu M
18:26
krīt viena pret otru
18:27
savstarpējās gravitācijas pievilkšanās dēļ.
18:29
Ja attālums no virsmas līdz virsmai
18:31
starp tām sākumā ir 4R un beigās ir 2R,
18:35
cik daudz kinētiskās enerģijas iegūs šī sistēma?
18:38
Mēs iekļausim abas masas mūsu sistēmā,
18:40
un tas nozīmētu,
18:41
ka netiks veikts ārējs darbs,
18:43
tāpēc šīs sistēmas enerģija tiks saglabāta.
18:46
Sistēma sāks ar
18:47
gravitācijas potenciālo enerģiju
18:48
mīnus lielais G, abas masas reizinātas kopā,
18:51
kas ir M², dalīts ar attālumu,
18:54
kādā tās sākumā atrodas viena no otras,
18:55
kas nav 4R, tas ir attālums no centra līdz centram,
18:58
kas būs 6R.
19:00
Pieņemsim, ka tās sāk kustību no miera stāvokļa,
19:01
tāpēc sākumā nebūs kinētiskās enerģijas,
19:03
un tas būs vienāds ar beigu
19:04
gravitācijas potenciālo enerģiju mīnus lielais G,
19:07
abas masas reizinātas, M²,
19:09
dalīts ar attālumu, kādā tās nonāk, kas nav 2R,
19:12
tas ir attālums no centra līdz centram, tātad tas ir 4R,
19:15
plus tik daudz potenciālās enerģijas,
19:17
cik daudz tika pārvērsts kinētiskajā enerģijā.
19:19
Ja mēs atrisinām šo vienādojumu attiecībā pret kinētisko enerģiju,
19:20
mēs iegūsim mīnus lielais G, M² dalīts ar 6R
19:24
plus lielais G, M² dalīts ar 4R.
19:28
1/4 mīnus 1/6 būs 1/12.
19:31
Potenciālās enerģijas daudzums,
19:32
kas tika pārvērsts kinētiskajā enerģijā,
19:34
būtu lielais G, M² dalīts ar 12R.
centrtieces paātrinājums(centripetal acceleration)
elektriskā lauka potenciālā enerģija(electric field potential energy)
impulsa moments(angular momentum)
ķermeņa inerces moments(moment of inertia (body))
leņķiskais ātrums(angular velocity)
leņķiskais paātrinājums(angular acceleration)
Ņūtona likumi(Newton’s laws)
spēka moments(torque (moment of force))
tangenciālais (lineārais) paātrinājums(tangential (linear) acceleration)

Kopsavilkums

Šis video sniedz visaptverošu pārskatu par rotācijas kustības jēdzieniem, kas piemērots AP Fizikas līmeņa mācību programmai. Tas aptver pamatprincipus, sākot no rotācijas kinemātikas līdz impulsa momentam un gravitācijas potenciālajai enerģijai.

Apskatītās galvenās tēmas

  • Rotācijas kinemātika: Ievads piecos rotācijas kustības mainīgajos (leņķiskais pārvietojums, sākuma/beigu leņķiskais ātrums, leņķiskais paātrinājums, laiks) un kinemātikas formulās, kas tos saista. Tiek uzsvērta tieša analoģija ar lineāro kinemātiku.
  • Sakarības starp lineārajiem un leņķiskajiem lielumiem: Formulu skaidrojums, kas, izmantojot trajektorijas rādiusu, saista lineāros lielumus (loka garumu, ātrumu, tangenciālo paātrinājumu) ar to leņķiskajiem ekvivalentiem.
  • Paātrinājums kustībā pa riņķa līniju: Izskaidrota atšķirība starp tangenciālo paātrinājumu (ātruma moduļa maiņa) un centrtieces paātrinājumu (kustības virziena maiņa).
  • Spēka moments: Spēka moments ir definēts kā spēka rotācijas analogs, kas izraisa leņķisko paātrinājumu. Tiek apskatīta spēka momenta formula (τ = rFsinθ), nosacījumi maksimālam spēka momentam un rotācijas līdzsvara jēdziens (kopējais spēka moments ir nulle).
  • Rotācijas inerce (inerces moments): Rotācijas inerce ir aprakstīta kā ķermeņa pretestība leņķiskajam paātrinājumam. Tiek skaidrots, kā masas sadalījums ietekmē šo vērtību, un dotas formulas dažādām formām, ieskaitot punktveida masu, stīpu, stieni (griežas ap centru un galu), pilnu lodi un cilindru/disku.
  • Otrais Ņūtona likums rotācijas kustībai: Iepazīstina ar Otrā Ņūtona likuma analogo formu rotācijas kustībai (α = τ_kop / I), kas saista kopējo spēka momentu, rotācijas inerci un leņķisko paātrinājumu.
  • Rotācijas kinētiskā enerģija: Definē rotācijas kinētisko enerģiju (K = ½ Iω²) un skaidro, kā aprēķināt pilno kinētisko enerģiju ķermenim, kas vienlaikus veic gan virzes, gan rotācijas kustību.
  • Impulsa moments: Iepazīstina ar impulsa momenta (L = Iω) jēdzienu un tā nezūdamības likumu, kad uz sistēmu neiedarbojas ārējo spēku kopējais moments. Tiek apskatīta arī formula impulsa momentam punktveida masai, kas kustas pa taisnu līniju.
  • Gravitācijas potenciālā enerģija (vispārīgā formula): Skaidro universālo gravitācijas potenciālās enerģijas formulu (U = -G m₁m₂ / r) un gadījumus, kad tā jālieto mgh vietā.

Atslēgvārdi

Rotācijas kinemātika, leņķiskais pārvietojums (θ), leņķiskais ātrums (ω), leņķiskais paātrinājums (α), spēka moments (τ), rotācijas līdzsvars, kopējais spēka moments, rotācijas inerce, inerces moments (I), Otrais Ņūtona likums rotācijas kustībai, rotācijas kinētiskā enerģija, virzes kustības kinētiskā enerģija, impulsa moments (L), impulsa momenta nezūdamība, gravitācijas potenciālā enerģija, centrtieces paātrinājums, tangenciālais paātrinājums, loka garums.

Uzdevumi un piemēri

Video katrs jēdziens tiek izskaidrots un pēc tam nostiprināts ar konkrētu piemēru/uzdevumu:

  1. Paātrinājuma analīze: Tiek noteikts centrtieces, tangenciālais un leņķiskais paātrinājums objektam, kas ar konstantu ātrumu rotē pa riņķa līniju.
  2. Rotācijas līdzsvara aprēķins: Tiek aprēķināts nezināms spēks, kas nepieciešams, lai līdzsvarotu stieni, nodrošinot, ka kopējais spēka moments ir nulle.
  3. Ripošanas sacensības: Tiek salīdzināts pilns cilindrs un dobs cilindrs, kas ripo lejā no kalna, lai, analizējot to inerces momentus, noteiktu, kurš sasniegs leju pirmais.
  4. Leņķiskā paātrinājuma aprēķināšana: Izmantojot Otro Ņūtona likumu rotācijas kustībai, tiek aprēķināts leņķiskais paātrinājums stienim, uz kuru iedarbojas vairāki spēki.
  5. Kinētiskās enerģijas grafika veidošana: Tiek noteikta rotācijas kinētiskās enerģijas atkarības no laika grafika forma cilindram, uz kuru iedarbojas konstants spēka moments.
  6. Neelastīga sadursme: Izmantojot impulsa momenta nezūdamības likumu, tiek aprēķināts stieņa un plastilīna sistēmas beigu leņķiskais ātrums pēc sadursmes.
  7. Gravitācijas enerģijas pārvēršanās: Tiek aprēķināta kinētiskā enerģija, ko iegūst divas lodes, krītot viena pret otru, pielietojot enerģijas nezūdamības likumu ar vispārīgo gravitācijas potenciālās enerģijas formulu.