Pārskats par rotācijas kustību

- [Aizkadra balss] Ko nozīmē periods un frekvence?

Periods ir sekunžu skaits,

kas nepieciešams, lai process pabeigtu

vienu pilnu ciklu, apli vai apgriezienu.

Ja notiek kāds periodisks process,

laiks, kas nepieciešams, lai šis process atgrieztos sākuma stāvoklī, ir periods,

un to mēra sekundēs.

Frekvence ir ciklu skaits,

vai apļu, vai apgriezienu skaits vienā sekundē.

Ja ir kāds process, kas atkārtojas,

tad reižu skaits, cik process atkārtojas

vienā sekundē, būtu frekvence.

Tas nozīmē, ka tās mērvienība ir 1/s,

ko sauc par hercu.

Un tā kā periods un frekvence ir definēti

šādā apgrieztā veidā kā sekundes ciklā

vai cikli sekundē, katrs no tiem

ir vienkārši otra apgrieztais lielums.

Citiem vārdiem sakot, periods ir

vienkārši 1 dalīts ar frekvenci, un

frekvence ir vienāda ar 1 dalīts ar periodu.

Viens periodiska procesa piemērs

ir objekts, kas kustas pa apli ar nemainīgu ātrumu.

Ja tas tā ir, tu vari saistīt

ātrumu (ātruma moduli), riņķa līnijas rādiusu,

un kustības periodu, jo ātruma vektora modulis

ir attālums pret laiku, un attālums,

ko objekts veic vienā ciklā, ir 2πr,

riņķa līnijas garums, tad ātrums būtu

vienkārši 2πr dalīts ar periodu,

vai, tā kā 1 dalīts ar periodu ir frekvence,

tu varētu uzrakstīt ātrumu kā 2πR reiz frekvence.

Tā kā laiks nav vektors, šie lielumi

nav vektori, un tie nevar būt negatīvi.

Kāds izskatās piemērs, kas saistīts ar periodu

un frekvenci?

Pieņemsim, ka pavadonis riņķo ap planētu

pa riņķveida orbītu ar rādiusu R un nemainīgu ātruma vektora moduli S.

Un mēs gribam zināt, kāds ir periods un frekvence,

izteikti ar dotajiem lielumiem un

fundamentālām konstantēm, tāpēc izmantosim sakarību

starp ātruma vektora moduli, periodu un frekvenci.

Mēs zinām, ka objektam, kas kustas pa riņķa līniju,

ātruma vektora modulis ir 2πr dalīts ar periodu.

Un tas nozīmē, ka periods šeit

būtu vienāds ar 2πr dalīts ar ātruma vektora moduli.

Un, tā kā frekvence ir 1 dalīts ar periodu,

ja mēs ņemam šī lieluma apgriezto vērtību,

mēs vienkārši apmainām skaitītāju ar saucēju vietām

un iegūstam, ka tas ir ātruma vektora modulis dalīts ar 2πr.

Bet mēs nevaram atstāt atbildi, izteiktu ar v.

Mums tas bija jāizsaka ar dotajiem lielumiem.

Mums bija dots S, tādēļ mūsu atbilde periodam

ir jābūt 2πr / S, un frekvencei

tas būtu S / 2πr, kas ir C.

Kas ir centrtieces paātrinājums?

Objekta centrtieces paātrinājums

ir paātrinājums, kas liek

šim objektam kustēties pa apli.

Un ir svarīgi atzīmēt, ka

šis centrtieces paātrinājums vienmēr ir vērsts

uz riņķa centru.

Formula, lai atrastu centrtieces paātrinājumu,

ir ātrums kvadrātā, dalīts ar rādiusu

riņķim, pa kuru objekts kustas.

Lai gan šai formulai ir nedaudz eksotisks veids

paātrinājumam, tas joprojām ir paātrinājums,

tāpēc tam joprojām ir mērvienības metri sekundē kvadrātā,

un tas ir vektors, kas nozīmē, ka tam

ir virziens, t.i., uz riņķa centru.

Bet šis centrtieces paātrinājums

neliek objektam palielināt vai samazināt ātrumu.

Šis centrtieces paātrinājums maina tikai

ātruma vektora virzienu.

Ja objekts, kas kustas pa apli,

arī palielina vai samazina ātrumu,

tad ir jābūt arī komponentei

paātrinājumam, kas ir tangenciāla riņķim,

citiem vārdiem sakot, ja objekts

kustas pa apli un palielina ātrumu,

ir jābūt paātrinājuma komponentei

ātruma vektora virzienā,

un, ja objekts samazina ātrumu,

ir jābūt paātrinājuma komponentei

pretēji ātruma vektora virzienam.

Centrtieces paātrinājums maina virzienu

ātruma vektoram, un tangenciālais paātrinājums maina

ātruma vektora moduli jeb tā lielumu.

Bet šī formula v² / R

dod tikai moduli

centrtieces paātrinājumam.

Tā neņem vērā tangenciālo paātrinājumu.

Kāds izskatās uzdevuma piemērs

ar centrtieces paātrinājumu?

Pieņemsim, ka daļiņa A kustas pa apli

ar nemainīgu ātrumu S un rādiusu R.

Ja daļiņa B kustas pa apli

ar divreiz lielāku ātrumu nekā A un divreiz lielāku rādiusu nekā A,

kāda ir paātrinājuma attiecība

daļiņai A salīdzinājumā ar daļiņu B.

Daļiņai A būs centrtieces paātrinājums

ātrums kvadrātā dalīts ar rādiusu,

un daļiņai B arī būs paātrinājums

ātrums kvadrātā, bet šis ātrums

ir divreiz lielāks par daļiņas A ātrumu,

un tā kustas pa apli

ar divreiz lielāku rādiusu nekā daļiņai A.

Kāpinot 2 kvadrātā, iegūsim 4, dalīts ar 2,

dod koeficientu 2 reiz ātrums

A kvadrātā, dalīts ar A rādiusu.

Tātad daļiņas A paātrinājuma attiecība

pret daļiņu B būs 1/2,

jo daļiņas A paātrinājums

ir puse no daļiņas B paātrinājuma.

Centrtieces spēki nav jauns spēka veids,

centrtieces spēki ir tikai viens

no jebkuriem citiem spēkiem, ar kuriem mēs jau esam iepazinušies,

un tas ir vērsts uz centru

riņķim, liekot objektam kustēties pa riņķa līniju.

Mēnesim, kas riņķo ap Zemi,

gravitācijas spēks ir centrtieces spēks.

Jojo, kas griežas auklā,

sastiepuma spēks ir centrtieces spēks.

Skeitbordistam, kas veic nāves cilpu,

virsmas reakcijas spēks ir centrtieces spēks.

Un automašīnai, kas brauc pa apļveida krustojumu,

miera berzes spēks ir centrtieces spēks.

Un šie spēki joprojām pakļaujas otrajam Ņūtona likumam,

bet, izmantojot centrtieces spēkus, tev

būs jāizmanto arī izteiksme

centrtieces paātrinājumam.

Ja spēks ir vērsts radiāli uz iekšu,

uz riņķa centru,

tu šo spēku uzskatītu par pozitīvu,

jo tas ir vērsts tajā pašā virzienā,

kurā vērsts centrtieces paātrinājums.

Un, ja spēks ir vērsts radiāli uz āru

no riņķa centra,

tu to uzskatītu par negatīvu spēku.

Un, ja spēks ir vērsts tangenciāli riņķim,

tu to šajā aprēķinā vispār neiekļautu.

Tu vari iekļaut šos spēkus savā

otrā Ņūtona likuma vienādojumā,

bet tu neizmantotu v² / R

šim paātrinājumam.

Šie tangenciālie spēki maina objekta ātrumu,

bet centrtieces spēks maina

objekta virzienu.

Kāds izskatās uzdevuma piemērs, kas saistīts

ar centrtieces spēkiem?

Iedomājies bumbiņu ar masu M, kas ripo pāri

pakalna virsotnei ar rādiusu R un ātrumu S.

Un mēs gribam zināt, kāds pakalna virsotnē

ir virsmas reakcijas spēka lielums,

kas no ceļa puses iedarbojas uz bumbiņu.

Uzzīmēsim spēku diagrammu.

Būs uz augšu vērsts virsmas reakcijas spēks

uz bumbiņu no ceļa puses, un būs

uz leju vērsts gravitācijas spēks,

kas iedarbojas uz bumbiņu no Zemes puses, un šie divi spēki

nebūs vienādi un pretēji vērsti.

Ja tie būtu vienādi un pretēji vērsti,

tie līdzsvarotu viens otru, un, ja spēki ir līdzsvarā,

objekts saglabātu savu ātruma vektoru

un turpinātu kustēties pa taisnu līniju.

Bet šī bumbiņa nekustas pa taisnu līniju,

tā sāk paātrināties uz leju.

Šim virsmas reakcijas spēkam ir jābūt mazākam

par gravitācijas spēku.

Lai noskaidrotu, par cik mazākam, mēs varam izmantot

otro Ņūtona likumu ar formulu

centrtieces paātrinājumam.

Ātruma modulis ir S, rādiuss ir R,

gravitācijas spēks būs pozitīvs

centrtieces spēks, jo tas ir vērsts uz

riņķa centru.

Virsmas reakcijas spēks būs negatīvs centrtieces spēks,

jo tas ir vērsts radiāli prom no

riņķa centra.

Tad mēs dalām ar masu, kas,

ja tu atrisini šo attiecībā pret virsmas reakcijas spēku,

dod gravitācijas spēku

mīnus mS² / R, kas ir loģiski,

jo šim virsmas reakcijas spēkam ir jābūt mazākam

par gravitācijas spēku.

Ņūtona vispasaules gravitācijas likums nosaka, ka

visas masas Visumā pievelk, t. i., piesaista

jebkuru citu masu Visumā

ar gravitācijas spēku.

Un šis spēks ir proporcionāls

katrai masai un apgriezti proporcionāls

kvadrātam no attāluma starp

abu masu centriem.

Matemātiskā formā tas vienkārši saka,

ka gravitācijas spēks ir vienāds ar lielo G,

konstanti, kas ir 6,67 * 10⁻¹¹,

reizinātu ar katru masu kilogramos,

un pēc tam dalīts ar attālumu no centra līdz centram

starp abām masām, citiem vārdiem,

nevis attālumu no virsmas līdz virsmai,

bet gan attālumu no centra līdz centram.

Un pat tad, ja šiem diviem objektiem ir atšķirīgas

masas, spēka modulis,

ar kādu tie iedarbojas viens uz otru, būs vienāds.

To ilustrē formula,

jo tu varētu samainīt šīs divas masas vietām,

un tu iegūtu to pašu skaitli.

Un tas ir arī kaut kas, ko mēs zinām no trešā Ņūtona likuma.

Šis gravitācijas spēks ir vektors,

un tam ir virziens; virziens vienmēr ir tāds,

ka tas pievelk visas pārējās masas,

un, tā kā tas ir spēks, mērvienība ir ņūtoni.

Kāds izskatās uzdevuma piemērs, kas saistīts

ar Ņūtona vispasaules gravitācijas likumu?

Pieņemsim, ka divas masas, abas ar masu M,

iedarbojas viena uz otru ar gravitācijas spēku F.

Ja vienu no masām aizstāj ar masu 3M

un attālums no centra līdz centram starp

masām tiek trīskāršots, kāds būtu

jaunais gravitācijas spēks?

Mēs zinām, ka gravitācijas spēks

vienmēr ir lielais G reiz viena no masām, reizināta

ar otru masu, dalīts ar attālumu no centra līdz centram

kvadrātā.

Sākotnējais spēks starp abām masām

būtu G * M * M / R²,

bet jaunais spēks ar jaunajām vērtībām būtu

G * 3M * M dalīts

ar trīskāršu rādiusu kvadrātā.

Koeficients 3² saucējā

dod 9, un 3 dalīts ar 9

ir 1/3 reiz G * M * M / R².

Mēs redzam, ka spēks ar jaunajām vērtībām ir

1/3 no spēka ar iepriekšējām vērtībām.

Ko nozīmē gravitācijas lauks?

Gravitācijas lauks ir tikai cits apzīmējums

brīvās krišanas paātrinājumam objekta tuvumā.

Tu vari vizualizēt gravitācijas lauku

kā vektorus, kas vērsti radiāli uz centru, uz masu.

Visas masas rada gravitācijas lauku, kas ir vērsts

radiāli uz tām un samazinās kā

1/R², jo tālāk tu no tām atrodies.

Formula gravitācijas laukam, mazajam g,

ko rada masa M, ir lielais G reiz

masa, kas rada lauku, dalīta ar attālumu

no masas centra līdz punktam, kurā

tu mēģini noteikt lauka vērtību.

Un atkal, šī gravitācijas lauka vērtība

būs vienāda ar vērtību

brīvās krišanas paātrinājumam

objektam, kas novietots šajā punktā.

Gravitācijas lauks ir vektors,

jo tam ir virziens, t. i., uz centru

objektam, kas to rada.

Un, tā kā gravitācijas lauks ir ekvivalents

brīvās krišanas paātrinājumam,

mērvienības ir m/s²,

bet to varētu rakstīt arī kā ņūtonus uz kilogramu,

kas ir cits veids, kā domāt par to, ko

nozīmē gravitācijas lauks.

Tas ir ne tikai brīvās krišanas paātrinājums

objektam, kas novietots šajā punktā,

bet tas ir arī gravitācijas spēka lielums,

kas iedarbojas uz masu m, kas novietota šajā punktā.

Tu varētu domāt par gravitācijas lauku

kā lielumu, kas mēra gravitācijas spēku

uz vienu kilogramu kādā telpas punktā,

ko pārveidojot iegūst pazīstamo formulu,

ka gravitācijas spēks ir vienkārši m reiz G.

Kāds izskatās uzdevuma piemērs, kas saistīts

ar gravitācijas lauku?

Pieņemsim, ka hipotētiskai planētai X ir trīs reizes

lielāka masa nekā Zemei un uz pusi mazāks rādiuss nekā Zemei.

Kāds būtu brīvās krišanas paātrinājums

uz planētas X, t. i., gravitācijas lauks

uz planētas X, izteikts ar paātrinājumu,

kas ir brīvās krišanas paātrinājums uz Zemes, kas irgz.

Mēs zinām, ka gravitācijas lauks uz Zemes

ir lielais G reiz Zemes masa

dalīts ar Zemes rādiusu kvadrātā,

ko mēs saucam par gz, un

gravitācijas lauks uz planētas X būtu

lielais G reiz trīskārša Zemes masa

dalīts ar pusi no Zemes rādiusa kvadrātā,

un, kad mēs kāpinām šo koeficientu 1/2 kvadrātā,

mēs iegūsim 1/4, kas ir saucējā,

tātad 3 dalīts ar 1/4 ir 12 reiz lielais G

Zemes masa dalīts ar Zemes rādiusu kvadrātā,

un, tā kā viss šis lielums ir paātrinājums,

kas ir brīvās krišanas paātrinājums uz Zemes, tad paātrinājums,

kas ir brīvās krišanas paātrinājums uz planētas X, būs 12 reizes

lielāks par brīvās krišanas paātrinājumu uz Zemes.

Dažreiz, risinot gravitācijas uzdevumus,

masas vietā tev tiks dots blīvums.

Blīvums ir masas daudzums tilpuma vienībā

konkrētam materiālam.

Blīvuma simbols ir grieķu burts ro,

un tu to vari atrast, ņemot masu

un dalot to ar tilpumu.

Tātad blīvuma mērvienība ir kilograms uz kubikmetru.

Un tas nav vektors, jo tam nav virziena,

bet tas ļauj atrisināt attiecībā pret masu.

Ja tu zini blīvumu, tu varētu teikt,

ka masa ir blīvums reiz tilpums.

Kāds izskatās uzdevuma piemērs, kas saistīts ar blīvumu?

Mēģināsim atkal risināt uzdevumu par hipotētisko planētu,

bet šoreiz tā vietā, lai teiktu,

ka planētai X ir trīsreiz lielāka masa nekā Zemei,

pieņemsim, ka planētai X ir trīs reizes

lielāks blīvums nekā Zemei, un atkal, uz pusi mazāks rādiuss nekā Zemei.

Kāds būtu brīvās krišanas paātrinājums

uz planētas X, izteikts ar paātrinājumu,

kas ir brīvās krišanas paātrinājums uz Zemes, gz.

Mēs varētu uzrakstīt formulu

gravitācijas paātrinājumam jeb gravitācijas laukam,

kas ir G M / R²,

bet šoreiz mēs nezinām masu,

mēs zinām tikai blīvumu, tāpēc mēs vēlamies pārrakstīt

šo formulu, izmantojot blīvumu,

ko mēs varam izdarīt, pārrakstot M kā ro reiz V,

jo blīvums ir masa uz tilpumu,

un masa ir blīvums reiz tilpums.

Bet mēs nezinām šīs planētas tilpumu,

mēs zinām tikai rādiusu, tāpēc mums ir jāpārraksta tilpums,

izmantojot rādiusu, ko mēs varam izdarīt,

jo planētas ir sfēriskas un sfēras tilpums

ir 4/3 πR³.

Mēs varam aizstāt šo izteiksmi

tilpuma vietā un beidzot iegūt izteiksmi

brīvās krišanas paātrinājumam g

reiz ro reiz 4/3 πR³ dalīts ar R².

Un mēs varam saīsināt R² skaitītājā un saucējā,

kas atstāj šo mazo g vienādu ar lielo G

reiz ro reiz 4/3 πR.

Tātad gravitācijas paātrinājums uz Zemes

būtu lielais G reiz Zemes blīvums reiz 4/3 π

reiz Zemes rādiuss.

Un gravitācijas paātrinājums

uz planētas X būtu lielais G reiz

planētas X blīvums, kas ir trīs reizes

lielāks par Zemes blīvumu, reiz 4/3 π

reiz planētas X rādiuss, kas ir puse

no Zemes rādiusa, kas, ja mēs iznesam

3 un koeficientu 1/2,

dod mums 3/2 reiz izteiksmi

brīvās krišanas paātrinājumam uz Zemes.

Tātad gravitācijas paātrinājums

uz planētas X būs 3/2

no gravitācijas paātrinājuma uz planētas Zeme.

Gravitācijas orbītas ir tikai īpašs gadījums

centrtieces paātrinājumam, kur kāds objekts

riņķo ap citu objektu

gravitācijas spēka dēļ.

Un, ja šī orbīta ir riņķveida,

mēs varam saistīt ātrumu, orbītas rādiusu

un masas vienu ar otru,

izmantojot otro Ņūtona likumu un centrtieces paātrinājumu.

Tu vienkārši ievieto paātrinājumu

kā centrtieces paātrinājumu, v²/R,

un, tā kā centrtieces spēks ir gravitācijas spēks,

tu vari ievietot izteiksmi

gravitācijas spēkam kā centrtieces spēku,

kas ir GMm / D².

Un, tā kā riņķojošā objekta masa saīsinās,

mēs iegūstam izteiksmi, kas saista ātrumu

riņķojošajam objektam, lielāko masu,

kas pievelk šo objektu,

un attālumu no centra līdz centram starp objektiem,

kas, ja mēs to atrisinām attiecībā pret v,

dod mums kvadrātsakni no G reiz masa,

kas pievelk objektu, dalīts ar

attālumu no centra līdz centram starp objektiem.

Ievēro, ka šī formula nav atkarīga no masas,

kas atrodas orbītā, jo šī masa saīsinājās

aprēķinā.

Kāds izskatās uzdevuma piemērs, kas saistīts

ar gravitācijas orbītām?

Iedomājies kosmosa staciju ar masu Ms,

kas riņķo 3R augstumā

virs planētas ar masu Mp un rādiusu R,

kā redzams šajā attēlā, un tad iedomājies

citu kosmosa staciju ar masu 3Ms,

kas riņķo 2R augstumā virs planētas

ar masu 4Mp un rādiusu 2R, kā redzams šajā attēlā,

un mēs gribam zināt, ja ātrums

kosmosa stacijai ar masu Ms ir v,

tad, izsakot ar v, kāds ir ātrums

kosmosa stacijai ar masu 3Ms?

Mēs tikko parādījām, ka ātrums

riņķojošam objektam būs vienāds

ar kvadrātsakni no G reiz

lielākā objekta masa, kas pievelk

mazāko objektu, dalīts ar

attālumu no centra līdz centram starp objektiem.

Un, tā kā šī formula neietver masu

riņķojošajam objektam, nav svarīgi,

ka objektiem ir dažādas masas,

bet planētas masai var būt nozīme.

Tātad, lai iegūtu kosmosa stacijas Ms ātrumu,

mēs varētu teikt, ka tā ir kvadrātsakne no lielā G

reiz planētas P masa, dalīts ar attālumu no centra līdz centram,

kas nebūs planētas rādiuss

vai augstums,

tas būs planētas rādiuss plus augstums,

jo tam ir jābūt attālumam no centra līdz centram,

kas šajā gadījumā būs 3R + R, kas ir 4R.

Un tagad, lai iegūtu kosmosa stacijas ātrumu

ar masu 3Ms, mēs izmantosim to pašu formulu,

kas ir lielais G reiz planētas masa, kas

šajā gadījumā ir 4Mp, dalīts ar

attālumu no centra līdz centram,

kas šajā gadījumā būtu 2R + 2R,

un atkal tas ir 4R, un, ja mēs salīdzinām,

vienīgā atšķirība starp šīm izteiksmēm

ir tā, ka ir papildu reizinātājs 4

šajā kvadrātsaknē.

Tātad, ja mēs iznesam šo reizinātāju, kvadrātsakne

no 4 ir 2, mēs iegūtu divreiz lielāku izteiksmi

nekā kosmosa stacijas Ms ātrumam.

Tātad kosmosa stacija 3Ms pārvietojas ar divreiz

lielāku ātrumu nekā kosmosa stacija Ms.