Stāvviļņi uz stīgām
Apskatīt video Khan Academy platformā: 
Standing waves on strings
Transkripts:
00:00
- [Instruktors] Ja tev ir vide,
00:01
un tu to iesvārsti, tu vari radīt vilni.
00:03
Un, ja tu radi vilni vidē,
00:05
kurai nav robežu,
00:07
citiem vārdiem sakot, vidē, kas ir tik liela,
00:09
ka šis vilnis būtībā nekad nesasniedz robežu,
00:12
tad tevi nekas īsti neaptur
00:13
no jebkura garuma viļņa radīšanas
00:16
vai jebkādas frekvences.
00:17
Citiem vārdiem sakot, īsti nav
00:19
kādu dabiski vēlamāku viļņu garumu,
00:21
tie jebkurš un visi viļņa garumi ir vienādi labi.
00:23
Taču, ja tu ierobežo šo vilni vidē,
00:26
kurai ir robežas, šis vilnis atstarosies,
00:29
kad tas sasniegs robežu,
00:31
un tas nozīmē, ka tas pārklāsies pats ar sevi.
00:33
Un, kad tas notiek, tu vari radīt kaut ko,
00:35
ko sauc par stāvviļņiem.
00:37
Un mēs tūlīt parunāsim par to, ko tie nozīmē,
00:39
bet iemesls, kāpēc tie mums ir svarīgi,
00:40
ir tas, ka, rodoties stāvviļņiem,
00:42
tie "izvēlas" noteiktus viļņu garumus un frekvences.
00:45
Tikai noteikti viļņu garumi un frekvences
00:48
izveidos šos stāvviļņus,
00:50
un galu galā notiek tā,
00:51
ka tie bieži kļūst dominējoši,
00:53
un tāpēc šos stāvviļņus
00:54
ir svarīgi pētīt.
00:56
Pētīsim dažus stāvviļņus.
00:57
Apskatīsim konkrētu piemēru.
00:59
Pieņemsim, ka tev ir stīga,
01:00
o, ne tik daudz stīgu.
01:02
Viena stīga šeit, un tu pienaglo
01:03
šo stīgu abos galos.
01:05
Tu neļausi notikt nekādai kustībai
01:07
šīs stīgas galos.
01:09
Šī stīga var kustēties vidū,
01:10
bet tā nevar kustēties galapunktos.
01:13
Un tas nav nekas neparasts.
01:14
Ģitāras stīga būtībā ir stīga, kas nostiprināta abos galos.
01:18
Klavieru stīgas ir stīgas, kas nostiprinātas abos galos.
01:20
Fizika, kas ir stāvviļņu pamatā,
01:22
nosaka nošu veidus, ko tu iegūsi
01:24
no visiem šiem instrumentiem.
01:26
Un, starp citu, šis punkts šeit,
01:28
mēs būtībā nodrošinām, ka tam nav kustības.
01:31
Pienaglojot to,
01:32
es patiesībā domāju, ka nebūs kustības
01:34
šajā galapunktā un nekādas kustības šajā galapunktā.
01:38
Un tā vietā, lai sauktu tos par nekustīgiem punktiem,
01:40
fiziķi tam izdomāja nosaukumu.
01:42
Viņi tos sauc par mezgla punktiem.
01:44
Mezgls ir tikai tāds smalks vārds,
01:46
lai apzīmētu nekustīgumu šajā punktā.
01:49
Šai stīgai katrā galā būs mezgla punkti.
01:52
Un mēs redzēsim, ka, izveidojot stāvvilni,
01:53
ir iespējams, ka mezgla punkti ir arī vidū,
01:56
bet tiem nav obligāti jābūt.
01:57
Taču šai stīgai
01:58
mēs nodrošinām, ka mezgla punktiem jābūt katrā galā.
02:02
Kāpēc un kā rodas stāvvilnis?
02:05
Pieņemsim, ka tu parausti stīgas galu šeit
02:07
un radi svārstību,
02:09
šī svārstība virzīsies tālāk pa stīgu,
02:11
jo tā dara viļņi.
02:13
Tā nonāks šeit.
02:14
Kad tā sasniegs robežu,
02:15
tā atstarosies atpakaļ, pa kreisi.
02:17
Izrādās, ka tad, kad stīga atduras pret robežu,
02:19
kur tā ir nostiprināta, citiem vārdiem sakot, kad tā atduras pret mezgla punktu,
02:22
tā apgriežas otrādi.
02:23
Varbūt tu to esi mēģinājis ar šļūteni.
02:26
Ja tu esi raidījis impulsu pa līniju,
02:29
un novēro, kā tas atstarojas,
02:30
tad redzi, ka tas atstarojas, apgriezts otrādi.
02:33
Mūsu mērķiem tam nav lielas nozīmes,
02:35
bet katru reizi, kad tas atstarosies,
02:36
tas mainīs virzienu.
02:38
Tagad pieņemsim, ka viena impulsa vietā
02:41
mēs nosūtām veselu virkni impulsu.
02:44
Mēs nosūtām, piemēram, vienkāršu harmonisku vilni.
02:46
Kad šis vilnis atstarojas,
02:48
tas atstarosies atpakaļ, pārklājoties pats ar sevi,
02:50
jo šī priekšējā mala atstarosies apgriezta otrādi
02:54
šādā veidā un sastapsies ar visu pārējo
02:56
vilni aiz sevis un pārklāsies ar to,
02:59
radot kopējo vilni,
03:01
kas sastāvētu no viļņa, kas virzās pa labi,
03:05
un viļņa, kas virzās pa kreisi.
03:07
Un tu vari izmantot superpozīciju un interferenci,
03:09
lai noskaidrotu, kas tas ir,
03:10
kas vairumam viļņu garumu būs vienkārši juceklis.
03:13
Ja tu vienkārši nosūti jebkādu viļņa garumu, kādu vēlies,
03:16
un ļauj tam atstaroties atpakaļ sevī,
03:18
kopējais vilnis, ko tu iegūsti, var nebūt nekas īpašs.
03:21
Tas varētu būt vienkārši juceklis.
03:24
Nekas īpaši interesants.
03:26
Tomēr būs noteikti viļņu garumi,
03:28
kas izveidos stāvvilni,
03:30
un es tūlīt parādīšu, kā tas izskatās.
03:32
Kā atrast šos īpašos viļņu garumus?
03:35
Vienkārši pajautā sev,
03:36
kādus viļņu garumus es varētu uzzīmēt uz šīs stīgas,
03:39
lai katrā galā būtu mezgla punkts?
03:42
Kāds viļņa garums ietilptu šajā apgabalā
03:45
un tam būtu mezgla punkts abos galos.
03:48
Tā vietā, lai mēģinātu saskaitīt
03:49
sarežģītu viļņu superpozīciju,
03:51
mēs varam noskaidrot īpašos viļņu garumus,
03:53
vienkārši uzzīmējot tos un redzot, kuri der.
03:56
Pamēģināsim.
03:57
Atbrīvosimies no visa šī.
03:58
Labi, kādi viļņu garumi šeit ietilptu?
04:01
Mēs zinām, kā izskatās vienkāršs harmonisks vilnis.
04:03
Tas izskatās apmēram šādi.
04:04
Jautājums, kas mums jāuzdod,
04:05
ir – ja mēs sākam nulles punktā,
04:08
jo es gribu pārliecināties, ka man ir mezgla punkts kreisajā galā,
04:10
kā varētu izskatīties šī grafika forma,
04:13
lai es sasniegtu mezgla punktu arī otrā galā?
04:16
Pirmā iespēja, paskaties,
04:17
es sāku mezgla punktā, kad es atkal nonāku mezgla punktā?
04:20
Es nonāku mezgla punktā, kad tas pieņem šādu formu.
04:23
Šeit ir vēl viens mezgla punkts.
04:24
Pirmā iespēja,
04:26
kas būs garākā, lielākā iespēja,
04:29
būtu vilnis, kas izskatās apmēram šādi.
04:31
Izskatās mazliet pēc lecamauklas.
04:32
Šis būtu pirmais iespējamais stāvvilnis,
04:34
ko tu vari izveidot uz šīs stīgas.
04:36
Un tas nozīmē, ka tas ir īpašs,
04:37
to sauc par pamatviļņa garumu.
04:39
Šis ir galvenais.
04:40
Šis dominē pār visiem pārējiem viļņu garumiem,
04:42
ar kuriem mēs saskarsimies.
04:43
Jā, šeit var izveidot arī citus stāvviļņus,
04:46
bet šis ir galvenais, alfa tēviņš,
04:48
un, ja tu ļauj šai stīgai vibrēt, kā tā vēlas,
04:51
tā izvēlēsies pamatviļņa garumu.
04:53
Un kas tad notiktu?
04:54
Stīga nebūs vienkārši iekārta gaisā šādi,
04:57
tā kustēsies,
04:58
bet tos sauc par stāvviļņiem,
05:00
jo šis maksimums vairs neizskatās,
05:02
ka tas kustētos pa labi vai pa kreisi.
05:04
Šis maksimums vienkārši kustēsies augšup un lejup,
05:06
tāpēc bieži, zīmējot šos stāvviļņus,
05:08
mēs zem tā zīmējam pārtrauktu līniju,
05:10
kas ir spoguļattēls treknajai līnijai,
05:12
jo viss, ko šis maksimums darīs, ir ies no augšas
05:14
uz leju, tad atpakaļ uz augšu,
05:16
tas vienkārši svārstīsies.
05:17
Tas izskatīsies kā lecamaukla,
05:18
bet tā negriežas,
05:20
tā vienkārši kustas augšup, tad lejup, tad augšup, tad lejup,
05:22
tā pieņem šādu formu, tad tā būtu plakana,
05:24
tad tā varētu izskatīties apmēram šādi,
05:26
un tad tā nonāk šeit,
05:28
un tad tā atkal iet uz augšu,
05:29
un tā turpina kustēties augšup un lejup.
05:31
Mēs to saucam par stāvošu, bet tas ir vairāk kā dejojošs.
05:33
Tas ir kā dejojošs vilnis,
05:34
bet mēs tos saucam par stāvviļņiem,
05:36
jo šie maksimumi nekustas pa labi vai pa kreisi.
05:38
Tas ir pamatviļņa garums.
05:39
Kā izskatītos nākamā iespēja?
05:42
Paskatīsimies, mums jāsāk no mezgla punkta.
05:43
Mēs zinām, ka mums jādodas no mezgla punkta
05:45
līdz citam mezgla punktam.
05:46
Tas bija pirmais.
05:47
Turpināsim un iesim pie nākamā.
05:49
Un tas būtu nākamais iespējamais stāvvilnis,
05:51
jo tam būtu jāietilpst šeit.
05:53
Kā tas izskatītos?
05:55
Tas ietu uz augšu, tad uz leju,
05:57
un tad atkal atgrieztos augšā,
05:59
lai otrā galā satiktu šo mezgla punktu.
06:01
Tas būtu nākamais viļņa garums.
06:02
Dažreiz to sauc par otro harmoniku.
06:05
Otro, jo tā ir otrā iespēja,
06:07
harmonika, jo tās ir rezonanses,
06:10
un šo terminu bieži lieto,
06:11
runājot par rezonansēm mūzikas instrumentos.
06:14
Kā izskatītos trešā harmonika?
06:15
Mums jāsāk no mezgla punkta,
06:17
mēs ejam uz šo, tas bija pamatvilnis,
06:19
šī ir otrā harmonika,
06:20
tātad tā būs trešā harmonika.
06:22
Šis ies uz augšu,
06:24
tad ies uz leju, tad atkal uz augšu,
06:26
un tad atkal atgriezīsies lejā,
06:27
un tā būtu trešā harmonika.
06:29
Un jūs redzat, ka varētu tā turpināt.
06:31
Tu vari izveidot bezgalīgi daudz šādu viļņu.
06:33
Bet analizēsim, kas šeit notiek.
06:34
Kas patiesībā notiek šajos stāvviļņos?
06:37
Ievēro, ka būs punkti,
06:39
piemēram, tieši šeit uz šīs trešās harmonikas,
06:41
un ja es uzzīmēju tās spoguļattēlu, lai es to iegūtu.
06:44
Lūk, kā tas izskatītos
06:46
varbūt nedaudz vēlāk, patiesībā tieši pēc pusperioda
06:50
pēc šīs treknās līnijas.
06:51
Tu pagaidi, un šis maksimums pārvietojas uz leju šeit,
06:54
šī ieplaka pārvietojas uz augšu, līdz šim maksimumam,
06:56
šis maksimums pārvietojas uz leju šeit,
06:58
tie svārstās uz priekšu un atpakaļ.
07:00
Bet ievēro, šis punkts šeit paliek uz vietas.
07:03
Tas pat nekustēsies.
07:05
Tas ir mezgla punkts, un tāpat arī šis punkts šeit.
07:07
Šie punkti rodas,
07:08
jo, kad šie viļņi atkal sakrīt,
07:10
atceries, vilnis virzās pa labi,
07:12
atstarojas atpakaļ pa kreisi,
07:14
un šajā punktā šeit un šajā punktā šeit,
07:17
notiek destruktīva interference
07:18
starp šiem diviem viļņiem.
07:20
Līdzīgi, šajos punktos,
07:22
kur ir maksimālā nobīde,
07:24
abi viļņi sakrīt tādā veidā,
07:26
ka tie interferē konstruktīvi.
07:29
Mezglu punkti ir destruktīvie punkti,
07:31
kur vilnis izdzēšas.
07:33
Tas ir loģiski, jo tur nekas nenotiek,
07:35
nav kustības.
07:36
Un šie maksimālās nobīdes punkti
07:38
ir konstruktīvie punkti.
07:39
Mums vajadzētu tiem dot nosaukumu.
07:40
Kā, tavuprāt, mēs tos saucam?
07:42
Ja tu minēji blīzuma punkts, tad tev ir taisnība.
07:44
Tos sauc par blīzuma punktiem,
07:45
jo tur ir vislielākā kustība.
07:48
Tagad tev bieži vien ir matemātiski jāizdomā,
07:50
attiecībā pret stīgas garumu,
07:53
kādus reālos viļņu garumus tu vari iegūt.
07:55
Zīmējuma zīmēšana ļauj tos atrast.
07:57
Bet kā tos faktiski iegūt matemātiski?
07:59
Es šeit esmu radījis šausmīgu nekārtību.
08:01
Ļauj man to sakopt.
08:02
Atvainojos par to.
08:03
Atbrīvošos no tā visa.
08:04
Es šeit pievienošu dažas stīgas.
08:05
Un, lai viss nekļūtu pārāk abstrakts,
08:07
pieņemsim, ka šīs stīgas garums,
08:09
ir diezgan liels, pieņemsim, ka tas ir 10 metri.
08:11
Ļoti gara stīga, tu to nostiprini abos galos.
08:13
Pirmais stāvvilnis izskatījās šādi.
08:15
Lecamauklas režīms, izskatījās šādi.
08:17
Ja stīgas garums ir 10 metri,
08:19
kāds būtu šī viļņa garums?
08:23
Tu varētu teikt 10 metri, bet nē.
08:25
Atceries, šis nav viens vesels viļņa garums,
08:27
ja mēs paskatītos uz šo viļņa modeli, kas mums bija šeit,
08:29
ko mēs izmantojām,
08:30
šis ir viens vesels viļņa garums.
08:32
Tev bija jātiek līdz šejienei,
08:34
lai veiktu vienu pilnu viļņa garumu,
08:36
šis bija tikai puse no viļņa garuma.
08:37
Šī lecamaukla ir tikai puse no viļņa garuma.
08:40
Kā izskatītos vesels viļņa garums?
08:42
Tas stieptos līdz pat šejienei,
08:44
un atpakaļ augšā, es īsti nevaru tur tikt,
08:46
lai neizietu no ekrāna.
08:47
Tas būtu vesels viļņa garums.
08:49
Tie būtu 10 metri un tad vēl 10 metri.
08:52
Tas nozīmē, ka šī viļņa garums,
08:54
lai gan vesels viļņa garums šeit neietilpst,
08:56
ja uz šīs pagarinātās stīgas būtu vesels viļņa garums,
08:59
šis viļņa garums būtu 20 metri.
09:02
Kāds bija nākamais vilnis?
09:03
Atceries, tas izskatījās šādi.
09:05
Tam bija viens mezgla punkts vidū,
09:07
kamēr šim pirmajam pamatviļņa garumam
09:09
vidū nebija mezgla punktu.
09:10
Un atkal, ja šī stīga ir 10 metrus gara,
09:12
kāds ir šis viļņa garums?
09:13
Tas ir viegli.
09:14
Šis ir viens vesels viļņa garums.
09:15
Tas būtu vienkārši 10 metri.
09:17
Tātad viļņa garums šeit būtu 10 metri,
09:19
jo viens vesels viļņa garums precīzi ietilpa
09:21
10 metrus garajā stīgā.
09:23
Un trešā harmonika izskatās apmēram šādi.
09:26
Tai ir divi mezgla punkti vidū.
09:27
Ievēro, ka vidū parādās arvien jauns mezgla punkts.
09:30
Pamatvilnim vidū nav mezgla punktu.
09:32
Otrajai harmonikai ir viens mezgla punkts vidū.
09:35
Trešajai harmonikai būs divi.
09:36
Ceturtajai būs trīs un tā tālāk.
09:38
Kāds ir šis viļņa garums?
09:40
Šo cilvēkiem ir daudz grūtāk izdomāt.
09:42
Paskatīsimies uz šo.
09:43
Viens viļņa garums ir līdz šejienei.
09:45
Šis ir viļņa garums.
09:48
Bet mūsu stīga ir šāda garuma.
09:50
Kāda daļa no šī garuma ir šis viļņa garums?
09:53
Paskaties, šis viļņa garums ir divas trešdaļas
09:56
no visa stīgas garuma.
09:58
Tas nozīmē, ka mēs varētu vienkārši teikt, ka šis viļņa garums
10:00
ir divas trešdaļas no 10 metriem, kas ir
10:04
mēs to varētu uzrakstīt kā 20 metri dalīts ar 3,
10:07
un mēs šeit turpināsim.
10:08
Es uzzīmēšu pārējo.
10:09
Šī ir ceturtā harmonika.
10:10
Cik liels ir šis viļņa garums?
10:11
Šis viļņa garums aptver pusi no stīgas.
10:14
Tātad, šis viļņa garums būs
10:16
puse no stīgas garuma
10:17
un tā būs puse no 10, kas ir 5 metri.
10:21
Un mēs varam turpināt.
10:21
Es varu uzzīmēt piekto harmoniku šeit.
10:24
Un tā izskatītos šādi, un tu varētu sev pajautāt,
10:26
cik liels ir šis viļņa garums?
10:27
Šis viļņa garums, paskatīsimies.
10:29
Viens, divi, trīs, četri, pieci,
10:30
mums šeit ir pieci šādi pacēlumi.
10:32
Šis viļņa garums būs divas piektdaļas
10:35
no šī kopējā garuma.
10:37
Es vienkārši rakstīšu, ka lambda ir 2 * 10
10:41
būtu 20 metri, tātad divas piektdaļas no 10
10:44
būtu 20 metri dalīts ar 5,
10:46
o, ko mēs varētu vienkāršot kā 4 metri.
10:49
Bet ko darīt, ja tev jautātu par, piemēram, 43. harmoniku?
10:52
Ja viņi jautā, hei, kāds ir viļņa garums
10:53
43. harmonikai?
10:55
Es negribu sēdēt un zīmēt 43 šādas lietas
10:58
un mēģināt izdomāt, kāda daļa tā ir.
10:59
Un tev tas nav jādara.
11:00
Šeit ir likumsakarība.
11:01
Ļauj man parādīt tev šo likumsakarību.
11:03
Tas izskatīsies nedaudz dīvaini,
11:04
bet es uzrakstīšu šo pirmo pamatviļņa garumu
11:06
kā 2 * 10 metri dalīts ar 1.
11:10
Un tad es uzrakstīšu otro harmoniku
11:12
kā 2 * 10 metri dalīts ar 2.
11:15
Un es uzrakstīšu šo trešo harmoniku
11:17
kā 2 * 10 metri dalīts ar 3.
11:21
Šī ceturtā harmonika būs
11:22
2 * 10 metri dalīts ar 4.
11:25
Šo piekto harmoniku varētu ekvivalenti uzrakstīt
11:28
kā 2 * 10 metri dalīts ar 5, jo tās ir 2/5.
11:33
Un tagad, cerams, tu redzi likumsakarību.
11:35
Tu saproti, labi, es redzu, kas šeit notiek.
11:37
Ja es gribu n-tās harmonikas viļņa garumu,
11:41
n var būt, piemēram, pirmais, otrais, trešais,
11:44
tātad n ir vienkārši vesels skaitlis 1, 2, 3 un tā tālāk.
11:49
Es varētu izdomāt, kāds būtu šis viļņa garums,
11:50
vienkārši ņemot divkāršotu stīgas garumu,
11:54
es to rakstīšu kā L,
11:55
lai tas attiektos uz jebkuru stīgu ar jebkuru garumu,
11:58
kamēr vien tai ir mezgla punkti galapunktos.
12:01
Ņem 2 * L un tad vienkārši dali ar n.
12:03
Citiem vārdiem sakot, ja es gribu viļņa garumu
12:05
84. harmonikai, es vienkārši ņemšu
12:08
divkāršotu manas stīgas garumu un dalīšu ar 84.
12:11
Ja es gribētu 33. harmoniku,
12:13
es ņemtu divkāršotu stīgas garumu dalītu ar 33,
12:16
un tas man dotu šīs harmonikas viļņa garumu.
12:19
Tev jāatceras, ka, kad mēs izvedām šo vienādojumu,
12:22
mēs zīmējām šos attēlus, un tajos
12:24
visos pieņem, ka galapunkti ir mezgla punkti.
12:27
Šis vienādojums pieņem, ka tev ir mezgla punkts.
12:30
Mezgls, stāvvilnis uz stīgas,
12:32
kas, godīgi sakot, gandrīz vienmēr tā ir,
12:34
jo visos instrumentos ar stīgām abi gali ir nostiprināti.
12:38
Atkārtojot, kad tu ierobežo vilni noteiktā reģionā,
12:41
vilnis atstarosies no robežām
12:43
un pārklāsies ar sevi,
12:45
izraisot konstruktīvu un destruktīvu interferenci.
12:47
Noteiktiem viļņu garumiem tu vari izveidot stāvvilni,
12:50
kas nozīmē, ka vilnis vienkārši svārstās augšup un lejup,
12:53
nevis pa kreisi un pa labi.
12:55
Šajos stāvviļņos
12:56
punktus, kuros nav kustības, sauc par mezglu punktiem.
12:59
Un maksimālās nobīdes punktus
13:01
sauc par blīzuma punktiem.
13:02
Tu vari atrast iespējamos viļņu garumus
13:04
stāvvilnim uz stīgas, kas nostiprināta abos galos,
13:07
nodrošinot, ka stāvvilnis
13:08
pieņem vienkārša harmoniska viļņa formu
13:10
un tam ir mezgla punkti abos galos,
13:12
kas, ja tu to izdari, dod tev formulu
13:14
iespējamiem viļņu garumiem
13:16
stāvvilnim ar mezgla punktiem abos galos,
13:18
kas ir divkāršots stīgas garums,
13:20
dalīts ar harmonikas numuru,
13:22
kas tevi interesē.
Eksperta komentārs
Video paskaidrots, kāpēc stāvviļņi rodas tikai tad, ja vilnis izplatās ierobežotā vidē (piem., stīga nostiprināta abos galos). Vilnis atstarojas no robežas un pārklājas pats ar sevi, tāpēc noteiktos apstākļos veidojas stabils "raksts": daži punkti vienmēr paliek nekustīgi (mezgli), bet citi svārstās ar vislielāko amplitūdu (blīzumi). Video uzsverts, ka stāvviļņi “atlasa” tikai noteiktus viļņa garumus un frekvences (harmonikas), un parāda, kā tos var noteikt vispirms ar zīmējumu un pēc tam vispārināt jebkurai harmonikai (stīgai ar mezgliem galos).
Jēdzieni: stāvvilnis, viļņu superpozīcijas princips, interference, mezgls, blīzums, pamattonis (pirmā harmonika), harmonikas, rezonanse.