Bora modeļa enerģijas līmeņi (matemātiskais izvedums fizikā)
Apskatīt video Khan Academy platformā: 
Bohr model energy levels (derivation using physics)
Transkripts:
00:01
Turpinot par Bora modeli,
00:03
nākamais, par ko mums jārunā,
00:04
ir dažādie enerģijas līmeņi.
00:06
Tātad mēs šajā video runāsim par enerģiju,
00:09
un atkal jau ir daudz fizikālu atvasinājumu,
00:11
tāpēc tu vari pāriet uz nākamo video,
00:13
lai redzētu, ko mēs šajā video iegūsim,
00:16
lai redzētu, kā to pielieto.
00:17
Labi, mums jārunā par enerģiju,
00:20
un vispirms mēs centīsimies atrast
00:22
elektrona kinētisko enerģiju,
00:25
un mēs zinām, ka kinētiskā enerģija ir vienāda ar:
00:28
1/2 mv kvadrātā,
00:30
kur "m" ir elektrona masa,
00:33
un "v" ir ātrums.
00:36
Tātad, ja mūsu elektrons kustas šādā veidā,
00:40
ja tas riņķo ap kodolu,
00:42
tad šis ir mūsu elektrons, negatīvais lādiņš,
00:44
un ātruma vektors šajā punktā būtu pieskare.
00:48
Un mēs zinām, ka šo elektronu pievelk kodols.
00:52
Mums ir viens protons kodolā
00:55
ūdeņraža atoma Bora modelī,
00:58
un mēs zinām, ka Bora modelī
01:01
ir noteikts rādiuss, kas saistīts
01:04
ar to, kur atrodas elektrons.
01:05
Tātad mēs zinām, ka elektronu arī pievelk kodols.
01:09
Darbojas elektriskais spēks. Tātad šo elektronu
01:12
pievelk kodols, šis ir pievilkšanas spēks.
01:15
Šis ir elektriskais spēks, tas ir centrtieces spēks –
01:19
spēks, kas notur elektronu
01:20
riņķveida orbītā ap kodolu.
01:25
Mēs runājām par šī
01:29
elektriskā spēka lielumu kādā citā video,
01:31
un tas mums būs vajadzīgs arī šajā video.
01:32
Mēs to izmantosim, lai iegūtu
01:34
elektrona kinētisko enerģiju.
01:37
Tātad elektrisko spēku nosaka Kulona likums,
01:40
elektriskā spēka lielums
01:41
ir vienāds ar k, kas ir konstante,
01:43
"q1", kas ir, teiksim, lādiņš uz protona,
01:47
reiz "q2", lādiņš uz elektrona,
01:50
dalīts ar "r kvadrātā",
01:52
kur "r" ir attālums starp abiem lādiņiem.
01:56
Mēs zinām otro Ņūtona likumu:
01:58
spēks ir vienāds ar masa reiz paātrinājums.
02:01
Mēs runājam par elektronu,
02:03
tātad elektrona masa reiz
02:05
elektrona paātrinājums.
02:07
Elektriskais spēks ir centrtieces spēks,
02:09
kas notur riņķveida kustībā,
02:11
tātad mēs varam teikt, ka tas ir "centrtieces paātrinājums".
02:14
Labi, pierakstīsim, ko mēs zinām.
02:17
"k" ir konstante, to mēs šeit pierakstīsim.
02:19
"q1" ir protona lādiņš,
02:25
ko zinām kā elementārlādiņu,
02:28
tātad tas būs pozitīvs "e".
02:32
"q2" ir elektrona lādiņš .
02:35
Elektrona lādiņam ir tāda pati vērtība
02:38
kā protona lādiņam, bet ar negatīvu zīmi.
02:41
Tātad mums ir mīnus "e", kas ir elektrona lādiņš,
02:44
dalīts ar "r kvadrātā",
02:46
ir vienāds ar elektrona masu
02:49
reiz centrtieces paātrinājumu.
02:52
Tātad centrtieces paātrinājums
02:54
ir vienāds ar "v kvadrātā" dalīts ar "r".
02:57
Mēs to izdarījām iepriekšējā video.
02:59
Mēs darīsim tieši to pašu, ko darījām iepriekš.
03:01
Mums interesē tikai elektriskā spēka lielums,
03:04
jo mēs jau zinām virzienu –
03:06
tas vienmēr būs vērsts uz centru,
03:08
un tāpēc mums interesē tikai...
03:11
mūs neinteresē šī negatīvā zīme šeit.
03:13
Mēs varam arī saīsināt vienu no "r".
03:16
Tātad, ja mūs neinteresē...
03:17
ja mūs interesē tikai lielums,
03:19
kreisajā pusē mēs iegūstam:
03:20
ke kvadrātā dalīts ar r ir vienāds ar mv kvadrātā labajā pusē.
03:26
Un tu vari redzēt, ka mēs esam gandrīz nonākuši pie tā, ko vēlamies.
03:29
Mūsu mērķis bija atrast izteiksmi
03:31
kinētiskajai enerģijai, kas ir 1/2 mv kvadrātā.
03:34
Šeit mums ir mv kvadrātā, tāpēc, ja mēs
03:37
pareizinām abas puses ar 1/2, pareizi,
03:39
pareizinām abas puses ar 1/2,
03:41
tagad mums ir izteiksme
03:42
elektrona kinētiskajai enerģijai.
03:45
Tātad: 1/2 mv kvadrātā ir vienāds ar kinētisko enerģiju.
03:48
Mēs zinām, ka kinētiskā enerģija ir vienāda ar:
03:51
1/2 ke kvadrātā dalīts ar r.
03:55
Atgriezīsimies vēlāk pie kinētiskās enerģijas.
03:58
Tagad mēs atradīsim potenciālo enerģiju.
04:01
Šī elektrona potenciālo enerģiju.
04:04
Un šī potenciālā enerģija ir dota
04:07
ar šo vienādojumu fizikā.
04:09
Tātad elektriskā potenciālā enerģija
04:12
ir vienāda ar: "k", mūsu to pašu "k",
04:16
reiz "q1", viena lādiņš...
04:19
tātad mēs atkal teiksim, ka tas ir protona lādiņš,
04:21
reiz elektrona lādiņš,
04:24
dalīts ar attālumu starp tiem.
04:26
Atkal tā ir tikai fizika.
04:29
Ieliksim to, ko zinām.
04:32
Tas būtu vienāds ar k.
04:34
"q1", atkal, "q1" ir protona lādiņš,
04:38
tātad tas ir plus "e",
04:40
un "q2" ir elektrona lādiņš,
04:44
tātad tas ir mīnus "e",
04:48
mīnus "e",
04:49
dalīts ar "r".
04:51
Šoreiz mēs atstāsim negatīvo zīmi,
04:54
un tas izriet no tā, kā mēs definējam
04:57
elektrisko potenciālo enerģiju.
04:59
Mmēs iegūstam: mīnus ke kvadrātā dalīts ar r
05:02
Tātad mēs definējam elektrisko potenciālo enerģiju
05:06
vienādu ar nulli bezgalībā.
05:08
Un tāpēc mums jāsaglabā šī negatīvā zīme,
05:11
jo tā ir patiešām svarīga.
05:13
Labi, tagad mums ir elektriskā potenciālā enerģija,
05:16
un mums ir kinētiskā enerģija.
05:18
Un, lai atrastu kopējo enerģiju, kas saistīta ar šo elektronu,
05:23
kopējo enerģiju, kas saistīta ar šo elektronu,
05:26
kopējā enerģija būtu vienāda ar:
05:28
E kopējā ir vienāda ar kinētisko enerģiju
05:31
plus potenciālo enerģiju.
05:34
Tā ir elektriskā potenciālā enerģija.
05:37
Ieliksim šīs vērtības.
05:39
Mēs atradām kinētisko enerģiju šeit,
05:41
1/2 ke kvadrātā dalīts ar r, ieliekam to šeit,
05:44
un tad mēs arī atradām elektrisko potenciālo enerģiju:
05:47
mīnus ke kvadrātā dalīts ar r, mēs ieliekam to,
05:50
un tagad mēs varam aprēķināt kopējo enerģiju.
05:53
Atbrīvosim vairāk vietas...
05:54
Kopējā enerģija ir vienāda ar:
05:57
1/2 ke kvadrātā dalīts ar r,
06:02
mūsu izteiksme kinētiskajai enerģijai,
06:04
un tad tas bija plus,
06:06
un tad mums ir negatīva vērtība,
06:08
mēs rakstām: mīnus ke kvadrātā dalīts ar r
06:12
Tātad, ja tu padomā par matemātiku,
06:14
tas ir tāpat kā 1/2 mīnus viens,
06:17
un tas dos tev mīnus 1/2.
06:20
1/2 - 1 = -1/2
06:23
Tātad "mīnus 1/2 ke kvadrātā dalīts ar r" ir mūsu izteiksme
06:30
kopējai enerģijai.
06:32
Tā ir kopējā enerģija, kas saistīta ar mūsu elektronu.
06:38
Labi, atradīsim kopējo enerģiju,
06:41
kad rādiuss ir vienāds ar r1.
06:45
Par to mēs runājām iepriekšējā video.
06:47
Elektrona rādiuss pamata stāvoklī.
06:53
Un r1, kad izrisinājām matemātiski,
06:55
mēs ieguvām: 5,3 reiz 10 mīnus 11-tajā metri.
07:00
Ieliksim šo vērtību šeit r vietā.
07:05
Varam aprēķināt kopējo enerģiju,
07:07
kas saistīta ar šo enerģijas līmeni.
07:10
Un atceries, mēs ieguvām šo r1 vērtību,
07:13
ieguvām šo r1 vērtību, veicot matemātisku aprēķinu
07:16
un sakot, n = 1, un ieliekot to mūsu vienādojumā.
07:23
Rādiuss jebkuram veselam skaitlim n
07:25
ir vienāds ar n kvadrātā reiz r1.
07:29
Tātad kad n = 1, mēs ielikām to šeit
07:32
un ieguvām mūsu rādiusu.
07:35
Turpināsim un ieliksim to.
07:36
Faktiski, veiksim to matemātiski.
07:38
Mēs iegūsim kopējo enerģiju
07:41
pirmajam enerģijas līmenim,
07:43
kad n = 1, tas ir vienāds ar mīnus 1/2 reiz k,
07:48
kas ir deviņi reiz 10 pakāpē 9,
07:50
reiz elementārlādiņš.
07:53
Labi, mēs tikko ņēmām k,
07:55
e ir protona vai elektrona lādiņa lielums,
07:59
kas ir vienāds ar 1,6 reiz 10 mīnus 19 Kuloni,
08:04
mēs to kāpināsim kvadrātā,
08:06
un tad dalīsim ar rādiusu,
08:09
kas bija 5,3 reiz 10 mīnus 11-tajā metri.
08:14
Lai ietaupītu laiku, es nerisināšu,
08:17
bet ja tu veic šo aprēķinu,
08:20
ja tu veic šo aprēķinu, enerģija, kas saistīta
08:23
ar ūdeņraža atoma elektronu pamata stāvoklī,
08:26
ir vienāda ar: mīnus 2,17 reiz 10 mīnus 18-tajā
08:33
un mērvienības būtu džouli.
08:35
Tātad, ja tu veltītu laiku mērvienībām,
08:36
tu šeit iegūtu džoulus.
08:39
Tātad tas ir zemākais enerģijas stāvoklis, pamata stāvoklis.
08:42
Enerģija ir negatīva, un par to,
08:44
ko nozīmē negatīvā zīme, es vairāk runāšu nākamajā video.
08:48
Labi, mēs varētu vispārināt šo enerģiju.
08:52
Mēs varētu teikt, šeit mēs to izdarījām, kad n = 1,
08:55
bet mēs varētu teikt: E jebkuram veselam skaitlim "n"
08:59
ir vienāda ar... Ieliksim šeit "r indekss n".
09:02
Ļauj man vienkārši pārrakstīt šo vienādojumu.
09:03
Tātad mēs varētu vispārināt un teikt:
09:07
enerģija jebkurā enerģijas līmenī ir vienāda ar
09:10
mīnus 1/2 ke kvadrātā, r n.
09:17
Labi, tagad mēs varam ņemt šo vienādojumu, tieši šeit,
09:21
to, par kuru mēs runājām un faktiski
09:22
atvasinājām iepriekšējā video,
09:24
un ielikt visu šo mūsu "n" vietā.
09:27
Tātad mēs ieliksim visu to šeit.
09:30
Atbrīvosim vairāk vietas un turpināsim...
09:34
Tātad enerģija enerģijas līmenī "n"
09:38
ir vienāda ar mīnus 1/2 ke kvadrātā, dalīts ar, pareizi?
09:44
Tātad mēs ieliksim "n kvadrātā r1" šeit.
09:47
Tas būtu: n kvadrātā r1
09:52
Mēs varam to pārrakstīt.
09:54
Tas ir tas pats, kas:
09:56
mīnus 1/2 ke kvadrātā dalīts ar r1 reiz viens dalīts ar n kvadrātā.
10:06
Es vienkārši to pārrakstīju,
10:09
jo es zinu, ar ko viss tas ir vienāds.
10:11
Es zinu, ar ko ir vienāds mīnus 1/2 ke kvadrātā dalīts ar r1.
10:16
Mēs tikko paveicām šo matemātiski.
10:18
Labi, šis ir mīnus 1/2 ke kvadrātā dalīts ar r1.
10:23
Un tātad mēs ieguvām šo skaitli:
10:25
šī ir enerģija, kas saistīta ar pirmo enerģijas līmeni.
10:29
Un mēs varam turpināt un ielikt to.
10:31
Mēs varam ielikt šo skaitli.
10:32
Mēs varam ņemt šo skaitli un ielikt to visa šī vietā.
10:36
Tas ir tas, ar ko viss ir vienāds.
10:38
Tātad, lūk, vēl viens veids, kā pierakstīt mūsu enerģiju.
10:41
Enerģija ir vienāda ar:
10:43
mīnus 2,17 reiz 10 mīnus 18-tajā,
10:49
un tad tas būtu:
10:51
reiz viens dalīts ar n kvadrātā.
10:53
Tātad mēs varam vienkārši likt to dalīt ar n kvadrātā šādi.
10:57
Un tad mēs varētu uzrakstīt to nedaudz citādā veidā.
11:00
Tā kā tas ir vienāds ar E1,
11:02
mēs varētu padarīt to saīsināt šeit.
11:04
Mēs varētu vienkārši teikt, ka:
11:05
Enerģija enerģijas līmenī n...
11:08
Tātad: enerģija enerģijas līmenī n ir vienāda ar enerģiju,
11:12
kas saistīta ar pirmo enerģijas līmeni, dalītu ar n kvadrātā.
11:17
Jebkurš no šiem ir labs.
11:20
Tātad mēs varētu rakstīt to šādi,
11:22
vai mēs varētu rakstīt to šādi, nav īpaši svarīgi,
11:25
kuru veidu tu izmanto, bet mēs izmantosim
11:28
šos vienādojumus, vai šo vienādojumu,
11:30
tas patiesībā ir tas pats vienādojums,
11:31
nākamajā video, un mēs iegūsim
11:34
dažādās enerģijas
11:36
dažādos enerģijas līmeņos.
11:38
Mēs mainīsim "n"
11:40
un iegūsim citu enerģiju.
11:42
Tātad enerģija ir kvantēta.
11:44
Tagad, ir ļoti svarīgi padomāt
11:45
par šo ideju – par enerģijas kvantēšanu.
11:48
Un tas ir viens iemesls, kāpēc Bora modeli
11:51
ir jauki apskatīt, jo tas
11:53
dod mums šos kvantētos enerģijas līmeņus,
11:55
kas patiesībā izskaidro dažas lietas,
11:57
kā mēs redzēsim vēlākos video.
11:58
Nākamajā video mēs turpināsim par enerģiju,
12:00
un mēs izmantosim šos vienādojumus, ko tikko atvasinājām,
12:02
un mēs runāsim vairāk par
12:04
ūdeņraža atoma Bora modeli.
Eksperta komentārs
Šajā video soli pa solim tiek skaidri un loģiski izvesta sakarība ūdeņraža atoma elektrona enerģijas līmeņu noteikšanai, balstoties uz Bora atoma modeli un iepriekš iegūtām atziņām. Analīze sākas ar to, ka starp elektronu un kodolu darbojas Kulona spēks, bet elektrons kustas pa riņķveida orbītu, kur nepieciešamo kustību nodrošina centrtieces paātrinājums (2. Ņūtona likums).
Izmantojot šo pamatojumu, tiek atsevišķi noteikta elektrona kinētiskā enerģija, potenciālā enerģija un pēc tam – pilnā enerģija, uzsverot, ka tā ir negatīva, kas raksturo saistītu stāvokli atomā. Tālāk tiek izmantota iepriekš iegūtā sakarība par orbītu rādiusiem, kas ļauj parādīt, ka elektrona enerģija ir atkarīga tikai no galvenā kvantu skaitļa, un samazinās apgriezti proporcionāli tā kvadrātam.
Video labi ilustrē, kā, izmantojot klasiskās mehānikas un elektrostatikas zināšanas, nonākt pie diskrētiem enerģijas līmeņiem, kas ir viens no Bora modeļa būtiskākajiem rezultātiem un pamats atomu spektru izpratnei.
Jēdzieni: Kulona spēks, centrtieces paātrinājums, kinētiskā enerģija, potenciālā enerģija, pilnā enerģija, elektrona orbīta, pamatstāvoklis, elektrona enerģijas līmeņi, Bora atoma modelis.