Bora modeļa enerģijas līmeņi (matemātiskais izvedums fizikā)

- Ja mēs turpinām ar Bora modeli,

tad nākamais, par ko mums jārunā,

ir dažādie enerģijas līmeņi.

Tātad mēs šajā video runāsim par enerģiju,

un atkal jau ir daudz fizikālu atvasinājumu,

tāpēc tu vari pāriet uz nākamo video,

lai redzētu, ko mēs šajā video iegūsim,

lai redzētu, kā to pielieto.

Labi, mums jārunā par enerģiju,

un vispirms mēs centīsimies atrast

elektrona kinētisko enerģiju,

un mēs zinām, ka kinētiskā enerģija ir vienāda ar:

1/2 mv kvadrātā,

kur "m" ir elektrona masa,

un "v" ir ātrums.

Tātad, ja mūsu elektrons kustas šādā veidā,

ja tas riņķo ap mūsu kodolu,

tad šis ir mūsu elektrons, negatīvais lādiņš,

ātruma vektors šajā punktā būtu pieskare.

Un mēs zinām, ka šo elektronu pievelk kodols.

Mums ir viens protons kodolā

ūdeņraža atoma Bora modelī,

un mēs zinām, mēs zinām, ka Bora modelī

ir noteikts rādiuss, kas saistīts

ar to, kur atrodas elektrons.

Tātad mēs zinām, ka elektronu arī pievelk kodols.

Darbojas elektriskais spēks, labi, tātad šo elektronu

pievelk kodols, šis ir pievilkšanās spēks.

Šis ir elektriskais spēks, tas ir centripetālais spēks,

spēks, kas notur šo elektronu

riņķveida orbītā ap kodolu.

Un atkal jau mēs runājām par šī

elektriskā spēka lielumu kādā citā video,

un tas mums būs vajadzīgs arī šajā video.

Mēs to izmantosim, lai iegūtu

elektrona kinētisko enerģiju.

Tātad elektrisko spēku nosaka Kulona likums,

elektriskā spēka lielums

ir vienāds ar K, kas ir konstante,

"q1", kas ir, teiksim, lādiņš uz protona,

reiz "q2", lādiņš uz elektrona,

dalīts ar "r kvadrātā",

kur "r" ir attālums starp abiem lādiņiem.

Mēs zinām Ņūtona Otro likumu:

spēks ir vienāds ar masu reiz paātrinājumu.

Mēs runājam par elektronu,

tātad elektrona masa reiz

elektrona paātrinājums.

Elektriskais spēks ir centripetālais spēks,

kas notur riņķveida kustībā,

tātad mēs varam teikt, ka tas ir "centripetālais paātrinājums".

Labi, pierakstīsim to, ko zinām.

"K" ir konstante, ierakstīsim to šeit,

"q1", "q1" ir lādiņš uz protona,

ko mēs zinām kā elementārlādiņu,

tātad tas būtu plus "e"...

"q2" ir lādiņš uz elektrona.

Lādiņš uz elektrona ir tāda pati vērtība

kā lādiņš uz protona, bet ar negatīvu zīmi.

Tātad mums ir mīnus "e", kas ir lādiņš uz elektrona,

dalīts ar "r kvadrātā",

ir vienāds ar elektrona masu

reiz centripetālo paātrinājumu.

Tātad centripetālais paātrinājums

ir vienāds ar "v kvadrātā" dalīts ar "r".

Mēs to izdarījām iepriekšējā video.

Mēs darīsim tieši to pašu, ko darījām iepriekš.

Mums interesē tikai elektriskā spēka lielums,

jo mēs jau zinām virzienu -

tas vienmēr būs vērsts uz centru,

un tāpēc mums interesē tikai...

mūs neinteresē šī negatīvā zīme šeit.

Mēs varam arī saīsināt vienu no "r".

Tātad, ja mūs neinteresē...

ja mūs interesē tikai lielums,

kreisajā pusē mēs iegūstam:

Ke kvadrātā dalīts ar r ir vienāds ar mv kvadrātā labajā pusē.

Un tu vari redzēt, ka mēs esam gandrīz nonākuši pie tā, ko vēlamies.

Mūsu mērķis bija atrast izteiksmi

kinētiskajai enerģijai, kas ir 1/2 mv kvadrātā.

Šeit mums ir mv kvadrātā, tāpēc, ja mēs

pareizinām abas puses ar 1/2, pareizi,

pareizinām abas puses ar 1/2,

tagad mums ir izteiksme

elektrona kinētiskajai enerģijai.

Tātad: 1/2 mv kvadrātā ir vienāds ar kinētisko enerģiju.

Tātad mēs zinām, ka kinētiskā enerģija ir vienāda ar:

1/2 Ke kvadrātā dalīts ar r

Labi, tātad mēs atgriezīsimies pie kinētiskās enerģijas.

Tagad mēs atradīsim potenciālo enerģiju.

Tātad šī elektrona potenciālo enerģiju.

Un šī potenciālā enerģija ir dota

ar šo vienādojumu fizikā.

Tātad elektriskā potenciālā enerģija

ir vienāda ar: "K", mūsu to pašu "K",

reiz "q1", tātad viena lādiņš...

tātad mēs atkal teiksim, ka tas ir protona lādiņš,

reiz elektrona lādiņš,

dalīts ar attālumu starp tiem.

Tātad atkal tā ir tikai fizika.

Tātad ieliksim to, ko zinām.

Tas būtu vienāds ar K.

"q1", atkal, "q1" ir lādiņš uz protona,

tātad tas ir plus "e",

un "q2" ir lādiņš uz elektrona,

tātad tas ir mīnus "e",

mīnus "e",

dalīts ar "r".

Šoreiz mēs atstāsim negatīvo zīmi,

un tas ir sekas tam, kā mēs definējam

elektrisko potenciālo enerģiju.

Tātad mēs iegūstam: mīnus Ke kvadrātā dalīts ar r

Tātad mēs definējam elektrisko potenciālo enerģiju

vienādu ar nulli bezgalībā.

Un tāpēc mums jāsaglabā šī negatīvā zīme,

jo tā ir patiešām svarīga.

Labi, tagad mums ir elektriskā potenciālā enerģija,

un mums ir kinētiskā enerģija.

Un lai atrastu kopējo enerģiju, kas saistīta ar šo elektronu,

kopējo enerģiju, kas saistīta ar šo elektronu,

kopējā enerģija būtu vienāda ar:

tātad, E-kopējā ir vienāda ar kinētisko enerģiju,

plus potenciālā enerģija.

Tātad tā būtu elektriskā potenciālā enerģija.

Tātad ieliksim šīs vērtības.

Mēs atradām kinētisko enerģiju šeit,

1/2 Ke kvadrātā dalīts ar r, tātad mēs ieliekam to šeit,

un tad mēs arī atradām elektrisko potenciālo enerģiju:

mīnus Ke kvadrātā dalīts ar r, tātad mēs ieliekam to,

un tagad mēs varam aprēķināt kopējo enerģiju.

Tātad iegūsim vairāk vietas...

Kopējā enerģija ir vienāda ar:

1/2 Ke kvadrātā dalīts ar r,

mūsu izteiksme kinētiskajai enerģijai,

un tad tas bija plus,

un tad mums ir negatīva vērtība,

tātad mēs vienkārši rakstām: mīnus Ke kvadrātā dalīts ar r

Tātad, ja tu padomā par matemātiku,

tas ir tāpat kā 1/2 mīnus viens,

un tātad tas dos tev mīnus 1/2.

1/2 - 1 = -1/2

Tātad "mīnus 1/2 Ke kvadrātā dalīts ar r" ir mūsu izteiksme

kopējai enerģijai.

Tātad tā ir kopējā enerģija, kas saistīta ar mūsu elektronu.

Labi, atradīsim kopējo enerģiju,

kad rādiuss ir vienāds ar r1.

Par ko mēs runājām iepriekšējā video.

Elektrona rādiuss pamata stāvoklī.

Un r1, kad mēs izdarījām to matemātiku,

mēs ieguvām: 5,3 reiz 10 mīnus 11 metri.

Un tātad, mēs ieliksim šo vērtību šeit r vietā.

Tātad mēs varam aprēķināt kopējo enerģiju,

kas saistīta ar šo enerģijas līmeni.

Un atceries, mēs ieguvām šo r1 vērtību,

mēs ieguvām šo r1 vērtību, veicot matemātiskus aprēķinus

un sakot, n = 1, un ieliekot to mūsu vienādojumā.

Rādiuss jebkuram veselam skaitlim, n,

ir vienāds ar n kvadrātā reiz r1.

Tātad kad n = 1, mēs ielikām to šeit

un ieguvām mūsu rādiusu.

Tātad turpināsim un ieliksim to.

Faktiski, izdarīsim matemātiku.

Tātad, mēs iegūsim kopējo enerģiju

pirmajam enerģijas līmenim,

tātad kad n = 1, tas ir vienāds ar mīnus 1/2 reiz K,

kas ir deviņi reiz 10 pakāpē 9,

reiz elementārlādiņš.

Labi, tātad mēs tikko ņēmām K,

E ir lādiņa lielums uz protona vai elektrona,

kas ir vienāds ar 1,6 reiz 10 mīnus 19 Kuloni,

mēs to kāpināsim kvadrātā,

un tad dalīsim ar rādiusu,

kas bija 5,3 reiz 10 mīnus 11 metri.

Un lai ietaupītu laiku, es neveikšu šo matemātiku šeit,

bet ja tu veic šo aprēķinu,

ja tu veic šo aprēķinu, enerģija, kas saistīta

ar ūdeņraža atoma elektronu pamata stāvoklī,

ir vienāda ar: mīnus 2,17 reiz 10 mīnus 18

un mērvienības būtu džouli.

Tātad, ja tu veltītu laiku visām šīm mērvienībām,

tu šeit iegūtu džoulus.

Tātad tas ir zemākais enerģijas stāvoklis, pamata stāvoklis.

Enerģija ir negatīva, un es vairāk runāšu par to,

ko nozīmē negatīvā zīme, nākamajā video.

Labi, tātad mēs varētu vispārināt šo enerģiju.

Mēs varētu teikt, šeit mēs to izdarījām n = 1,

bet mēs varētu teikt, ka: E jebkuram veselam skaitlim "n",

ir vienāda ar, tad ieliksim šeit "r indekss n".

Ļauj man vienkārši pārrakstīt šo vienādojumu.

Tātad mēs varētu vispārināt un teikt:

enerģija jebkurā enerģijas līmenī ir vienāda ar

mīnus 1/2 Ke kvadrātā, r n.

Labi, tātad tagad mēs varam ņemt šo vienādojumu, tieši šeit,

to, par kuru mēs runājām un faktiski

atvasinājām iepriekšējā video,

un ielikt visu šo mūsu "n" vietā.

Tātad mēs ieliksim visu to šeit.

Tātad iegūsim vairāk vietas un turpināsim...

Tātad enerģija enerģijas līmenī "n",

ir vienāda ar mīnus 1/2 Ke kvadrātā, dalīts ar, pareizi?

Tātad mēs ieliksim "n kvadrātā r1" šeit.

Tātad tas būtu: n kvadrātā r1

Mēs varam to pārrakstīt.

Tas ir tas pats, kas:

mīnus 1/2 Ke kvadrātā dalīts ar r1 reiz viens dalīts ar n kvadrātā.

Tātad es vienkārši pārrakstīju to noteiktā veidā,

jo es zinu, kam viss tas ir vienāds.

Es zinu, kam ir vienāds mīnus 1/2 Ke kvadrātā dalīts ar r1.

Mēs tikko izdarījām šo matemātiku.

Labi, tātad šis ir mīnus 1/2 Ke kvadrātā dalīts ar r1.

Un tātad mēs ieguvām šo skaitli:

šī ir enerģija, kas saistīta ar pirmo enerģijas līmeni.

Un tātad mēs varam turpināt un ielikt to.

Mēs varam ielikt šo skaitli.

Mēs varam ņemt šo skaitli un ielikt to visa šī vietā.

Tātad tas ir tas, kam viss tas ir vienāds.

Tātad, lūk, vēl viens veids, kā pierakstīt mūsu enerģiju.

Tātad, enerģija ir vienāda ar:

mīnus 2,17 reiz 10 mīnus 18

un tad tas būtu:

reiz viens dalīts ar n kvadrātā.

Tātad mēs varam vienkārši likt to dalīt ar n kvadrātā šādi.

Un tad mēs varētu uzrakstīt to nedaudz citādā veidā.

Tā kā tas ir vienāds ar E1,

mēs varētu padarīt to pat īsāku šeit.

Mēs varētu vienkārši teikt, ka:

Enerģija enerģijas līmenī n...

Tātad: enerģija enerģijas līmenī n ir vienāda ar enerģiju,

kas saistīta ar pirmo enerģijas līmeni, dalītu ar n kvadrātā.

Jebkurš no šiem ir labs.

Tātad mēs varētu rakstīt to šādi,

vai mēs varētu rakstīt to šādi, nav īpaši svarīgi,

kuru tu izmanto, bet mēs izmantosim

šos vienādojumus, vai šo vienādojumu,

tas patiesībā ir tas pats vienādojums,

nākamajā video, un mēs iegūsim

dažādās enerģijas, dažādās enerģijas

dažādos enerģijas līmeņos.

Tātad mēs mainīsim, kas ir "n"

un iegūsim citu enerģiju.

Tātad enerģija ir kvantēta.

Tagad, ir ļoti svarīgi padomāt

par šo ideju par enerģijas kvantēšanu.

Un tas ir viens iemesls, kāpēc Bora modeli

ir jauki apskatīt, jo tas

dod mums šos kvantētos enerģijas līmeņus,

kas patiesībā izskaidro dažas lietas,

kā mēs redzēsim vēlākos video.

Tātad nākamajā video mēs turpināsim ar enerģiju,

un mēs izmantosim šos vienādojumus, ko tikko atvasinājām,

un mēs runāsim vairāk par

ūdeņraža atoma Bora modeli.