Viļņa vienādojums

- [Aizkadra balss] Es gribu tev parādīt viļņa vienādojumu

un izskaidrot, kā to izmantot,

bet pirms tam man vajadzētu paskaidrot, ko mēs vispār ar to domājam,

kas ir viļņa vienādojums?

Ko tas nozīmē, ka vilnim var būt vienādojums?

Un lūk, ko tas nozīmē.

Iedomājies, ka tev ir ūdens vilnis, un tas izskatās šādi.

Un mēs attēlojam ūdens viļņa vertikālo augstumu

kā funkciju no koordinātas.

Piemēram, iedomājies, ka tu esi uz mola

un skaties uz ūdens vilni, kas virzās uz krastu,

vilnis varētu kustēties šādi.

Tu redzēsi šo vilni kustamies uz krastu.

Protams, reāli ūdens viļņi okeānā

īsti neizskatās šādi,

bet šis ir matemātiski vienkāršākais vilnis,

kādu var aprakstīt,

tāpēc mēs sāksim ar šo vienkāršo vilni

kā sākumpunktu.

Pieņemsim, ka šis ir tavs vilnis,

tu aizej uz mola,

un nostājies šajā punktā,

un punktā tieši tev priekšā

tu redzi, ka ūdens līmenis ir augsts,

un tad vienu metru pa labi no tevis

ūdens līmenis ir nulle,

un tad divus metrus pa labi no tevis

ūdens augstums, ūdens līmenis ir mīnus trīs.

Ko tas nozīmē?

Tas nozīmē, ka, ja būtu jauka diena,

un nebūtu nekādu viļņu,

būtu tikai līdzens okeāns vai ezers,

vai kur nu tu tur stāvētu.

Bet, ja ir viļņi, šis ūdens līmenis var būt augstāks

vai zemāks par šo ūdens līmeņa līdzsvara stāvokli.

Mēs vienkārši sauksim šo ūdens līmeņa stāvokli par nulli,

kur ūdens parasti atrastos, ja viļņu nebūtu.

Tu uzzīmē šo grafiku un iegūsti šādu zīmējumu,

kas patiesībā ir tikai momentuzņēmums.

Tā ir vertikālā augstuma atkarība no horizontālās koordinātas,

tas patiesībā ir tikai attēls.

Citiem vārdiem sakot, es varētu to vienkārši iekrāsot ar ūdeni,

un teikt: "Ā, jā, tā vilnis izskatās

šajā laika momentā."

Un ja es parādītu, ko vilnis dara,

tas virzās uz krastu šādi,

un tu redzētu to kustamies,

tāds tad īstenībā ir šis grafiks.

Ja tev ir augstums atkarībā no koordinātas,

tev patiesībā ir attēls vai momentuzņēmums,

kā vilnis izskatās visos horizontālajos stāvokļos

vienā konkrētā laika momentā.

Un kādam tad jābūt mūsu vienādojumam?

Tam jābūt vertikālā augstuma vienādojumam

kas ir vismaz funkcija no koordinātas,

tātad šis ir funkcija no.

Tas nav reizinājums,

bet šim y ir jābūt vismaz funkcijai no koordinātas,

lai es iegūtu funkciju, kurā varu ievietot

jebkuru koordinātu, kuru vēlos.

Pieņemsim, x = 0.

Un tai vajadzētu man pateikt, ā, jā, tas ir pie trijnieka.

Šim viļņa vienādojumam būtu jāizdod trīs,

kad es ievietoju x = 0.

Kad es ievietoju x = 1,

tai būtu jāizdod, o, tas ir nulles augstumā,

tātad tai būtu jādod man y vērtība nulle,

un, ja es ievietotu x vērtību 6 metri,

tai būtu jāpasaka man, o, jā, šī y vērtība ir mīnus trīs.

Lai arī kādu x es šeit ievietotu, teiksim, septiņi,

tai būtu jāpasaka, kāda ir augstuma vērtība

šajā horizontālajā koordinātā.

Kā tad šis vienādojums izskatītos?

Pamēģināsim to noskaidrot.

Y kā funkcijai no x ir jābūt vienādam,

tam nevajadzētu būt lielākam par trīs vai mīnus trīs,

un to sauc par amplitūdu.

Ja mēs šo saucam par amplitūdu A,

tā nebūs lielāka par šo amplitūdu,

tātad šajā gadījumā amplitūda būtu trīs,

bet es vienkārši rakstīšu "amplitūda", jo šis ir

vispārīgs vienādojums, ko var attiecināt uz jebkuru vilni.

Un tad paskaties uz šo formu.

Tas ir kā sinusa vai kosinusa grafiks.

Kurš no tiem tas ir?

Tā kā pie x = 0,

tas sākas maksimumā, es teiktu,

ka tas visvairāk līdzinās kosinusa grafikam,

jo kosinuss no nulles sākas ar maksimālo vērtību,

tāpēc es teikšu, ka šis ir

kaut kas līdzīgs kosinusam no kaut kāda lieluma šeit.

Tev varētu rasties kārdinājums vienkārši rakstīt x.

Bet tas nederēs.

Ja es šeit vienkārši ierakstītu x,

tas nebūtu pietiekami vispārīgs, lai aprakstītu jebkuru vilni.

Jo padomā,

ja ir tikai x, tad kosinuss no x atgriezīsies sākumstāvoklī katru reizi,

kad x sasniegs 2π.

Katru reizi, kad viss, kas ir šajās iekavās, sasniedz 2π,

kosinuss atgriežas sākumstāvoklī.

Bet paskaties uz šo kosinusu.

Tas atgriežas sākumstāvoklī pēc četriem metriem.

Un kāds cits vilnis varētu atgriezties pēc astoņiem metriem,

un vēl kāds cits vilnis varētu atgriezties

pēc cita attāluma.

Man ir vajadzīgs veids, kā šeit norādīt,

cik tālu ir jāpārvietojas x virzienā,

lai vilnis atgrieztos sākumstāvoklī.

Tātad ar x vien nepietiks,

jo, ja ir tikai x,

tas vienmēr atgriežas sākumstāvoklī pēc 2π.

Ko lai es daru?

Es izmantoju to pašu paņēmienu, ko mēs izmantojām

harmoniskajiem oscilatoriem.

Un es saku, ka tas ir 2π,

un es dalu nevis ar periodu šoreiz.

Šī nav funkcija no laika,

vismaz pagaidām ne.

Tā nav laika funkcija.

Šī ir tikai no x.

Tātad tas nebūtu periods.

Tas nebūtu laiks, kas nepieciešams,

lai šī funkcija atgrieztos sākumstāvoklī.

Tas patiesībā būtu attālums, kas nepieciešams,

lai šī funkcija atgrieztos sākumstāvoklī.

Citiem vārdiem, tas, ko mēs saucam par viļņa garumu.

Attālumu starp diviem maksimumiem sauc par viļņa garumu.

Un mēs to apzīmējam ar grieķu burtu lambda.

Attālums, kas nepieciešams, lai vilnis telpā atgrieztos sākumstāvoklī,

ir viļņa garums.

Ar to mēs arī dalīsim,

jo tam mērvienības ir metri.

Un visbeidzot, mēs šeit reizinātu ar x.

Tādā veidā, ja es sāku ar x = 0,

kosinuss sākas ar maksimumu,

es iegūtu trīs.

Ja es saku, ka mans x ir sasniedzis viena viļņa garumu,

un šajā gadījumā tie ir četri metri.

Ja es esmu pie četriem metriem jeb viena viļņa garuma,

tiklīdz es ievietoju viļņa garumu x vietā, šis viļņa garums

noīsinātos ar šo viļņa garumu.

Mēs iegūtu 2π, un šis kosinuss atgrieztos sākumstāvoklī,

jo, tiklīdz viss izteiksmē iekavās kļūst par 2π,

kosinuss atgriezīsies sākumstāvoklī.

Un tieši tas notiek ar šo vilni.

Tam vajadzētu atgriezties pēc katra viļņa garuma.

Tu ej vēl vienu viļņa garumu, tas atgriežas.

Vēl viens viļņa garums, tas atgriežas.

Un tas ir tas, kas notiktu šeit.

Kā mēs pielietotu šo viļņa vienādojumu

šim konkrētajam vilnim?

Nu, ņemsim šo.

Tam jau ir kosinuss, tāpēc tas ir forši,

jo man šeit ir šis.

Tu varētu izmantot sinusu, ja tavs vilnis sāktos šajā punktā

un ietu uz augšu,

bet mūsējais sākas maksimumā, tāpēc izmantosim kosinusu.

Mēs teiksim, ka mūsu amplitūda, ne tikai A,

mūsu amplitūda ir trīs metri,

jo ūdens paceļas līdz pat trīs metriem

virs līdzsvara līmeņa.

Un mēs atstāsim kosinusu šeit.

Divi pī paliek, bet lambda gan ne.

Mūsu viļņa garums nav vienkārši lambda.

Tas ir pārāk vispārīgi.

Mums ir jāuzraksta, kas tas ir,

un tas ir attālums no maksimuma līdz maksimumam,

kas ir četri metri, vai arī tu to varētu mērīt

no ieplakas līdz ieplakai, vai arī tu varētu tās saukt par ielejām.

No ielejas līdz ielejai, tie arī būtu četri metri.

Neatkarīgi no tā, kā tu to mēri,

viļņa garums ir četri metri.

Un ko tad es ievietoju x vietā?

Neko, jo es gribu funkciju.

Šī ir funkcija no x.

Es domāju, es varu ievietot x vērtības.

Vispār, izdarīsim to.

Paskatīsimies, vai šī funkcija darbojas.

Ja es to atstāju vienkārši kā x, tā ir funkcija,

kas man pasaka viļņa augstumu jebkurā punktā x.

Bet mums vajadzētu to pārbaudīt.

Pārbaudīsim, vai tā tiešām darbojas.

Ņemsim x un ievietosim nulli.

Ja es ievietoju nulli x vietā,

ko šī funkcija man pasaka?

Tā saka, ka viss, kas ir iekavās, ir nulle.

Un es zinu, ka kosinuss no nulles ir vienkārši viens.

Tātad tā man saka, ka visa šī funkcija būs vienāda ar

trim metriem, un tā ir taisnība.

Šī viļņa augstums pie x = 0,

tātad pie x = 0 viļņa augstums ir trīs metri.

Tātad šis nostrādāja.

Pamēģināsim citu.

Pieņemsim, ka mēs ievietojam horizontālo koordinātu divi metri.

Ja es ievietoju divus metrus šeit,

un tad es ievietoju divus metrus šeit,

ko es iegūstu?

Tas būs trīs metri reiz kosinuss no,

tātad, 2 * 2 ir 4, dalīts ar 4 ir 1,

reiz pī, tas būs kosinuss no pī.

Un kosinuss no pī ir mīnus viens.

Tātad es iegūšu mīnus trīs.

Mīnus trīs metri, un tā ir taisnība.

Šī viļņa augstums pie diviem metriem

ir mīnus trīs metri.

Tātad šī funkcija mums pasaka viļņa augstumu

jebkurā horizontālā koordinātā x, kas ir diezgan forši.

Tomēr tu, iespējams, pamanīji problēmu.

Tu varētu teikt: "Pagaidi, tas viss ir labi,"

"bet tas ir tikai vienam laika momentam."

"Šis vilnis taču kustas, atceries?"

Viss šis vilnis virzās uz krastu.

Konkrētā laika momentā,

jā, šis vienādojums varētu tev dot viļņa formu

visām x vērtībām,

bet, ja es nedaudz pagaidu, hop,

tagad viss ir sajucis.

Tagad pie x = 2 augstums nav mīnus trīs.

Un pie x = 0 augstums vairs nav trīs metri.

Tagad tas sniedzas tikai līdz šejienei.

Ko lai mēs darām?

Kā mēs aprakstām vilni, kas faktiski kustas

pa labi ar vienu vienādojumu?

Tas nav tik sarežģīti, kā tu varētu domāt.

Ļauj man šo nodzēst.

Sakārtosim šo.

Mēs patiesībā vienkārši balstīsimies uz šo funkciju

šeit.

Man patiesībā ir nepieciešams viļņa vienādojums, kas ir ne tikai

funkcija no x, bet arī funkcija no laika.

Šai funkcijai augšā ir jābūt ne tikai funkcijai no x,

tai ir jābūt arī funkcijai no laika,

lai es varētu ievietot jebkuru laiku jebkurā pozīcijā,

un tā man pateiktu, kāda ir vērtība

viļņa augstumam.

Kā es varu šeit iekļaut laika atkarību?

Es lūgšu tevi atcerēties,

ja tu šeit pievieno fāzes konstanti.

Atceries, ja tu pievieno skaitli kosinusa argumentā,

tas pārbīda vilni.

Patiesībā, ja tu pievieno nelielu konstanti,

tas paņems tavu vilni,

tas faktiski to pārbīda pa kreisi.

Tātad mēs negribēsim pieskaitīt.

Ja mums ir vilnis, kas virzās pa labi,

mēs gribēsim atņemt

noteiktu nobīdes daudzumu šeit.

Bet, atņemot noteiktu daudzumu, tas ir forši,

jo, atņemot noteiktu daudzumu, vilnis pārbīdās

pa labi.

Bet, ja man šeit būtu tikai konstanta nobīde,

ar to nepietiktu.

Pludmales vilnis nekustas tikai

pa labi un tad pēkšņi apstājas.

Tas turpina kustēties.

Mums ir vajadzīgs vilnis, kas nepārtraukti pārbīdās.

Ja esi attapīgs, tu varētu saprast,

tu varētu teikt: "Paga, kāpēc es vienkārši

nepadarītu šo fāzes nobīdi atkarīgu no laika?

Tādā veidā, laikam ejot,

vilnis turpinās pārbīdīties arvien tālāk un tālāk!"

Ja šis viļņa nobīdes loceklis turpinātu palielināties,

laikam kļūstot lielākam,

tavs vilnis turpinātu pārbīdīties pa labi.

Tev būtu vienādojums, kas apraksta vilni,

kas faktiski kustas,

tātad ko tu šeit liktu?

Tas varētu šķist biedējoši.

Tu varētu teikt: "Tas būs sarežģīti!

Kā mēs to izdomāsim?"

Bet tas nav tik traki, jo tāpat kā viļņa garums

ir attālums, kas nepieciešams, lai vilnis atgrieztos sākumstāvoklī,

ir arī kaut kas, ko sauc par periodu,

un mēs to apzīmējam ar lielo burtu T.

Un periods ir laiks, kas nepieciešams,

lai vilnis atgrieztos sākumstāvoklī.

Ja es pagaidu vienu pilnu periodu,

šis vilnis būs pārvietojies tā,

ka tas atgriežas tieši tur, kur tu pat nevarētu pateikt atšķirību.

Citiem vārdiem, tas izskatās kā tieši tāds pats vilnis.

Mēs to esam parādījuši šeit.

Pieņemsim, ka tev šeit augšā ir ūdens vilnis.

Un es ņemu šo vilni.

Ja tu pagaidi vienu pilnu periodu, vilnis būs pārbīdījies

atpakaļ un izskatīsies tāpat kā iepriekš.

Viss vilnis virzās uz pludmali.

Ja tu aizver acis un tad atver tās vienu periodu vēlāk,

vilnis izskatās tieši tāds pats.

Es izmantošu šo faktu šeit.

Mums ir nepieciešams, lai šī funkcija atgrieztos sākumstāvoklī ne tikai pēc viena viļņa garuma.

Mums ir nepieciešams, lai tā atgrieztos arī pēc viena perioda.

Kā mēs to attēlojam?

Mēs izmantojam tieši to pašu paņēmienu.

Mēs sakām, labi, es nevaru šeit vienkārši ielikt laiku.

Tas, ko es darīšu, ir likt 2π

dalītu ar periodu, lielo T, un tad es reizinu ar laiku.

Tādā veidā, tāpat kā katru reizi, kad x sasniedza viena viļņa garumu,

katru reizi, kad mēs noejam viena viļņa garumu pa molu,

mēs redzam to pašu augstumu, jo tas kļūst par 2π.

Katru reizi, kad mēs gaidām vienu pilnu periodu,

tas kļūst par 2π,

un visa šī lieta atkal atgriezīsies sākumstāvoklī.

Šis ir viļņa vienādojums,

un, es domāju, mēs varētu to padarīt nedaudz vispārīgāku.

Šis kosinuss varēja būt sinuss.

Ja tev ir vilnis, ko labāk apraksta

sinuss,

varbūt tas sākas šeit un iet uz augšu,

tu varētu vēlēties izmantot sinusu.

Un mīnuss, atceries, mīnuss lika šim vilnim

pārbīdīties pa labi,

tu varētu izmantot mīnusu vai plusu,

jo ar mīnusu tas var pārbīdīties pa labi,

vai, ja tu izmanto plusu,

fāzes nobīdes locekļa pieskaitīšana pārbīda to pa kreisi.

Tātad pozitīvs loceklis šeit aprakstītu vilni,

kas kustas pa kreisi,

un tehniski runājot, tu varētu to padarīt

vēl nedaudz vispārīgāku,

pievienojot vēl vienu konstantu fāzes nobīdes locekli

šeit, labajā pusē.

Ja mēs to pievienojam, tad mēs varētu ņemt vērā

dīvainus gadījumus, kad varbūt grafiks sākas, piemēram, šeit

un nesākas ne kā sinuss, ne kā kosinuss.

Tev būtu jāzīmē tas nobīdīts tikai par nedaudz.

Bet mūsu gadījumā šeit

tev par to nav jāuztraucas,

jo tas sākās maksimumā,

tāpēc tev nevajadzētu šo fāzes nobīdi.

Un tas arī viss.

Šis ir viļņa vienādojums.

Tas ir tas, ko mēs gribējām:

funkcija no koordinātas un laika,

kas pasaka tev viļņa augstumu

jebkurā koordinātā x, horizontālā koordinātā x,

un jebkurā laikā t.

Pamēģināsim pielietot šo formulu

šim konkrētajam vilnim, kas mums šeit ir.

Es šo nodzēsīšu.

Šī bija tikai viļņa izteiksme

vienā laika momentā.

Varbūt šis attēls, ko mēs uzņēmām uz mola,

bija brīdī, sauksim to par t = 0 sekundēm.

Tātad pie t = 0 sekundēm mēs uzņēmām šo attēlu.

Tā vilnis izskatās,

un šī ir funkcija, kas apraksta,

kā vilnis izskatās tajā laika momentā,

bet tagad mēs darīsim labāk.

Tagad mēs aprakstīsim, kā vilnis izskatās

jebkurai koordinātai x un jebkuram laikam t.

Tātad, darīsim to.

Kāda būtu amplitūda?

Tas ir viegli, tā joprojām ir trīs.

Vilnis nekad nepārsniedz trīs,

un nekad nav zemāks par mīnus trīs,

tātad mūsu amplitūda joprojām ir trīs metri.

Un tā kā pie x = 0 un t = 0,

mūsu grafiks sākas maksimumā,

mēs joprojām gribēsim izmantot kosinusu.

Mēs nonākam šeit, 2πx dalīts ar lambda.

Nu, lambda joprojām ir lambda,

tātad lambda šeit joprojām ir četri metri,

jo bija nepieciešami četri metri, lai šis grafiks atgrieztos sākumstāvoklī.

Tev bija jānoiet četri metri pa molu,

lai redzētu, kā šis grafiks atgriežas sākumstāvoklī.

Tas ir nedaudz mulsinoši.

Es domāju, tev būtu jāskrien ļoti ātri.

Vilnis kustēsies, kamēr tu iesi.

Man vajadzētu teikt, ja tu stāvi nulles punktā,

un tavs draugs stāv četriniekā,

jūs abi redzētu to pašu augstumu,

jo vilnis atgriežas sākumstāvoklī pēc četriem metriem.

Vai mēs gribētu plusu vai mīnusu?

Tā kā šis vilnis kustas pa labi,

mēs gribētu mīnusu.

Man nevajadzētu fāzes nobīdes locekli,

jo tas sākas kā ideāls kosinuss.

Tas nesākas kā kaut kāda dīvaina starpfunkcija.

Vienīgais jautājums ir, ko es ievietoju perioda vietā?

Man būtu nepieciešama vēl viena informācijas daļa.

Ja man būtu dots periods, tas būtu labi.

Bet dažreiz jautājumi ir viltīgāki.

Varbūt viņi tev pasaka, ka šis vilnis virzās pa labi

ar ātrumu 0,5 metri sekundē.

Pieņemsim, ka tas ir viļņa ātrums,

un tev lūgtu: "Izveido vienādojumu,

kas apraksta vilni kā telpas un laika funkciju!"

Tu izdarītu visu šo, bet tad tu domātu,

kā es atrodu periodu?

Mums būtu jāizmanto fakts, atceries,

ka viļņa ātrumu raksta vai nu kā

viļņa garums reiz frekvence, vai arī to var rakstīt kā

viļņa garums dalīts ar periodu.

Tātad es varu atrisināt attiecībā uz periodu,

un es varu teikt, ka šī viļņa periods,

ja man ir dots ātrums un viļņa garums,

es varu atrast viļņa garumu šajā grafikā.

Es teiktu, ka viļņa periods

būtu viļņa garums dalīts ar ātrumu.

Mūsu viļņa garums bija četri metri, un mūsu ātrums,

pieņemsim, ka mums tika pateikts,

ka tas ir 0,5 metri sekundē,

dotu mums periodu astoņas sekundes.

Tātad mums šeit būtu jāievieto astoņas sekundes

perioda vietā.

Un lūk!

Tas ir mans vienādojums šim vilnim.

Tas apraksta, šis mazais vienādojums ir pārsteidzošs.

Tas apraksta šī viļņa augstumu

jebkurā koordinātā x un jebkurā laikā t.

Citiem vārdiem, es varētu ievietot trīs metrus x vietā

un 5,2 sekundes laika vietā,

un tas man pateiktu: "Kāds ir šī viļņa augstums

pie trīs metriem laikā 5,2 sekundes?"

Kas ir diezgan pārsteidzoši.

Rezumējot, šis ir viļņa vienādojums,

kas apraksta viļņa augstumu

jebkurai koordinātai x un laikam t.

Tu izmantotu mīnus zīmi,

ja vilnis kustas pa labi,

un plus zīmi, ja vilnis kustas pa kreisi.