Stieņa impulsa momenta noteikšana

Apskatīt video Khan Academy platformā: Khan AcademyAngular momentum of an extended object

Transkripts:
00:00
- [Aizkadra balss] Jau iepriekšējos video mēs redzējām,
00:02
ka bumbiņai ar masu m, kas rotē pa apli
00:05
ar rādiusu r un ātrumu v,
00:08
piemīt tas, ko saucam par impulsa momentu,
00:10
un simbols, ko mēs izmantojam,
00:11
lai apzīmētu impulsa momentu, ir lielais burts L.
00:14
Un impulsa moments
00:15
kas bumbiņai varētu būt, būtu masa
00:17
bumbiņas masa reiz bumbiņas ātruma vektora modulis,
00:19
tas nozīmē, ka tas būtībā ir tikai impulsa vektora modulis,
00:22
bet tad mēs to reizinām
00:24
ar apļa rādiusu, pa kuru tā kustas,
00:27
un tas mums dod impulsa momentu
00:29
šai bumbiņai, kas kustas pa apli,
00:30
kas ir lieliski un noderīgi zināt,
00:32
bet dažreiz nav bumbiņas, kas kustas
00:34
pa apli, un tu gribi zināt impulsa momentu.
00:37
Piemēram, šī gadījuma vietā,
00:40
pieņemsim, ka ir šāds gadījums,
00:41
kur bumbiņas vietā, kas kustas pa apli,
00:42
ir stienis ar masu m
00:45
un rādiusu R, un viss stienis rotē
00:48
pa apli.
00:50
Pieņemsim, ka ārējā mala kustas ar ātrumu v,
00:52
tāpat kā bumbiņa.
00:54
Tad jautājums ir,
00:55
vai šim stienim arī būs impulsa moments,
00:58
kas vienāds ar mvR? Un atbilde ir nē.
01:00
Tu, iespējams, vari par to pārliecināties,
01:01
jo bumbiņas gadījumā visa masa kustējās
01:04
ar ātrumu v, un visa masa atradās
01:06
tā iezīmētā apļa ārējā malā.
01:09
Citiem vārdiem sakot, visa šī masa kustas
01:11
pa rādiusu R.
01:13
Bet šim stienim patiesībā tikai daļa masas,
01:16
tikai daļa masas, tikai šī ārējā mala
01:18
no masas faktiski kustas pa rādiusu R.
01:22
Tā ir daļa, kas kustas pilnā R rādiusā.
01:25
Pārējie masas gabaliņi, piemēram, šis šeit,
01:28
iezīmē apli.
01:29
Tas noteikti iezīmē apli,
01:31
bet apļa rādiuss, ko tas iezīmē, nav vienāds
01:33
ar rādiusu R.
01:35
Tam ir mazāka rādiusa vērtība.
01:37
Kā mēs nosakām impulsa momentu
01:39
objektam, kura masa ir sadalīta tā,
01:42
ka daļa masas ir tuvu asij,
01:44
un daļa masas ir tālu no ass.
01:47
Tieši to mēs darīsim šajā video.
01:48
Tas ir mērķis, un pieeja, ko fiziķi izmanto,
01:51
ir gandrīz vienmēr viena un tā pati.
01:53
Mēs sakām: nu, man ir formula
01:55
impulsa momentam vienai daļiņai,
01:58
kas kustas noteiktā rādiusā,
01:59
iedomāsimies mūsu nepārtraukto objektu
02:02
kā sastāvošu no daudzām atsevišķām masām,
02:06
kas visas kustas pa noteiktu rādiusu.
02:08
Ja es sadalu šo nepārtraukto masu
02:10
atsevišķos gabaliņos, vai ne?
02:13
Ja es iedomājos to sadalītu
02:14
visos šajos mazajos gabaliņos,
02:16
tad, ja es atrastu katra gabaliņa impulsa momentu
02:19
un tos saskaitītu, es iegūtu kopējo impulsa momentu
02:22
visam objektam.
02:24
Pamēģināsim.
02:25
Kāda objekta gabaliņa impulsa moments,
02:28
teiksim, tā mazā masas gabaliņa,
02:30
būs, teiksim, tā mazā gabaliņa masa,
02:33
es rakstīšu m.
02:34
Tā nav visa šī stieņa kopējā masa,
02:37
tā būtu tikai šī mazā gabaliņa masa reiz tā ātrums
02:40
reiz rādiuss, kādā tas atrodas.
02:44
Lai būtu skaidrāk, es to pierakstīšu kā
02:45
pirmo gabaliņu, tad tas būtu m1, v1 un R1.
02:51
un tas būtu impulsa moments
02:53
tam mazajam gabaliņam, un to pašu varētu izdarīt
02:55
otrajai masai šeit, un iegūtu,
02:58
ka impulsa moments
02:59
otrajai masai būtu m2, v2 un R2.
03:05
Ņem vērā, ka šie v visi būs atšķirīgi,
03:08
tāpēc ātrums šeit, ārpusē,
03:09
ārējā malā būs vislielākais.
03:11
Šis ātrums nebūs tik liels,
03:13
un šis ātrums tuvāk vidum ir vēl mazāks,
03:16
jo tie iezīmē mazākus apļus
03:18
tajā pašā laika posmā,
03:20
kā šie ārējie gabali iezīmē lielākus apļus
03:23
tajā pašā laika posmā.
03:24
Šajā brīdī tu varētu uztraukties.
03:26
Tu varētu nodomāt: „Tas būs ļoti grūti.
03:28
Mums būs tie visi jāsummē.
03:29
Tiem visiem ir atšķirīgi ātrumi.
03:31
Tie visi ir dažādos rādiusos.
03:32
Kā mēs to izdarīsim?”
03:33
Nu, ir jāsaglabā ticība,
03:35
un tūlīt notiks kaut kas maģisks.
03:37
Parādīšu, kas notiek,
03:38
ja mēs iedomājamies tos visus summēt.
03:40
Es uzzīmēju tikai divus.
03:42
Jāiedomājas, ka to ir bezgalīgi daudz,
03:44
tāpēc tas šķiet vēl grūtāk,
03:45
bet iedomājies to sadalīt bezgalīgā daudzumā
03:48
šo mazo, diskrēto masu
03:50
un aplūkot katru atsevišķo impulsa momentu,
03:54
tie būtu ļoti mazi, jo šis m1 būtu
03:56
bezgalīgi mazs masas gabaliņš,
03:59
un saskaitīsim tos visus, lai redzētu, ko iegūsim.
04:02
Ja mēs saskaitām visus mvR katram masas gabaliņam
04:07
šajā stienī, tad tas būtu
04:09
stieņa kopējais impulsa moments.
04:12
Citiem vārdiem sakot, tas patiesībā ir
04:14
vienkārši m1v1R1 + m2v2R2 un tā tālāk.
04:22
To būtu bezgalīgi daudz, vai ne?
04:24
Es nevaru tos visus uzrakstīt,
04:24
jo to ir bezgalīgi daudz.
04:25
Bet tikai iedomājies to.
04:27
Ko mēs ar šo varam iesākt?
04:29
Kā mēs to varam sakārtot?
04:31
Risinot fizikas uzdevumu,
04:32
nevajag risināt bezgalīgu rindu,
04:34
bezgalīgi izrakstot katru locekli.
04:36
Mums vajag gudru veidu, kā ar to tikt galā.
04:38
Un ir patiešām gudrs veids, kā to izdarīt!
04:40
Skaties.
04:41
Ja mēs to rakstām kā L = Σ(mvR).
04:44
Viena problēma ir tā, ka katrai masai ir atšķirīgs v.
04:48
Ja es varētu iznest kaut ko pirms summas zīmes,
04:51
tas man palīdzētu, jo tas visu vienkāršotu.
04:53
Es varētu tos vienkārši iznest pirms iekavām,
04:55
bet šobrīd es nevaru iznest pirms iekavām R,
04:57
jo tie visi ir dažādos rādiusos no ass.
05:00
Rādiusu vienmēr mēra no ass,
05:03
un tie visi ir dažādos rādiusos no ass,
05:05
un tiem visiem ir atšķirīgi ātrumi.
05:06
Bet atceries, mums patīk rakstīt lielumus, izmantojot
05:09
leņķiskos mainīgos, jo leņķiskie mainīgie
05:13
ir vienādi katram punktam uz šī stieņa.
05:16
Katram punktam uz šī rotējošā stieņa ir atšķirīgs ātrums v,
05:21
bet tiem visiem ir vienāds leņķiskais ātrums omega,
05:24
tas ir galvenais.
05:25
To mēs bieži darām, un to mēs darīsim arī šeit.
05:27
Es to rakstīšu kā Σm,
05:30
bet v vietā es rakstīšu
05:32
R reiz omega.
05:34
Atceries, ka kaut kam, kas rotē pa apli,
05:38
ātrums v ir vienāds ar R reiz omega,
05:42
un to es ievietošu šeit,
05:44
ātrums jebkurā punktā ir rādiuss
05:47
šim punktam reiz leņķiskais ātrums
05:49
šim stienim, kas rotē pa apli,
05:51
un man vēl ir jāreizina ar pēdējo R šeit,
05:54
tas bija v.
05:55
Mēs ievietojām v vērtību, bet mums ir jāreizina
05:57
ar R. Un ko mēs iegūstam?
05:59
Mēs iegūstam, ka L būs summa
06:02
no mR²ω.
06:05
Un tas ir lieliski.
06:06
Omega ir vienāds katrai masai šeit.
06:09
Katra masa kustas ar vienādu leņķisko ātrumu,
06:12
tāpēc mēs varam to iznest pirms summas zīmes.
06:15
Iedomājies, ka visos šajos locekļos būtu omega.
06:18
Mēs varam to iznest pirms iekavām un vienkārši novietot
06:20
aiz summas zīmes.
06:22
Es to rakstīšu kā Σ(mR²),
06:25
un, lai būtu skaidrāk, es šeit ielikšu iekavas.
06:28
Tā ir šī summa, un tad tas viss reizināts ar omega,
06:31
jo mēs vienkārši iznesam omega pirms iekavām.
06:33
Un tas tevi varbūt nepārsteidz.
06:35
Tu varētu teikt: „Labi.
06:36
Liela lieta.
06:37
Mums te joprojām ir bezgalīga summa.
06:39
Ko, pie velna, es ar to darīšu?”
06:40
Tev ar to nekas nav jādara.
06:42
Šeit notiek maģija.
06:44
Paskaties, kāda summa tev ir.
06:45
Tev ir visu mR² summa.
06:48
Atceries, kas bija mR²?
06:50
mR² bija punktveida masas inerces moments,
06:53
un, ja es saskaitu visus mR², es iegūstu
06:57
visas masas, visa šī objekta inerces momentu.
07:00
Es iegūstu tā kopējo inerces momentu.
07:02
Mēs atradām patiešām ērtu veidu,
07:05
kā uzrakstīt objekta impulsa momentu.
07:07
Tas ir vienkārši objekta inerces moments I,
07:11
reizināts ar šī objekta leņķisko ātrumu.
07:15
Šī ir lieliska formula,
07:17
un tā ir pilnīgi loģiska šī iemesla dēļ.
07:19
Padomā par parasto impulsu, vai ne.
07:21
Parastais impulss p bija vienāds ar mv.
07:25
Nu, ja tu man tad teiktu: „Nosaki impulsa momentu,”
07:28
un es negribētu veikt šo izvedumu,
07:30
es, iespējams, vienkārši teiktu:
07:31
„Labi, impulsa moments, aiziet.”
07:33
Nu, es vienkārši aizstāšu masu ar leņķisko masu,
07:37
un leņķiskā masa, leņķiskā inerce,
07:39
ir vienkārši inerces moments,
07:41
un es vienkārši aizstāšu ātrumu ar leņķisko ātrumu,
07:44
un, skat, es iegūstu šo formulu.
07:46
Tas ir loģiski, jo,
07:47
ja aizstāj visus lineāros lielumus
07:49
ar to leņķiskajiem analogiem,
07:51
tu patiešām iegūsti impulsa momentu
07:54
rotējošam objektam.
07:55
Lūk, kā to dara.
07:56
Ja tev ir objekts, stienis,
07:58
kur masa ir sadalīta pa visu objektu,
08:02
ja tu vienkārši ņem inerces momentu
08:03
šim objektam un reizini ar tā leņķisko ātrumu,
08:06
tu iegūsti tā impulsa momentu.
08:08
Piemēram, ja šim stienim ir masa,
08:10
teiksim, 3 kilogrami,
08:13
un šī masa ir vienmērīgi sadalīta.
08:14
Pieņemsim, ka šī objekta rādiuss ir 2 metri.
08:17
Tas ir attālums no ass līdz ārējai malai.
08:21
Un pieņemsim, ka šī objekta leņķiskais ātrums bija,
08:24
teiksim, 10 radiāni sekundē.
08:27
Mēs varam aprēķināt šī stieņa impulsa momentu,
08:30
sakot, ka impulsa moments būs vienāds ar
08:32
inerces momentu.
08:34
Nu, stieņa inerces moments,
08:36
ap vienu galu ir vienāds ar 1/3 mL².
08:40
Tas ir stieņa inerces moments ap galu,
08:43
un tad es reizinu ar objekta leņķisko ātrumu.
08:47
Ja es ievietoju skaitļus, es iegūstu, ka impulsa moments
08:49
šim stienim būs... es izmantošu violeto krāsu,
08:51
1/3 reiz 3 kilogrami reiz garums,
08:55
kas ir 2 metri,
08:57
un to mēs kāpinām kvadrātā, un tad reizinām
08:59
ar leņķisko ātrumu, kas bija 10 radiāni sekundē,
09:03
kas mums dod impulsa momentu
09:05
40 kilogrami reiz metri kvadrātā sekundē.
09:09
Atkārtojot: ja ir punktveida masa,
09:11
kur visa masa rotē vienādā rādiusā,
09:13
un tu gribi atrast impulsa momentu,
09:16
vieglākais veids, kā to iegūt, iespējams, ir,
09:17
ar formulu mvR.
09:19
Tomēr, ja tev ir masa, kas ir sadalīta
09:22
pa visu objektu tā, ka dažādi punkti
09:25
uz objekta atrodas dažādos rādiusos,
09:27
vieglākais veids, kā iegūt impulsa momentu
09:30
šim objektam, visticamāk, ir
09:31
ar formulu Iω,
09:34
kur I ir
09:35
objekta inerces moments
09:36
un ω ir objekta leņķiskais ātrums.
impulsa moments(angular momentum)
ķermeņa inerces moments(moment of inertia (body))
leņķiskais ātrums(angular velocity)
lineārais ātrums(linear speed (linear velocity))

Kopsavilkums

Kopsavilkums

Šajā video ir paskaidrots, kā aprēķināt leņķisko impulsu izstieptam, cietam objektam, kura masa ir izkliedēta, atšķirībā no vienkāršas punktveida masas. Tajā tiek izvesta formula L = Iω (Leņķiskais impulss = Inerces moments × Leņķiskais ātrums) un sniegts praktisks piemērs.

Apskatītās tēmas

  • Leņķiskais impulss (L): Rotācijas kustības ekvivalents lineārajam impulsam.
  • Punktveida masa pret izstieptu objektu: Atšķirība starp leņķiskā impulsa aprēķināšanu vienai masai, kas rotē pa fiksētu rādiusu (piemēram, bumbiņa auklā), un objektam ar izkliedētu masu (piemēram, rotējošs stienis).
  • Inerces moments (I): Rotācijas kustības ekvivalents masai, kas raksturo objekta pretestību rotācijas paātrinājumam. Definēts kā visu objektā esošo daļiņu mr² summa.
  • Leņķiskais ātrums (ω): Rotācijas ātrums, kas ir nemainīgs visiem rotējoša cieta ķermeņa punktiem.
  • Lineārais ātrums (v): Punkta tangenciālais ātrums, kas mainās atkarībā no tā attāluma (rādiusa) līdz rotācijas asij.
  • Formulas izvedums: Parāda, kā formula izstieptam objektam tiek atvasināta no pamatformulas punktveida masai.
  • Analoģija: Salīdzina lineārā impulsa formulu (p = mv) ar leņķiskā impulsa formulu (L = Iω).

Svarīgākās formulas

  • Punktveida masas leņķiskais impulss: L = mvr
  • Izstiepta objekta leņķiskais impulss: L = Iω
  • Sakarība starp lineāro un leņķisko ātrumu: v = rω
  • Inerces momenta definīcija: I = Σmr²

Darbības video

  1. Atkārtošana: Video sākas ar formulas atkārtošanu punktveida masas leņķiskajam impulsam, kad tā rotē pa riņķa līniju: L = mvr.
  2. Problēmas izklāsts: Tiek izvirzīta problēma par leņķiskā impulsa atrašanu izstieptam objektam, piemēram, stienim, kur dažādas masas daļas atrodas atšķirīgos rādiusos no ass un kustas ar dažādiem lineārajiem ātrumiem.
  3. Formulas izvedums: Video gaitā tiek izvesta vispārīgā leņķiskā impulsa formula (L = Iω), veicot šādas darbības:
    • Stieņa aplūkošana kā daudzu mazu, atsevišķu masu summas.
    • Kopējā leņķiskā impulsa izteikšana kā katras mazās masas leņķiskā impulsa summa (Σ mvr).
    • Lineārā ātruma v aizstāšana ar tā leņķisko ekvivalentu rω, jo leņķiskais ātrums ω ir nemainīgs katram stieņa punktam.
    • Izteiksme tiek vienkāršota līdz (Σmr²)ω.
    • Termins Σmr² tiek identificēts kā objekta kopējā inerces momenta (I) definīcija.
  4. Piemēra aprēķins: Tiek sniegts soli pa solim piemērs, kā aprēķināt leņķisko impulsu stienim ar noteiktu masu (3 kg), garumu (2 m) un leņķisko ātrumu (10 rad/s). Gala vērtības atrašanai tiek izmantota specifiska formula stieņa inerces momentam ap tā galu (I = 1/3 mL²).
  5. Noslēgums: Video noslēgumā tiek apkopotas abas galvenās formulas, iesakot izmantot L = mvr punktveida masām un L = Iω izstieptiem objektiem ar izkliedētu masu.

Eksperta komentārs

Šajā video tiek skaidrots, kā noteikt impulsa momentu nevis atsevišķam masas punktam, bet homogēnam stienim. Aplūkota situācija, kur homogēns stienis rotē ap vienu galu, un parādīts, ka dažādiem stieņa punktiem ir atšķirīgi lineārie ātrumi. Lai noteiktu visa stieņa impulsa momentu, stienis tiek sadalīts bezgalīgi daudz bezgalīgi mazajos masas punktos un summeta šo elementu impulsa momenti. Izmantojot sakarību starp lineāro un leņķisko ātrumu un to, ka visiem stieņa punktiem ir vienāds leņķiskais ātrums, iegūta vispārīga sakarība starp impulsa momentu un leņķisko ātrumu. Tiek parādīts, ka impulsa moments LL ir vienāds ar inerces momenta II un leņķiskā ātruma ω\omega reizinājumu: L=IωL=I\omega. Uzsvērta līdzība starp impulsa momentu L=IωL=I\omega, kas raksturo rotācijas kustību, un ķermeņa impulsu p=mvp=mv, kas raksturo virzes kustību. Video noslēgumā aplūkots piemērs ar skaitliskām vērtībām, izmantojot formulu homogēna stieņa inerces moments aprēķināšanai.

Jēdzieni: impulsa moments, lineārais ātrums, leņķiskais ātrums, inerces moments.