Otrais Ņūtona likums rotācijas kustībā
Apskatīt video Khan Academy platformā: 
Rotational version of Newton's second law
Tagad mēs zinām, kā atrast
Transkripts:
00:00
Tagad mēs zinām, kā atrast
00:01
spēka momentu, bet kāpēc tas svarīgi?
00:03
Kāds labums ir no spēka momenta?
00:04
Ko labu tas mums dos?
00:05
Lūk, ko tas var dot.
00:07
No otrā Ņūtona likuma mēs zinām,
00:09
ka paātrinājums ir proporcionāls spēkam.
00:12
Mēs gribētu iegūt sava veida
00:14
šīs formulas analogu rotācijai.
00:17
Kaut ko, kas mums pateiktu –
00:18
pie noteikta spēka momenta
00:21
iegūsim noteiktu leņķisko paātrinājumu.
00:23
Un tu droši vien vari uzminēt,
00:24
ka šim leņķiskajam paātrinājumam būs
00:27
droši vien kaut kas ar spēka momentu augšā, jo spēka moments
00:29
liks kaut kam iegūt leņķisko paātrinājumu.
00:32
Un apakšā varbūt ir masa, varbūt nav.
00:35
Tas ir tas, kas mums šeit ir vajadzīgs.
00:36
Ja mums būtu šī formula, šis rotācijas analogs
00:39
otrajam Ņūtona likumam, tad, zinot spēka momentu,
00:42
mēs varētu izrēķināt leņķisko paātrinājumu,
00:45
tieši tāpat kā šeit augšā, zinot spēku,
00:47
mēs varētu pateikt, kāds ir lineārais paātrinājums.
00:50
To es vēlos izdarīt šajā video.
00:51
Es gribu izvest šo otrā Ņūtona likuma
00:54
rotācijas analogu objektam,
00:57
kas kustas pa apli, kā šī biljarda bumba.
01:00
Un ne tikai kustas pa apli.
01:02
Tādam, kam ir leņķiskais paātrinājums.
01:04
Tas paātrinātu savu rotāciju
01:06
vai palēninātu savu rotāciju.
01:08
Darīsim to, izvedīsim šo formulu,
01:11
lai, ja mēs zinām spēka momentu, mēs varētu noteikt
01:14
leņķisko paātrinājumu, tieši tāpat kā mēs nosakām
01:16
lineāro paātrinājumu, zinot spēku
01:18
un otro Ņūtona likumu.
01:20
Kā mēs to izdarīsim?
01:20
Lai iegūtu leņķisko paātrinājumu,
01:22
mums vajadzēs spēku, kas vērsts pa pieskari aplim.
01:26
Lai kaut kam piešķirtu leņķisko paātrinājumu,
01:29
tev vajag spēku pieskares virzienā,
01:31
jo šis spēks radīs spēka momentu.
01:34
Pieņemsim, ka šis ir spēks, kas rada spēka momentu,
01:36
mēs tagad zinām, kā to atrast.
01:37
Atceries, spēka moments ir r reiz F reiz sinuss teta,
01:40
bet vienkāršosim to.
01:42
Pieņemsim, ka leņķis ir 90, lai sinuss teta
01:44
būtu 1, jo 90 grādu sinuss ir 1.
01:47
Un vienkāršosim to arī šādā veidā,
01:49
pieņemsim, ka šis spēks ir kopspēks.
01:51
Pieņemsim, ka uz šo objektu darbojas tikai 1 spēks,
01:53
un tas ir šis spēks.
01:54
Mēs zinām, ka kopspēks
01:56
ir vienāds ar objekta masu,
01:59
reizinātu ar objekta paātrinājumu.
02:01
Un tu droši vien domā - nu un?
02:04
Mēs to jau zinājām.
02:05
Kas te jauns?
02:06
Atceries, mēs gribam sasaistīt spēka momentu
02:08
ar leņķisko paātrinājumu,
02:10
uzrakstīsim spēka momenta formulu.
02:11
Kā atrast spēka momentu no spēka?
02:14
Atceries, ka spēka radītais moments
02:15
ir vienāds ar šo spēku,
02:19
reiz r, attālumu no ass
02:23
līdz punktam, kur spēks ir pielikts.
02:24
Šajā gadījumā tas ir viss rādiuss,
02:27
jo mēs pielikām šo spēku pašā malā.
02:30
Ja šis spēks tiktu pielikts kaut kur uz iekšu,
02:32
r būtu tikai šis attālums no ass
02:35
līdz punktam, kur atrodas spēks.
02:36
Bet mēs to pielikām pašā malā,
02:37
tas būtu F reiz viss rādiuss.
02:39
Un tad tur ir arī sinuss no leņķa starp F un r,
02:44
bet leņķis starp F un r šeit ir 90 grādi,
02:47
un 90 grādu sinuss ir vienkārši 1,
02:50
mēs varam no tā atbrīvoties.
02:52
Tas ir vienkārši, spēka F radītais spēka moments
02:54
būs F reiz r.
02:56
Ko mēs ar to darām?
02:58
Paskaties šeit lejā, mums te jau ir F.
03:00
Ja esi radošs, tu varētu teikt,
03:02
labi, vienkārši pareizināsim abas puses ar r šeit lejā.
03:05
Tādējādi mēs šajā formulā iegūsim spēka momentu.
03:07
Citiem vārdiem sakot, ja es kreiso pusi pareizinu ar r,
03:10
es iegūšu r reiz F, un tagad tas būs vienāds ar
03:13
r reiz labo pusi.
03:15
Tas būs r reiz m reiz paātrinājums.
03:18
Un tas bija labi, paskaties, tagad mums ir r reiz F.
03:20
Tas ir spēka moments.
03:22
Spēka moments ir r reiz F jeb F reiz r.
03:24
Man ir spēka moments vienāds ar r reiz m,
03:28
reiz paātrinājums, bet tas neder.
03:30
Atceries, šeit mēs gribam formulu,
03:32
kas saista spēka momentu ar leņķisko paātrinājumu,
03:35
nevis formulu, kas saista spēka momentu ar lineāro paātrinājumu.
03:38
Ar ko es varētu aizstāt lineāro paātrinājumu,
03:41
lai iegūtu leņķisko paātrinājumu?
03:43
Varbūt atceries, kad mēs runājām
03:45
par rotācijas kustības lielumiem.
03:47
Tangenciālais paātrinājums vienmēr būs vienāds ar
03:50
attālumu no ass līdz šim objektam,
03:53
kuram ir šis tangenciālais paātrinājums,
03:55
reizinātu ar leņķisko paātrinājumu alfa.
03:59
Šī ir saistība starp alfu
04:02
un tangenciālo paātrinājumu.
04:03
Vai šis ir tangenciālais paātrinājums?
04:06
Ir, jo šis bija spēks pieskares virzienā.
04:08
Tā kā mēs izvēlējāmies spēku pieskares virzienā,
04:10
tas būs proporcionāls tangenciālajam paātrinājumam.
04:13
Abi šeit ir vērsti pieskares virzienā,
04:15
un visi šie spēki ir vērsti pieskares virzienā.
04:17
Tas nozīmē, ka es varu pārrakstīt tangenciālo paātrinājumu
04:20
kā r reiz alfa, un to es arī izdarīšu.
04:23
Es pārrakstīšu šo pusi kā r reiz alfa,
04:26
jo r alfa ir tangenciālais paātrinājums.
04:30
Šis viss lielums tieši šeit
04:31
bija vienkārši tangenciālais paātrinājums,
04:33
un tagad paskaties, ko mēs ieguvām.
04:34
Mums ir spēka moments, kas būs vienāds ar
04:36
r reiz m reiz r reiz alfa.
04:38
Es varu apvienot abus r un vienkārši to uzrakstīt
04:40
kā m reiz r kvadrātā reiz alfa, kur alfa ir leņķiskais paātrinājums.
04:46
Un tagad mēs esam tuvu.
04:47
Ja es gribētu otrā Ņūtona likuma formu,
04:49
es to varētu atstāt šādi, vai arī varētu to uzrakstīt
04:51
šajā formā šeit un vienkārši izteikt alfu,
04:53
un iegūt alfu.
04:54
Šīs masas leņķiskais paātrinājums
04:57
būs vienāds ar spēka momentu, kas darbojas uz šo masu,
05:01
dalītu ar šo dīvaino lielumu,
05:02
šo masu M, reiz r kvadrātā.
05:06
Un tas ir tas, ko mēs meklējām.
05:07
Tas ir tas, ko mēs te meklējām.
05:08
Es to ierakstīšu šajā kastītē.
05:09
Otrā Ņūtona likuma rotācijas analogs
05:13
ir šis spēka moments, dalīts ar šo lielumu šeit.
05:17
Šis m r kvadrātā, kas tas ir?
05:19
Tas pilda to pašu lomu,
05:20
ko masa lineārajam paātrinājumam
05:23
un parastajam otrajam Ņūtona likumam.
05:25
Un atceries, šī masa bija proporcionāla
05:28
objekta inercei.
05:30
Tā parādīja, cik grūti ir paātrināt šo objektu.
05:34
Cik kūtrs ir objekts.
05:36
Cik ļoti tas pretojas paātrināšanai.
05:40
Tas būs tas, ko nozīmē šis lielums šeit lejā.
05:42
Cilvēki to parasti sauc par inerces momentu,
05:45
bet tas laikam ir pats sarežģītākais nosaukums
05:48
kādam fizikas jēdzienam, par ko esmu dzirdējis.
05:50
Es pat nezinu, ko tas nozīmē.
05:51
Inerces moments.
05:52
Tas vienkārši izklausās dīvaini.
05:53
To apzīmē ar burtu I,
05:56
un tam ir tā pati loma.
05:57
Tas ir šajā saucējā tieši tāpat kā masa,
06:00
un tas pilda to pašu lomu.
06:01
Tas kalpo kā rotācijas inerce
06:05
attiecīgajai sistēmai.
06:07
Citiem vārdiem sakot, kaut kas ar lielu rotācijas inerci
06:11
tam būs grūtāk piešķirt leņķisko paātrinājumu,
06:14
tieši tāpat kā objektam ar lielu inerci
06:17
ir grūtāk piešķirt lineāro paātrinājumu.
06:19
Un mēs varam redzēt, no kā tas ir atkarīgs.
06:22
Paskaties, bumbai auklas galā,
06:24
inerces moments bumbai auklas galā
06:27
bija vienkārši m r kvadrātā.
06:29
Šis bija saucējs.
06:30
Šis bija lielums, kas kalpoja kā rotācijas inerce
06:34
šai masai auklas galā.
06:36
Un tas nozīmē - ja tev būtu lielāka masa,
06:39
vai ja rādiuss būtu lielāks,
06:41
šim objektam būtu grūtāk piešķirt leņķisko paātrinājumu.
06:44
Būtu grūti iekustināt šo lietu
06:47
un sākt to paātrināt.
06:48
Bet no otras puses, ja masa būtu maza,
06:51
vai rādiuss būtu mazs,
06:52
būtu daudz vieglāk piešķirt leņķisko paātrinājumu.
06:56
Tu varētu to griezt kā traks.
06:57
Bet, ja masa būtu ļoti liela vai rādiuss būtu liels,
07:00
šis inerces momenta lielums kļūtu daudz lielāks.
07:03
Tas ir inerces moments masai
07:05
auklas galā, un lūk, kas ir šis I.
07:08
Tu varētu par to domāt kā par rotācijas inerci.
07:11
Tas ir daudz labāks nosaukums.
07:12
Cilvēki sāk saprast un apzināties,
07:14
ka to vajadzētu saukt tieši tā,
07:15
jo tas patiesībā arī ir.
07:16
Šis „inerces moments” ir sava veida vēsturisks termins.
07:19
Tas ir iegājies, bet nav īpaši labs.
07:21
Rotācijas inerce daudz labāk apraksta,
07:24
kas patiesībā ir šis I.
07:26
Un mums vajadzētu piezīmēt šī inerces momenta mērvienības,
07:28
tā kā tas ir masa reiz rādiuss kvadrātā,
07:31
mērvienības būs kilogrami reiz metri kvadrātā.
07:34
Tās ir inerces momenta mērvienības,
07:36
un šī ir formula, ja tev ir vienkārši punktveida masa.
07:39
Un ar to es domāju masu, kur visa masa
07:42
pārvietojas vienādā rādiusā pa apli.
07:45
Tai nav jābūt piesietai pie auklas.
07:48
Tas varētu būt Mēness, kas riņķo ap Zemi.
07:50
Bet, kamēr visa masa atrodas vienādā rādiusā
07:53
un pārvietojas pa apli,
07:54
vai vismaz lielākoties vienādā rādiusā.
07:57
Pieņemsim, ka šīs mazās sfēras rādiuss
07:59
ir ļoti mazs salīdzinājumā ar kustības rādiusu.
08:02
Ja tā ir, ka būtībā visa masa
08:05
pārvietojas pa apli vienādā rādiusā,
08:08
šī būtu formula inerces momenta atrašanai.
08:11
Kā tas var kļūt grūtāk?
08:12
No kā tev jāuzmanās?
08:14
Mēs ņēmām vērā tikai 1 spēku.
08:16
Varētu iedomāties, ka uz šo objektu varbūt darbojas daudzi spēki.
08:19
Varbūt tur ir vēl kāds cits spēks šajā virzienā.
08:21
Nu tādā gadījumā šeit jāizmanto kopspēks,
08:24
lai tas būtu m reiz a,
08:26
un šeit augšā jāizmanto
08:27
kopējais spēka moments.
08:29
Šī formula joprojām darbosies, ja tev ir vairāki spēka momenti
08:33
šim objektam vai šai sistēmai.
08:35
Tev vienkārši šeit augšā jāizmanto kopējais spēka moments.
08:37
Tu saskaiti kopā visus spēka momentus:
08:40
tie, kas cenšas pagriezt vienā virzienā, ir pozitīvi,
08:42
bet tie, kas cenšas pagriezt pretējā virzienā,
08:44
ir negatīvi, tādēļ tev jāpārliecinās,
08:46
ka zīmes šeit augšā ir pareizas.
08:48
Un kā ar rotācijas inerci?
08:49
Ko darīt, ja tavs objekts nav tik vienkāršs kā viena masa?
08:53
Ko tad tu dari?
08:54
Paskatīsimies uz to.
08:55
Ņemsim šo formulu šeit, es to iekopēšu.
08:57
Atbrīvosimies no šī visa,
08:59
un pieņemsim, ka tev bija šāds traks uzdevums.
09:01
Tagad tev bija 3 masas, un 1 spēks
09:04
uz šo otro masu bija 20 ņūtoni uz leju,
09:07
un 1 spēks bija 50 ņūtoni uz augšu uz šo pirmo masu.
09:11
Starp tiem visiem ir 3 metri, un sistēma var rotēt.
09:14
Mēs paceļam latiņu, šis ir sarežģīti.
09:16
Sistēma var griezties ap centru, bet mēs to varam izdarīt.
09:19
Mēs to varam izdarīt ar formulu, ko tikko izvedām.
09:21
Izmantosim to.
09:23
Tas būs noderīgi.
09:23
Pieņemsim, ka jautājums ir - kāds ir leņķiskais paātrinājums
09:27
šīm masām šajā konkrētajā spēku izkārtojumā?
09:31
Mēs izmantosim šo otrā Ņūtona likuma formulu.
09:33
Rotācijas analogā mēs teiksim, ka leņķiskais paātrinājums,
09:36
ja tas ir tas, ko gribam, būs vienāds ar kopējo spēka momentu.
09:40
Kā mēs atrodam kopējo spēka momentu?
09:41
Te tagad ir 2 spēki.
09:42
Nu, nav tik traki.
09:43
Tu vienkārši atrodi spēka momentu no katra atsevišķi
09:46
un saskaiti tos kopā.
09:47
Tieši tāpat kā tu darītu ar jebkuru rezultējošo vektoru,
09:49
atrodi katru atsevišķi un saskaiti kopā.
09:51
Bet tas nebūs 50 mīnus 20.
09:54
Tie ir spēka momenti.
09:55
Mums šeit augšā jāievieto spēka moments, nevis spēks.
09:58
Tam ir jābūt spēka momentam,
09:59
un kamēr tu nepareizini šo spēku ar r, tas ir tikai spēks.
10:03
Nemēģini vienkārši ielikt šo 50 šeit.
10:05
Tas ir jāreizina ar r.
10:07
Kādu r?
10:08
Esi uzmanīgs, tu varētu domāt, ka 3 metri, bet nē.
10:10
r vienmēr ir no rotācijas ass,
10:13
kas ir centrs, līdz pat
10:15
vietai, kur ir pielikts spēks.
10:16
Spēka moments no šī 50 būs 9 metri,
10:20
reiz 50 ņūtoni.
10:22
Tagad mums ir spēka moments.
10:23
Tas nav spēka moments, kamēr tu nepareizini to spēku ar r.
10:26
Tas bija spēka moments no 50 ņūtoniem.
10:28
Kā ar spēka momentu no 20 ņūtoniem?
10:30
Tu varētu domāt - labi, tagad es sapratu.
10:32
Tas būs 20 ņūtoni, bet es taču nevaru vienkārši likt 20, vai ne?
10:35
Mums tas jāreizina ar r.
10:37
Tas būs 20 ņūtoni reiz r, un tas nav 3.
10:40
Tas vienmēr ir attālums no ass, tātad tas ir no centra
10:43
līdz pat vietai, kur tika pielikti šie 20 ņūtoni,
10:46
un tas būs 6 metri.
10:47
Un dažreiz, kad cilvēki tiek līdz šejienei, viņi ir tik priecīgi,
10:50
ka atceras par r, viņi vienkārši liek plusu,
10:52
un nedomājot par to,
10:54
bet viņi kļūdīsies.
10:55
Tu tā nevari darīt.
10:56
Paskaties, šis 50 ņūtonu spēks mēģināja pagriezt
10:58
šo sistēmu pretēji pulksteņrādītāja virzienam, vai ne?
11:01
50 ņūtonu spēks mēģina to pagriezt šajā virzienā.
11:03
20 ņūtonu spēks mēģina to pagriezt tajā virzienā.
11:06
Tie darbojas pretēji viens otram.
11:07
Šiem spēka momentiem ir pretējas zīmes,
11:10
man ir jāpārliecinās, ka es to atspoguļoju šeit augšā.
11:12
Es atspoguļošu šo 20 ņūtonu spēka momentu
11:14
kā negatīvu spēka momentu,
11:16
un tas ir pieņēmums, ko mēs parasti izvēlamies.
11:17
Pretēji pulksteņrādītāja virzienam spēka moments parasti ir pozitīvs,
11:20
bet pulksteņrādītāja virzienā parasti ir negatīvs,
11:21
bet, lai kādu pieņēmumu tu izvēlētos,
11:23
tiem šeit jābūt ar dažādām zīmēm,
11:25
tāpēc esi uzmanīgs.
11:26
Tas ir mūsu kopējais spēka moments šeit augšā.
11:27
Kā mēs atrodam rotācijas inerci,
11:29
vai inerces momentu?
11:31
Nu, no iepriekšējā piemēra mēs zinām,
11:33
ka punktveida masas inerces moments,
11:35
proti, masas, kas kustas pa apli,
11:37
kur visa masa pārvietojas šajā konkrētajā rādiusā,
11:41
ir vienkārši m r kvadrātā.
11:43
Bet tagad mums ir 3 masas,
11:44
tu varētu domāt, ka tas ir grūti, bet tas nav tik grūti.
11:47
Viss, kas mums jādara, ir jāpasaka, ka kopējais inerces moments
11:49
būs visu atsevišķo
11:53
inerces momentu summa.
11:54
Mēs vienkārši saskaitām visus atsevišķos inerces momentus.
11:57
Citiem vārdiem sakot, tas būs vienkārši
11:59
pirmās masas inerces moments.
12:01
Ja tas ir 1 kilograms, tas būs 1 kilograms
12:04
reiz r kvadrātā.
12:05
Lūk, ko tas nozīmē.
12:06
Tu paņem visas masas.
12:08
M viens, reiz r viens kvadrātā, plus M divi,
12:11
reiz r divi kvadrātā, plus M trīs, reiz r trīs kvadrātā.
12:15
Tu turpinātu tādā garā, ja tev būtu vēl.
12:17
Tu vienkārši tos visus saskaiti kopā, un tas tev dotu
12:19
kopējo inerces momentu masu sistēmai.
12:22
Ja mēs tos rēķinām pa vienam,
12:24
šis 1 kilograms reiz r šai masai
12:27
būtu 9 metri, jo tas ir attālums
12:30
no ass līdz masai.
12:32
Tas būs (9 m)² plus, labi, masa 2.
12:35
Ja masa ir 2 kilogrami,
12:37
tad tas būs reiz 6 kvadrātā.
12:40
Un tagad mēs turpinām.
12:41
Mēs paņemam šo 3 kilogramu masu un mēs arī pievienojam
12:44
tās devumu inerces momentam,
12:47
jeb rotācijas inercei,
12:48
un tas būtu 3 kilogrami reiz
12:51
3 metri iekavās kvadrātā,
12:53
jo tā atrodas 3 metru attālumā no ass.
12:56
Un, ja mēs to visu saskaitām
12:58
un ievadām šo visu kalkulatorā,
13:00
mēs iegūsim, ka alfa, leņķiskais paātrinājums
13:03
būs 1,83 radiāni pret sekundēm kvadrātā.
13:09
Tas ir temps, kādā šis objekts
13:11
sāktu paātrināties, ja tas sāktu no miera stāvokļa.
13:14
Tas sāktu griezties arvien ātrāk
13:17
šajā virzienā,
13:19
ja šie spēki turpinātu radīt
13:21
to pašu spēka momentu.
13:23
Rezumējot, tieši tāpat kā otrais Ņūtona likums
13:25
saista spēkus ar paātrinājumu,
13:27
šī otrā Ņūtona likuma rotācijas versija
13:30
saista spēka momentus ar leņķisko paātrinājumu.
13:33
Un šajā saucējā nav masa,
13:36
tā ir rotācijas inerce, kas parāda, cik grūti
13:40
būs objektam piešķirt leņķisko paātrinājumu.
13:43
Un tu vari atrast punktveida masas inerces momentu
13:46
kā m r kvadrātā, un tu vari atrast inerces momentu
13:48
punktveida masu kopumam, saskaitot kopā
13:51
katras atsevišķās masas devumu.
Eksperta komentārs
Video ilustrē leņķiskā paātrinājuma atkarību no spēka momenta nemainīga spēka momenta gadījumā un atbilst rotācijas kustības aprakstam vidusskolas kursā, lietojot inerces momenta jēdzienu. Aplūkota vienkārša situācija ar masas punktu, kas kustas pa riņķa līniju ar paātrinājumu, pieņemot, ka uz to darbojas viens spēks, kas ir perpendikulārs rotācijas rādiusam. Izmantojot 2. Ņūtona likumu virzes kustībai, iegūta sakarība starp spēka momentu un leņķisko paātrinājumu, kas kalpo kā 2. Ņūtona likuma analogs rotācijas kustībā. Šajā sakarībā ieviests inerces moments kā lielums, kas raksturo ķermeņa inerci rotācijas kustībā. Tālāk video aplūkots gadījums, kad uz rotējošu ķermeni darbojas vairāki spēki, uzsverot, ka šādā situācijā jāņem vērā spēka momentu algebriskā summa. Video noslēgumā detalizēti izanalizēts piemērs ar vairākiem masas punktiem, kas atrodas dažādos attālumos no rotācijas ass un uz kuriem darbojas dažādi spēki, parādot, kā noteikt visas sistēmas leņķisko paātrinājumu.
Jēdzieni: spēks, spēka moments, inerce, inerces moments.