Impulsa moments

Apskatīt video Khan Academy platformā: Khan AcademyAngular momentum

Transkripts:
00:00
Ja mums ir masa m,
00:03
un tā kustas ar kādu ātrumu,
00:07
pieņemsim, ka šī ātruma vektora modulis ir v,
00:12
mēs zinām, ka šim objektam ir impulss.
00:15
Translācijas kustības impulss.
00:17
Un mēs izmantojam burtu p,
00:19
lai apzīmētu impulsu.
00:22
Translācijas kustības impulss ir definēts kā
00:25
masas un ātruma reizinājums.
00:32
Šis viss ir atkārtojums, mums ir citi video,
00:34
kuros mēs runājam par translācijas kustības impulsu,
00:36
un viens veids, kā par to domāt, ir:
00:38
"Cik grūti ir šo lietu apturēt?"
00:43
Ikdienas valodā tu burtiski domā:
00:45
"Cik liels impulss kam ir?
00:47
Jo lielāks impulss, jo grūtāk būs,
00:50
jo grūtāk to kaut kā apturēt."
00:54
Mēs zinām, ja gribam kļūt
00:56
nedaudz matemātiskāki,
00:58
ja gribam mainīt impulsu,
01:01
mums ir jāpieliek spēks uz kādu laika sprīdi.
01:03
Un mūsu spēka vektora modulis,
01:08
reizināts ar laiku, cik ilgi mēs spēku pieliekam,
01:12
spēks reiz laiks - to sauc par spēka impulsu.
01:15
Un tas atkal viss ir atkārtojums.
01:18
Tas ir vienāds ar impulsa izmaiņu.
01:22
Uzrakstīšu to dzeltenā krāsā.
01:24
Tas ir vienāds ar impulsa izmaiņu.
01:28
Ja nav nekāda spēka impulsa,
01:30
it īpaši, ja nav nekāda kopspēka,
01:32
kas iedarbojas uz objektu,
01:33
tā impulss būs konstants.
01:35
Tad darbojas impulsa nezūdamības likums.
01:38
Un mēs izmantojam šo ideju visdažādākajos
01:39
interesantos fizikas pielietojumos pasaulē,
01:43
un īpaši daudzos gadījumos ar biljarda bumbām
01:45
un tamlīdzīgi.
01:47
Tagad mēģināsim izmantot līdzīgu ideju,
01:49
bet rotācijas pasaulē.
01:51
Iedomāsimies, ka tev ir masa,
01:53
un šajā gadījumā pieņemsim, ka tas ir materiāls punkts.
01:56
Tātad tev tur ir masa.
01:59
Un teiksim, ka tā ir piestiprināta ar
02:01
bezmasas stiepli,
02:05
tā ir, teiksim, pienaglota
02:08
tieši šeit.
02:09
Un šis te būtu
02:10
tās rotācijas centrs,
02:11
un tu varētu iedomāties, ja kāds pieliktu
02:13
šai masai spēka momentu,
02:15
šī masa varētu sākt rotēt pa apli.
02:18
Un tu vari pieņemt, ka varbūt
02:20
tā atrodas uz, piemēram, ekrāna,
02:21
šī ir tāda kā bezberzes virsma,
02:24
nav gaisa pretestības.
02:25
Un tad, ja tu šeit pieliksi spēka momentu,
02:28
tā sāks rotēt.
02:30
Un tu varētu padomāt:
02:31
"Varbūt ir kāda ideja,
02:33
līdzīga tam, kā impulss ir ideja par to,
02:34
cik grūti ir kaut ko apturēt?"
02:38
Tu varētu teikt: "Nu, kā?"
02:39
Proti, apturēt virzes kustību.
02:42
Tu varētu nodomāt: "Varbūt ir līdzīga ideja,
02:44
par to, cik grūti ir kaut kam,
02:46
apturēt rotāciju?"
02:50
Un tu vari iedomāties, ka šī ideja ir definēta,
02:53
un tā ir definēta kā impulsa moments.
02:56
Lai būtu skaidrāk,
02:58
šis te ir impulss.
03:04
Bet šeit mēs runāsim par impulsa momentu.
03:16
Vispār gan impulss, gan impulsa moments
03:18
ir vektoriāli lielumi.
03:19
Šeit es uzrakstīju tikai vektoru moduļus
03:21
ātrumam un impulsam.
03:23
Bet impulss ir vektors, un to varētu definēt,
03:26
impulsa vektoru varētu definēt kā vienādu ar masu,
03:29
kas ir skalārs lielums, reizinātu ar ātrumu.
03:32
Reizinātu ar ātruma vektoru.
03:35
Tas pats attiecas arī uz impulsa momentu,
03:37
bet es pievērsīšos
03:40
impulsa momenta vektora modulim.
03:43
Impulsa momentam var būt virziens, kā tu vari iedomāties,
03:45
jo var rotēt divos dažādos virzienos,
03:47
bet tas kļūst nedaudz sarežģītāk,
03:49
kad sāc domāt par vektoru reizināšanu,
03:51
jo, kā tu, iespējams, jau zini
03:53
vai redzēsi nākotnē,
03:54
ir dažādi veidi, kā reizināt vektorus.
03:56
Bet, lai gūtu intuitīvu priekšstatu par impulsa momentu,
03:59
es koncentrēšos uz vektoru moduļiem.
04:01
Impulsa moments tiek definēts,
04:03
un to apzīmē ar burtu L.
04:05
Es daudz pētīju, lai mēģinātu noskaidrot,
04:07
kāpēc to sauc par L, un nevarēju atrast labu iemeslu.
04:09
Ja kādam ziņojumu dēlī zemāk ir labs iemesls,
04:14
es labprāt uzzinātu,
04:17
kāpēc impulsa momentu sauc par L.
04:20
Daudzi no labākajiem argumentiem, ko redzēju,
04:22
bija, ka gandrīz viss pārējais,
04:23
visi pārējie burti bija izmantoti
04:25
citām idejām fizikā.
04:27
Bet lai nu kā, impulsa moments ir definēts,
04:30
un tas ir definēts ļoti līdzīgi.
04:32
Tāpat kā spēka moments ir tas, kas var
04:35
mainīt to, kā kaut kas rotē,
04:37
un spēks ir veids, kā kaut kas mainās,
04:39
kā kaut kas virzās,
04:41
un spēka moments ir spēks reiz attālums
04:44
no rotācijas centra,
04:47
viss rotācijas pasaulē
04:49
tiek definēts līdzīgā veidā.
04:52
Tā kā paņem analogu no translācijas kustības pasaules,
04:54
un reizini to ar attālumu
04:56
no rotācijas centra.
04:58
Impulsa moments ir definēts kā
05:03
masa reiz ātrums
05:09
reiz attālums no rotācijas centra.
05:13
nosauksim šo attālumu šeit par r.
05:16
r kā rādiuss, jo var iedomāties,
05:19
ja tas kustētos pa apli,
05:20
tas būtu apļa rādiuss.
05:22
m, v, r.
05:24
Vispār, būšu nedaudz uzmanīgāks.
05:26
Tas ir ātruma vektora modulis,
05:28
kas ir perpendikulārs rādiusam.
05:30
Dažreiz to varētu saukt par tangenciālo ātrumu.
05:33
Šis simbols šeit,
05:35
ir ātruma vektora modulis,
05:37
kas ir perpendikulārs rādiusam.
05:38
Tātad tas būtu šis lielums šeit.
05:43
To mēs definējam kā impulsa momentu.
05:48
Tagad es tev teikšu, ka,
05:50
tāpat kā, neesot kopspēkam,
05:52
impulss ir konstants.
05:55
Mēs zinām, un es tev to vēl neesmu parādījis,
05:57
es tev to vēl neesmu matemātiski pierādījis,
05:59
bet, ja nav spēka momenta,
06:01
ja spēka moments ir vienāds ar nulli,
06:03
mēs izcelsim spēka momentu rozā krāsā.
06:06
Ja spēka moments ir vienāds ar nulli,
06:09
ja šeit nav kopējā spēka momenta,
06:11
ja spēka momenta lielums ir vienāds ar nulli,
06:15
tad nebūs nekādu izmaiņu.
06:22
Nekādu impulsa momenta izmaiņu.
06:26
Un mēs to aplūkosim matemātiski pēc dažām sekundēm.
06:29
Bet jau no šī
06:30
rodas ļoti interesanta lieta.
06:33
Un kaut kas, ko tu, iespējams, esi novērojis
06:35
pat olimpiskajās spēlēs vai citur.
06:37
Un tā ir ideja, ka tu vari,
06:39
mainot savu rādiusu,
06:42
vispār mainīt savu tangenciālo ātrumu.
06:44
Un, kā mēs esam redzējuši citos video,
06:46
tangenciālais ātrums ir cieši saistīts ar
06:49
leņķisko ātrumu.
06:52
Papētīsim to nedaudz.
06:53
Kad mēs to rakstām pasaulē, kur,
06:57
vispār tu to redzi tieši no šī,
06:59
ja L ir konstants, ja r samazinās,
07:02
ļauj man to pierakstīt.
07:04
Pārrakstīšu to šeit.
07:05
Tātad, L, ups.
07:11
L ir vienāds ar masa reiz tangenciālais ātrums,
07:17
vai vispār, jā, tangenciālais ātrums,
07:19
jeb ātrums, kas ir perpendikulārs rādiusam,
07:22
reiz rādiuss.
07:24
Kas notiek,
07:26
ja pieņemam, ka tas ir konstants,
07:30
ja pieņemam, ka nav spēka momenta,
07:32
tad mēs esam šajā pasaulē.
07:33
Šis te būs konstants.
07:39
Kas notiek, ja mēs samazinātu r?
07:42
Kaut kā šī stieple sāk nedaudz uztīties,
07:46
vai sāk aptīties šeit,
07:47
un tas vispār ir saprātīgi,
07:49
tu vari iedomāties, ka, rotējot, tā sāk aptīties ap
07:51
šo lietu, tāpēc stieple kļūst īsāka.
07:54
Ja r samazinās,
07:57
un šis ir konstants, masa nemainīsies,
08:00
Ja L ir konstants, masa nemainās,
08:02
r samazinās, tangenciālais ātrums,
08:04
jeb ātrums, kas ir perpendikulārs rādiusam,
08:06
palielināsies.
08:13
Un, ja mēs gribam par to padomāt,
08:14
mēs varam domāt par to, izmantojot leņķisko ātrumu.
08:17
Mēs zinām, ka leņķiskais ātrums,
08:20
ko mēs mērītu radiānos sekundē,
08:22
mēs izmantotu simbolu omega,
08:24
omega ir definēts,
08:25
un mēs to daudz dziļāk apskatām citos video,
08:27
kā tangenciālais ātrums,
08:33
ātruma lielums, kas ir
08:35
perpendikulārs rādiusam,
08:37
dalīts ar rādiusu.
08:40
Vai, ja tu izsaki tangenciālo ātrumu,
08:44
tu iegūsti v ir vienāds ar
08:48
ir vienāds ar omega r.
08:56
Un, ja to ievieto atpakaļ šajā,
08:59
impulsa momenta definīcijā,
09:04
tu iegūsti impulsa momentu
09:07
vienādu ar masu reiz šo reiz r.
09:12
Tātad, masa reiz, es šeit tikai ievietoju ātruma vietā,
09:16
reiz omega r,
09:20
reiz r.
09:22
Kas, protams, ir omega r kvadrātā.
09:27
Atkal veicam to pašu uzdevumu.
09:29
Ja mūsu rādiuss samazinās,
09:31
kas notiek ar mūsu leņķisko ātrumu?
09:33
Atceries, mēs to varētu mērīt
09:34
leņķos sekundē vai radiānos sekundē,
09:36
ja šis ir konstants,
09:38
atceries, mēs pieņemam, ka nav kopējā spēka momenta,
09:40
kas tiek pielikts sistēmai,
09:42
tātad mēs joprojām esam šajā pasaulē.
09:45
Ja pieņemam, ka šis nemainās,
09:47
bet rādiuss mainītos,
09:49
kas notiks ar omegu?
09:52
Omega
09:54
omega palielināsies.
09:56
Līdzīgi, ja rādiuss kļūtu garāks,
10:01
Ja rādiuss kļuva garāks,
10:03
kas notiks ar omegu?
10:04
Omega
10:06
omega samazināsies.
10:08
Ja tu samazini rādiusu,
10:10
tu sāksi griezties ātrāk,
10:12
ja tu palielināsi šo rādiusu,
10:13
tu sāksi griezties lēnāk.
10:15
Un tu to esi redzējis,
10:17
vai es domāju, ka ir liela varbūtība,
10:18
ka tu to esi redzējis,
10:19
iespējams, olimpiskajās spēlēs, kad esi redzējis daiļslidotājus.
10:23
Kur viņi varētu sākt griezties,
10:24
un viņiem rokas ir izstieptas.
10:26
Kad viņu rokas ir izstieptas,
10:27
var teikt, ka viņu rādiuss ir lielāks.
10:29
Un, protams, daiļslidotājs ir
10:30
daudz sarežģītāka sistēma nekā materiāls punkts.
10:33
Tu varētu iedomāties, ka daiļslidotājs ir
10:34
materiālu punktu kopa.
10:37
Tu varētu modelēt daiļslidotāju
10:39
kā milzīgu skaitu materiālu punktu
10:41
ar dažādiem rādiusiem,
10:41
un tu gribētu saskaitīt to impulsa momentus,
10:44
bet notiekošā būtība ir tā,
10:47
ka, kad viņas rokas ir izstieptas,
10:49
vidējais rādiuss, kad tu aprēķini
10:52
visus materiālos punktus viņas rokās un pārējā ķermenī,
10:55
vidējais rādiuss ir lielāks.
10:58
Un tad, kad viņa tās ievelk,
10:59
kad viņa tās ievelk, rādiuss samazinās,
11:02
un viņas leņķiskais ātrums palielinās.
11:05
Un tu to redzi. Viņi sāk griezties,
11:07
un tad, nepieliekot nekādu spēka momentu,
11:08
kad viņi ievelk rokas,
11:10
viņi sāk griezties ātrāk.
11:11
Un tad, ja viņi izstiepj rokas,
11:13
atkal nepieliekot nekādu spēka momentu,
11:14
viņi sāk griezties lēnāk.
impulsa moments(angular momentum)
impulss (kustības daudzums)(momentum)
leņķiskais ātrums(angular velocity)
spēka impulss(impulse (impulse of force))
spēka moments(torque (moment of force))
vektoriāls lielums(vector quantity)

Kopsavilkums

Šis video sniedz ievadu leņķiskā impulsa jēdzienā, velkot analoģijas ar tā lineāro ekvivalentu – translācijas impulsu. Video sākas ar translācijas impulsa (p = mv) un impulsa jēdziena (spēks, kas pielikts noteiktā laika posmā ir vienāds ar impulsa izmaiņu) apskatu. Tas noved pie impulsa nezūdamības likuma, kas nosaka, ka impulss paliek nemainīgs, ja uz ķermeni neiedarbojas nerezultējošs ārējais spēks.

Pēc tam stunda pāriet uz "rotācijas pasauli", lai definētu leņķisko impulsu (L) kā mēru tam, cik grūti ir apturēt rotējošu objektu.

Apskatītās tēmas

  • Translācijas impulsa apskats:
    • Definīcija: impulss (p) = masa (m) * ātrums (v)
    • Impulss: spēks (F) * laiks (t) = impulsa izmaiņa (Δp)
    • Impulsa nezūdamības likums: Impulss ir nemainīgs, ja nerezultējošais spēks ir nulle.
  • Ievads leņķiskajā impulsā:
    • Definēts kā translācijas impulsa rotācijas ekvivalents.
    • Apzīmēts ar burtu L.
    • Formula materiālam punktam: L = m * v * r, kur v ir tangenciālais ātrums (perpendikulārs rādiusam).
    • Alternatīva formula, izmantojot leņķisko ātrumu (ω): L = m * ω * r².
  • Leņķiskā impulsa nezūdamības likums:
    • Leņķiskais impulss saglabājas, ja nav nerezultējošā ārējā spēka momenta.
    • Izpēta apgriezto saistību starp rādiusu (r) un leņķisko ātrumu (ω): ja r samazinās, ω ir jāpalielinās, lai saglabātu L nemainīgu, un otrādi.

Atslēgvārdi

Translācijas impulss, Leņķiskais impulss, Impulss, Spēks, Spēka moments, Masa, Ātrums, Tangenciālais ātrums, Leņķiskais ātrums (omega), Rādiuss, Rotācijas centrs, Materiāls punkts, Impulsa nezūdamības likums, Leņķiskā impulsa nezūdamības likums, Vektors, Skalārs.

Aktivitātes un piemēri

  • Domas eksperiments: Video izmanto vizualizāciju ar materiālu punktu, kas piestiprināts pie stieples un rotē ap fiksētu centru, lai izskaidrotu mainīgos, kas saistīti ar leņķisko impulsu (masa, ātrums, rādiuss).
  • Formulu atvasināšana: Video soli pa solim atvasina leņķiskā impulsa formulas (L = mvr un L = mωr²).
  • Piemērs no reālās dzīves (daiļslidotājs): Leņķiskā impulsa nezūdamības likums tiek ilustrēts ar daiļslidotāja piemēru. Slidotājs griežas ātrāk (palielinot leņķisko ātrumu), pievelkot rokas (samazinot rotācijas rādiusu), un palēnina griešanos, izstiepjot rokas (palielinot rādiusu), un tas viss notiek, nepieliekot jaunu spēka momentu.

Eksperta komentārs

Šajā video vispirms tiek atgādināts par impulsa jēdzienu virzes kustībā, skaidrojot saistību starp ķermeņa impulsu, spēka impulsu un impulsa izmaiņu. Parādīts, ka gadījumā, ja uz ķermeni nedarbojas no nulles atšķirīgs kopspēks, tā impulss nemainās. Pēc tam aplūkots rotācijas kustības piemērs ar masas punktu, kas nostiprināts stienī un var bez berzes rotēt ap vienu no tā galiem, un uzdots jautājums par to, cik “grūti” ir apturēt šādu rotējošu masu. Lai aprakstītu šo situāciju, tiek ieviests impulsa moments kā rotācijas kustības analogs impulsa jēdzienam virzes kustībā. Video ieviesta impulsa momenta definīcija, parādot tā saistību ar masas punkta ātrumu un attālumu līdz rotācijas asij, kā arī uzsvērts, ka impulsa momenta izmaiņas nosaka spēku momentu algebriskā summa. Tiek parādīts, ka gadījumā, ja šī summa ir nulle, impulsa moments saglabājas, un analizēts, kā rotācijas rādiusa maiņa ietekmē masas punkta lineāro un leņķisko ātrumu. Video noslēgumā aplūkots ilustratīvs piemērs par daiļslidotāja rotācijas kustību, demonstrējot impulsa momenta nezūdamības likuma praktisko izpausmi.

Jēdzieni: virzes kustība, impulss, spēka impulss, kopspēks, spēka momentu algebriskā summa, tangenciālais ātrums, leņķiskais ātrums, impulsa moments.

Piezīmes par terminoloģiju un saturu. Mācību literatūrā latviešu valodā parasti lieto terminu virzes kustība, nevis translācijas kustība. Impulsa moments šajā video tiek aplūkots kā skalārs lielums, neanalizējot tā vektoriālo raksturu, jo vidusskolas kursā netiek aplūkots vektoriālais reizinājums. Spēku iedarbība uz rotējošu ķermeni tiek raksturota ar spēka momentu algebrisko summu, kas atbilst impulsa momenta nezūdamības likuma formulējumam skolas kursā.