Vienkāršu harmonisko svārstību vienādojums

[Instruktors] Labi, mēs redzējām, ka var attēlot

vienkārša harmoniska oscilatora kustību

horizontālās pozīcijas grafikā, un tas izskatījās diezgan forši.

Tas izskatās apmēram šādi.

Un šīs kustības amplitūda,

maksimālā novirze no līdzsvara stāvokļa,

šajā grafikā tika vienkārši attēlota

ar maksimālo novirzi no līdzsvara stāvokļa,

tas izskatījās šādi.

Un periods, kas bija laiks, kurš bija nepieciešams,

lai viss šis process atgrieztos sākuma stāvoklī, lielais T,

ir periods, ir laiks, kas nepieciešams, lai atgrieztos sākuma stāvoklī,

bija laiks, kas nepieciešams, lai atgrieztos sākuma stāvoklī,

kas būtu no maksimuma līdz maksimumam

vai no ieplakas līdz ieplakai,

vai no jebkura punkta līdz jebkuram analogam punktam

šajā ciklā, tas bija periods T.

Un ar grafiku, kas ir sinuss vai kosinuss,

tu varēji attēlot jebkuru kustību.

Ja tev būtu kāds oscilators ar lielāku amplitūdu,

tu vari iedomāties, ka šo lietu vienkārši izstiepj vertikāli,

periods paliktu nemainīgs,

bet tu varētu izstiept amplitūdu.

Vai, ja tev būtu kaut kas ar lielāku periodu,

tu vari iedomāties to izstiept horizontāli

un atstāt amplitūdu nemainīgu,

vai izstiept to abos virzienos, lai attēlotu jebkuru oscilatoru,

kuru vēlies, kas ir diezgan forši.

Tomēr bieži vien tev ir nepieciešams arī

vienādojums, citiem vārdiem sakot,

tu varētu vēlēties zināt, kāds vienādojums aprakstītu

šo grafiku šeit.

Kāds vienādojums attēlotu šo grafiku šeit?

Pirmkārt, ko es vispār domāju ar,

šī grafika vienādojumu?

Es domāju to, ka šis grafiks attēlo

horizontālo pozīciju, x,

kas ir tas, cik tālu masa ir novirzījusies

šajā virzienā no līdzsvara stāvokļa, kā laika funkciju.

Mēs gribam funkciju, kas būs,

labi, kāda ir šīs masas pozīcijas vērtība

kā laika funkcija?

Kāds būtu šis vienādojums?

Tā būs funkcija, citiem vārdiem sakot,

tu šai funkcijai varēsi ievadīt jebkuru laiku,

un funkcija tev dos,

tā izdos pozīcijas vērtību,

un tai vajadzētu attēlot jebkuru pozīciju,

ko šis grafiks attēlo, kur atrodas masa,

jo grafikam vajadzētu sakrist

ar to, ko mums pateiks šī funkcija.

Un šī funkcija mums pateiktu, kur atrodas masa

jebkurā laika brīdī.

Kā tas izskatītos?

Nu, mēs redzējām, ka šis ir sinuss vai kosinuss, vai ne?

Šis ir vai nu sinuss, vai kosinuss.

Tā ir pirmā izvēle.

Vai mēs gribam izvēlēties sinusu vai kosinusu?

Un tas, ko es vienmēr daru, ir vienkārši paskatos uz sākumu

un saku, labi, kad T ir 0,

šis sākas maksimumā.

Es gribu izmantot kosinusu,

jo kosinuss sākas maksimumā,

un, sakot, ka tas sākas maksimumā,

es domāju, padomā par to, kosinuss no nulles,

ja tu atceries savas trigonometriskās funkcijas,

kosinuss no nulles ir vienāds ar 1.

Un tas ir tāpēc, ka šī ir lielākā vērtība, ko kosinuss vispār var sasniegt.

Sinuss un kosinuss var sasniegt tikai 1.

Šī lieta sākas maksimumā.

Kosinuss sākas maksimumā, kad T ir 0.

Šī funkcija šeit sākas maksimumā, kad T ir 0.

Es gribēšu izmantot kosinusu,

bet man šeit būs jāpievieno daži elementi.

Tikai ar kosinusu vien man nepietiks,

jo kosinuss var sasniegt tikai 1.

Šai lietai ir jāsasniedz A,

lai arī kas būtu A, šai lietai jāsasniedz tik liela vērtība.

Citiem vārdiem sakot, mani vienkāršie harmoniskie oscilatori

ne vienmēr būs ar amplitūdu 1,

tāpēc man šeit ir nepieciešams kāds mainīgais,

kas attēlos, kāda ir amplitūda

konkrētajam vienkāršajam harmoniskajam oscilatoram.

Padarīsim to mazāk abstraktu.

Teiksim, ka mēs esam

atvilkuši šo lietu atpakaļ par 20 centimetriem jeb 0,2 metriem.

Teiksim, ka mūsu amplitūda

konkrētam vienkāršam harmoniskam oscilatoram

ir 0,2 metri,

tas nozīmētu, ka šo šeit,

es varu attēlot šeit ar 0,2 metriem,

tas pat nesasniedz 1.

Ja es to atstātu tikai kā kosinusu,

tas nozīmētu, ka šī lieta sasniegs vērtību 1

kādā laika brīdī, un tie ir meli.

Šī lieta sasniedz tikai 0,2, bet to ir viegli labot.

Ja esi attapīgs, tu varētu saprast,

ka mēs vienkārši priekšā pareizināsim ar amplitūdu,

lai arī kāda tā būtu,

jo tad 1 reiz amplitūda

nozīmē, ka šis x sasniedz tikai amplitūdas vērtību,

kas ir tieši tas, ko es gribu.

Es gribu, lai šī lieta būtu tik liela,

kāda ir kustības amplitūda.

Un tad ir vēl viena daļa,

tu nevari, tu varētu teikt,

labi, esam pabeiguši, es vienkārši ielikšu kosinusu no T

šeit, bet tas nestrādās.

Mēs gribam, lai šī būtu laika funkcija, vai ne?

Mēs gribam varēt ievietot laiku

un lai šī funkcija izdotu,

kāda ir grafika pozīcijas vērtība,

un tas attēlotu, kur tas atrodas.

Vai tas ir pie 0,2, vai pie 0,1, vai pie 0,045,

vai kaut kas tamlīdzīgs?

Tas ir tas, kas šai funkcijai ir jādara.

Bet, vienkārši ievietojot šeit T,

tikai T vien nebūs labi,

jo tas nozīmētu, paskaties,

kosinuss no nulles, mēs zinām, ka kosinuss ir 1.

Kad kosinuss atkal sasniedz 1?

Tas būs tad, kad iekšpuse,

arguments šeit, ir 2π.

Mēs izmantosim radiānus.

Ja gribētu, varētu izmantot grādus,

bet vairums fiziķu, profesoru un skolotāju

šajā gadījumā izmantos radiānus.

Kosinuss no 2π atkal būtu 1,

jo tas ir tad, ja atceries vienības riņķi,

kad šī kosinusa funkcija

ir veikusi vienu pilnu apli

un atgriežas sākuma punktā, vai ne?

Ja kaut kas pagriežas par leņķi 2π,

viss atgriežas sākuma stāvoklī, un šis process ir atiestatīts.

Bet tas nozīmētu, ka šī funkcija atiestatās

ik pēc 2π sekundēm, vai ne?

Jo, kad T ir 0, funkcija bija 1,

un tad, kad T ir 2π, funkcija atkal ir 1.

Tas nozīmētu, ka kosinusa no t periods

ir 2π, bet mūsu periods ne vienmēr ir 2π, vai ne?

Ja vien nav kāds ļoti īpašs gadījums,

periods ir tāds, kāds tas ir.

Pieņemsim, ka tas būtu,

pieņemsim, ka mūsu periods būtu, teiksim, 6 sekundes

šajā konkrētajā gadījumā.

Ja tās būtu 6 sekundes,

mēs negribētu funkciju,

kas atiestatās pēc 2π sekundēm,

mums ir vajadzīga funkcija, kas atiestatās pēc,

šajā gadījumā, 6 sekundēm.

Kā mēs to panāksim?

Nu, mums šeit nevar būt tikai T.

Mēs redzējām, ka, ja mums ir tikai T,

periods vienmēr ir 2π,

jo tad atiestatās kosinuss no T.

Kā mēs to izdarītu?

Nu, mēs būsim gudri.

Un, ja tu esi patiešām gudrs, tu saproti,

labi, es vienkārši pievienošu šeit nelielu mainīgo.

Es vienkārši pievienošu mazu mainīgo, bum, omega

un tad reizināšu to ar T,

un tad es varu pielāgot šo omegu, kā vien vēlos, vai ne?

Ja es varu padarīt omegu lielu vai mazu,

es varu padarīt šīs funkcijas periodu, kādu vien vēlos.

Un, ja tev ir interesanti, tu varētu teikt,

pagaidi, omega, mēs to jau esam izmantojuši,

un tev būtu taisnība.

Omegu mēs esam izmantojuši iepriekš.

Tas bija leņķiskais ātrums

un atceries, leņķiskais ātrums bija delta teta

dalīts ar delta T, leņķa izmaiņas lielums

dalīts ar laika izmaiņas lielumu,

kas, kā tu varētu domāt, šeit nav svarīgi,

jo šī masa tikai kustas uz priekšu un atpakaļ.

Šī masa faktiski negriežas pa apli.

Tomēr tu vari attēlot periodiskus procesus,

cikliskus procesus, procesus, kas iziet cauri ciklam,

uz vienības riņķa.

Citiem vārdiem, pieņemsim, tu sāc šeit, vai ne?

Kad T ir 0, tu sāc,

mēs atvilkām šo masu atpakaļ un tad palaidām vaļā.

Mēs sākam tieši tur.

Tas būtu šeit uz šī vienības riņķa,

un tad tas lido cauri līdzsvara punktam,

tas būtu pēc ceturtdaļas cikla,

tas nozīmē, ka tas būtu nonācis šeit.

Un tad tas nonāk līdz šai malai,

pilnībā saspiežot šo lietu, tas būtu šeit,

tas būtu pēc pus cikla,

un tas atgrieztos cauri,

ļaujiet man atrast citu tumšu krāsu,

tas atgrieztos caur līdzsvara punktu,

un tas būtu šeit lejā.

Un tad mēs atgrieztos sākuma punktā,

un tas būtu viens pilns cikls.

Tu redzi, kā mēs varam attēlot cikliskus procesus

uz vienības riņķa, un tāpēc tam ir jēga.

Tas varētu šķist abstrakti, bet tas ir ļoti noderīgi,

jo paskaties, ko mēs varētu izdarīt.

Naivi tu varētu domāt, labi,

kā mēs to vispār definētu?

Nu, viens cikls uz vienības riņķa

ir 2π radiāni, vai ne?

Ja mēs izmantojam radiānus, tad viens cikls būtu 2π,

jo 2π ir vienreiz apkārt riņķim.

Un cik ilgi tas aizņem?

Nu, es zinu, ka vienkāršam harmoniskam oscilatoram

mēs definējām periodu kā laiku, kas nepieciešams

vienam pilnam ciklam.

Mums būtu 2π dalīts ar periodu,

un tas ir tas, ko tu ievietotu šeit apakšā.

Izrādās, ka tas strādā.

Pat naivi, vienkārši izmantojot mūsu idejas par leņķisko ātrumu,

ievietojot 2π dalīts ar periodu,

iegūsim funkciju, kas atiestatās

tieši tad, kad mēs to vēlamies.

Un tu varbūt neesi pārliecināts.

Un, ja tam nav jēgas, es tevi nevainoju.

Arī es varētu būt apjucis.

Ļauj man parādīt, ko es domāju.

Citiem vārdiem, mēs ņemam šo funkciju,

tā vietā, lai rakstītu omega, mēs varam vienkārši darīt šādi.

Mēs varam vienkārši teikt, labi, aizmirsti šo,

ņemot šo, omega ir leņķiskais ātrums,

dažreiz to sauc par leņķisko frekvenci,

šajā gadījumā cilvēki lieto dažādu terminoloģiju.

Tu dzirdēsi to kā leņķisko ātrumu vai leņķisko frekvenci.

Ja tu ņem šo leņķisko ātrumu vai leņķisko frekvenci,

mēs to vienkārši ieliekam tieši šeit.

Mēs to vienkārši ieliekam tur omegas vietā,

un tad reizinām ar t.

Skaties, kas notiek, tas ir skaisti.

Ja mēs ņemam šo, tagad tas strādās.

Mēs reizinām ar t.

t ir mūsu mainīgais.

Mazais t ir mūsu mainīgais, 2π ir konstante,

periods, lielais T, arī ir konstante,

tas būs atšķirīgs dažādiem harmoniskiem oscilatoriem.

Bet konkrētam harmoniskam oscilatoram,

lielais T, periods, ir konstante.

Skaties, kas notiek tagad.

Kad t ir 0, visa šī iekšpuse kļūst par 0.

Teiksim, es ievietoju t = 0.

Mēs varam ievietot mazo t, kādu vien vēlamies.

Tas ir mūsu mainīgais, tādēļ, ja es ievietoju mazo t,

vienādu ar 0, kosinuss no 0 man dod 1.

Bet kas notiek tagad?

Ja es ievietoju t vienādu ar, labi, pēc viena pilna procesa,

pareizi, pēc viena pilna cikla,

tas ir izgājis cauri vienam pilnam periodam,

ja es ievietoju mazo t kā lielo T, periodu.

Skaties, kas notiek.

Šis lielais T saīsinās ar šo lielo T,

un tu vienkārši iegūsti 2π šeit iekšā,

un kosinuss no 2π arī ir 1.

Tas nozīmē, ka šī lieta iziet cauri ciklam

ik pēc perioda, lielā T.

Tas ir tas, ko mēs gribējām.

Mēs negribējām kaut ko, kam vienmēr vajadzēja,

lai 2π būtu periods.

Tagad mums ir funkcija, kurā mēs varam ievietot

lai arī kāds būtu mūsu periods, šeit apakšā.

Tādā veidā, ikreiz, kad šis mazais t sasniedz periodu,

lielo T, viss šis arguments šeit kļūst par 2π,

un kosinuss atiestatās,

un tu iegūsti grafiku vai funkciju, kas dos tev grafiku,

kas atiestatās ik pēc perioda, kas ir tieši tas, ko mēs gribējām.

Citiem vārdiem, lai to padarītu mazāk abstraktu,

paņemsim šo lietu šeit,

šai konkrētajai funkcijai šeit,

šai konkrētajai amplitūdas un perioda izvēlei,

mēs varētu teikt, ka grafiks, kas to attēlo,

tātad funkcija, kas attēlotu šo šeit,

amplitūdas vietā mēs ievietotu 0,2.

Tātad, 0,2, ļaujiet man mēģināt to ietilpināt šeit,

0,2, es negribu šeit likt mērvienības,

metri reiz kosinuss, atceries, mēs gribējām kosinusu,

jo tas sākas maksimumā,

un šis grafiks sākās maksimumā.

Ja tas sāktos šeit lejā un ietu uz augšu, es izmantotu sinusu,

jo sinuss sākas no nulles.

Bet šis sākās maksimumā.

Un man ir 2π dalīts ar periodu,

es nevaru to vienkārši atstāt kā periodu T,

tas ir nedaudz neskaidri, es ievietotu savu faktisko periodu,

un mēs teicām, ka faktiskais periods

šai masai uz atsperes bija 6 sekundes.

Un tad mazais t, bieži cilvēki apjūk,

viņi saka, labi, ko man ievietot mazā t vietā?

Tev nevajag, parasti, ja tu vienkārši gribi

pozīcijas funkciju kā laika funkciju,

tu atstāj mazo t kā mainīgo.

Tas ir mainīgais, kas tev šeit stāv, vai ne?

Ja es gribētu zināt, kāda ir vērtība

šīs masas pozīcijai pēc 9 sekundēm,

es ievietotu 9 sekundes.

Es aprēķinātu šo funkciju

ar 9 sekundēm iekšā,

tā būtu pozīcija pēc 9 sekundēm.

Vai, ja es gribētu pozīciju pēc 12,25 sekundēm,

es ievietotu 12,25 sekundes mūsu mazā t laika vietā,

aprēķinātu šo funkciju, ievietotu to kalkulatorā,

citiem vārdiem sakot, un tas man dotu

pozīciju pēc 12,25 sekundēm.

To šī funkcija var tavā labā izdarīt.

Tā var attēlot kustību

vienkāršam harmoniskam oscilatoram.

Un tagad tu varētu teikt, vecīt, tas aizņēma ilgu laiku.

Vai tie visi aizņem tik ilgu laiku?

Nē, kad tu iemācies to darīt, tas ir patiešām viegli.

Skaties, ļauj man noņemt to visu.

Pieņemsim, ka tev ir šāds uzdevums testā

vai kontroldarbā, vai vienalga kur, mājasdarbā,

un tajā būtu teikts, hei, uzraksti vienādojumu,

kas apraksta šo vienkāršo harmonisko oscilatoru.

Tas ir viegli.

Pirmā lieta, ko tu dari, ir - vai es gribu izmantot sinusu vai kosinusu?

Tu varētu teikt, ak, sasodīts,

tas nesākas maksimumā

un tas pat nesākas no nulles, sinuss sāktos tur.

Tas sākas šeit lejā, bet tas ir normāli.

Tas sākas minimumā.

Mēs joprojām izmantosim kosinusu.

Mēs teiksim, ka x kā laika funkcija

būs, nu, kāda ir amplitūda?

Amplitūda šeit ir 3 metri.

3 metri ir mūsu amplitūda,

jo tā ir maksimālā novirze

no līdzsvara stāvokļa, tātad man būs

3 metri priekšā

un tad es likšu kosinusu,

jo tas sākas ekstrēmā vērtībā,

piemēram, maksimālā vai minimālā vērtībā.

Kosinuss no, un tad man vajag 2π dalīts ar periodu.

Kāds ir mans periods?

Es skatos uz savu grafiku un jautāju,

cik ilgs laiks nepieciešams, lai atgrieztos sākuma stāvoklī?

Sākās šeit lejā, minimumā,

kad tas atgriežas minimumā?

Tas aizņēma 4 sekundes.

4 sekundes būtu periods,

tas būtu 2π dalīts ar 4 sekundēm,

un tad mazais t, ko es ievietoju mazā t vietā?

Neko.

Šis ir mainīgais, kas tur stāv

un gaida, kad es ievietošu to, ko vēlos.

Tas ir mans mainīgais mazais t, no kura x ir funkcija.

Bet es neesmu pabeidzis.

Šis būtu grafiks, kas sākas šeit augšā

un iet uz leju šādi.

Šis grafiks sākas šeit lejā, bet to ir viegli labot.

Tu vienkārši priekšā reizini ar mīnusa zīmi

un tu esi pārvērtis savu kosinusu par mīnus kosinusu,

un mīnus kosinuss sākas šeit lejā.

Ievēro, ka mūsu amplitūda joprojām ir 3.

Ja jautājums būtu, kāda ir amplitūda?

Amplitūda ir novirzes modulis,

maksimālā novirze, tātad tie joprojām ir plus 3 metri,

lai gan tas sākās šeit lejā,

bet tu varēji vienkārši pievienot papildu mīnusu priekšā,

kas būtībā ir saistīts ar kosinusu.

Tas tev dotu mīnus kosinusu,

un lūk, rezultāts, tā būtu tava funkcija.

Atceries, ir labi paturēt prātā,

ja tu sāc šeit augšā,

tu vēlēsies izmantot kosinusu.

Ja tu sāc šeit lejā,

tu vēlēsies izmantot mīnus kosinusu.

Ja tu sāc tieši šeit,

tu vēlēsies izmantot sinusu.

Ja tu sāc šeit un ej uz augšu, tas būs sinuss.

Un ja tu sāc šeit un ej uz leju,

tas būs mīnus sinuss.

Tā izskatās šīs funkcijas.

Rezumējot, tu varētu izmantot šo vienādojumu,

lai attēlotu vienkārša harmoniska oscilatora kustību,

kas vienmēr būs plus vai mīnus

amplitūda, reizināta vai nu ar sinusu, vai kosinusu

no 2π dalīts ar periodu, reizināts ar laiku.

Šis 2π dalīts ar periodu

attēlo leņķisko frekvenci jeb leņķisko ātrumu,

un tu izvēlētos plus kosinusu,

ja tu sāc maksimumā,

mīnus kosinusu, ja tu sāc minimumā.

Plus sinusu, ja tu sāc nullē vai līdzsvara stāvoklī un ej uz augšu.

Mīnus sinusu, ja tu sāc līdzsvara stāvoklī un ej uz leju.