Diega svārsta periods
Apskatīt video Khan Academy platformā: 
Period of a Pendulum
Transkripts:
00:00
- [Instruktors] Tātad, diega (matemātiskais) svārsts
00:01
ir vienkārši atsvars, kas karājas auklā.
00:03
Un, ja tu pavelc šo atsvaru,
00:05
ko dažreiz sauc par svārsta atsvaru,
00:07
ja tu to pavelc atpakaļ un tad palaid vaļā,
00:09
gravitācijas spēks darbosies kā atgriezējspēks,
00:11
un šis atsvars svārstīsies uz priekšu un atpakaļ atkal un atkal.
00:15
Un, tā kā šis diega svārsts
00:17
ir vienkāršs harmonisks oscilators, tā kustība,
00:19
tā leņķis kā laika funkcija
00:21
būtu precīzi aprakstāma ar sinusa vai kosinusa grafiku.
00:25
Citiem vārdiem sakot,
00:26
ja tu to sākumā atvelc par 15 grādiem,
00:30
tu varētu iegūt grafiku, kas izskatās apmēram šādi.
00:32
Katram vienkāršam harmoniskam oscilatoram
00:34
ir raksturīgs kustības periods.
00:38
Kustības periods ir laiks, kas nepieciešams,
00:40
lai pabeigtu vienu pilnu ciklu.
00:42
Laiks, kas nepieciešams, lai aizsvārstītos no šejienes
00:45
līdz turienei,
00:46
un atpakaļ līdz šejienes,
00:47
būtu viens pilns periods.
00:49
Un šajā grafikā esmu to pierakstījis kā 0,5 sekundes,
00:52
bet ne katra diega svārsta periods
00:54
būs 0,5 sekundes.
00:56
Diega svārsta periods
00:57
ir atkarīgs no šī svārsta īpašībām
01:00
un vides, kurā tas atrodas.
01:02
Lai izvestu šo formulu svārsta periodam,
01:05
būtu nepieciešama augstākā matemātika.
01:07
Es to vienkārši uzrakstīšu
01:08
un ātri tevi ar to iepazīstināšu un salīdzināšu
01:10
ar atsvara uz atsperes perioda formulu.
01:12
Svārsta periods
01:13
būs vienāds ar 2𝜋 reiz kvadrātsakne
01:18
no svārsta garuma L attiecības,
01:21
tātad šīs auklas garums šeit, garums L,
01:25
dalīts ar g, brīvās krišanas paātrinājumu
01:28
uz planētas, kurā svārsts tiek izmantots.
01:31
Tagad, ja tu uz to skaties,
01:32
un esi bijis uzmanīgs fizikas stundās,
01:33
tev varētu rasties jautājums: "Paga, tas izskatās ļoti līdzīgi
01:35
formulai par atsvara uz atsperes periodu."
01:38
Ja ņemtu atsvaru uz atsperes,
01:40
atvirzītu to par 15 centimetriem,
01:42
tu iegūtu līdzīgu grafiku,
01:44
un tam arī būtu raksturīgs kustības periods.
01:47
Un, ja tu uzrakstītu atsvara uz atsperes periodu,
01:51
tas izskatās šādi, atsvara uz atsperes periods
01:53
ir arī 2𝜋, tātad tas ir identiski.
01:56
Un tad tā ir arī kvadrātsakne no attiecības,
01:59
bet atsvaram uz atsperes L pret g vietā,
02:02
ir m, atsperei pievienotā atsvara masa,
02:06
dalīts ar k, atsperes stinguma koeficientu.
02:10
Viena acīmredzama līdzība starp šīm divām formulām
02:13
ir to formāts.
02:14
Abas ir 2𝜋 reiz kvadrātsakne no attiecības,
02:18
bet vēl viena svarīga līdzība starp tām,
02:20
kas varbūt nav acīmredzama,
02:22
ir tā, ka neviena no šīm formulām
02:23
nav atkarīga no kustības amplitūdas.
02:26
Svārsta periods
02:28
nav atkarīgs no kustības amplitūdas,
02:30
un atsvara uz atsperes periods
02:32
arī nav atkarīgs no kustības amplitūdas.
02:35
Ko es ar to domāju,
02:35
ir tas, ja tu pavelc šo svārstu atpakaļ,
02:37
15 grādu vietā
02:38
atvelc to par 20 grādiem un palaid vaļā,
02:41
tam būtu tālāk jāsvārstās.
02:43
Tā kustība varētu izskatīties apmēram šādi,
02:45
un tas nolaižas zemāk un tad atkal paceļas,
02:47
bet tas aizņemtu tieši tikpat daudz laika.
02:50
Periods nemainītos,
02:51
ja tu atvilktu šo amplitūdu tālāk.
02:54
Tas pats attiecas uz šo atsvaru uz atsperes.
02:56
Tā vietā, lai to pavilktu par 15 centimetriem,
02:58
pieņemsim, ka tu to pavilktu 20 centimetrus, atkal,
03:00
tas sāktu no augstāka punkta.
03:02
Tas nolaistos zemāk.
03:03
Bet laiks, kas nepieciešams viena pilna cikla veikšanai,
03:06
nemainītos, mainot šo amplitūdu.
03:09
Un tas var šķist dīvaini.
03:10
Tu domā: "Paga, vai tad šiem objektiem
03:12
tagad nav jāveic lielāks ceļš,
03:14
kad tu esi tos atvilcis līdz lielākai amplitūdai?"
03:15
Tā ir taisnība, abiem būs jāveic lielāks ceļš,
03:18
bet tie tagad kustēsies ātrāk.
03:20
Un ātrāka kustība lielākā attālumā to kompensēs.
03:24
Un amplitūda neietekmē periodu
03:27
ne svārsta, ne atsvara uz atsperes kustībai.
03:30
Kas attiecas uz atšķirībām, nu,
03:33
saucējs šeit atsvaram uz atsperes
03:35
ir atkarīgs no k, un tas ir atsperes stinguma koeficients k,
03:38
un tam vajadzētu būt loģiski.
03:39
Lielāks atsperes stinguma koeficients nozīmē lielāku atgriezējspēku,
03:43
atsperes spēks šeit ir atgriezējspēks.
03:45
Lielāks atgriezējspēks nozīmē, ka šis atsvars
03:47
kustēsies ātrāk.
03:48
Tas nozīmē, ka būs nepieciešams mazāk laika,
03:51
lai veiktu pilnu periodu.
03:52
Dalot ar lielāku skaitli, lielāku atsperes k,
03:56
tu iegūsti mazāku periodu.
03:57
Tas pats attiecas arī šeit, bet tas nav k.
03:59
Spēks, kas ir atgriezējspēks svārstam,
04:02
nav atspere, tas ir gravitācijas spēks.
04:04
mg ir atkarīgs no g.
04:07
Lielāks g dotu lielāku atgriezējspēku
04:10
svārstam.
04:12
Tas nozīmē, ka svārsts varētu kustēties ātrāk.
04:14
Ātrāka kustība nozīmē, ka būs nepieciešams mazāk laika,
04:17
lai pabeigtu pilnu periodu.
04:18
Dalot ar lielāku g, ja tu paņemtu šo svārstu
04:21
uz Jupitera virsmu vai kur citur,
04:23
kur g ir lielāks,
04:25
tas svārstītos uz priekšu un atpakaļ ātrāk.
04:27
Tā pabeigšanai būtu nepieciešams mazāk laika,
04:29
jo atgriezējspēks ir lielāks.
04:31
Pat ja šie saucēji ir dažādi burti,
04:33
tie nāk no viena un tā paša avota.
04:35
Tie abi rodas tāpēc, ka atgriezējspēks
04:38
ir lielāks, palielinot šos saucējus,
04:41
kas palielina objekta ātrumu.
04:43
Varbūt lielākā atšķirība šeit
04:45
ir tā, ka skaitītājs šeit,
04:47
atsvaram uz atsperes, ir atkarīgs no masas,
04:49
bet masa nav atrodama
04:51
svārsta perioda formulā.
04:53
Svārsta periods nav atkarīgs no masas.
04:56
Tas ir diezgan interesanti.
04:57
Zini, ļoti liels, smags cilvēks iesēžas šūpolēs,
05:00
šūpojas uz priekšu un atpakaļ,
05:01
ļoti viegls bērns iesēžas tajās pašās šūpolēs,
05:04
viņiem abiem būs nepieciešams vienāds laiks,
05:06
lai pabeigtu pilnu ciklu.
05:07
Viņu masa šeit nav faktors
05:09
svārsta periodam,
05:10
bet atsvaram uz atsperes ir. Kāpēc tā?
05:13
Nu, lielāka masa atsvaram uz atsperes
05:16
dod lielāku inerci sistēmā.
05:18
Ja sistēmā ir lielāka inerce,
05:20
tā ir gausāka kustībā.
05:22
Tā kustēsies lēnāk.
05:23
Tas nozīmē, ka būs nepieciešams vairāk laika,
05:25
lai pabeigtu pilnu ciklu.
05:27
Tagad tu varētu domāt: "Pagaidiet.
05:28
Vai tas pats neattiecas arī šeit?
05:29
Paskaties, ja mums ir lielākas masas svārsta atsvars,
05:33
tam vajadzētu palielināt rotācijas inerci.
05:35
Un tāpēc tam vajadzētu aizņemt vairāk laika.
05:37
Tam vajadzētu būt gausākam kustībā.
05:39
Vajadzētu būt nepieciešamam ilgākam laikam, lai veiktu pilnu periodu."
05:41
Bet paskaties, arī atgriezējspēks svārstam
05:45
ir proporcionāls masai.
05:46
Ja tu palielini šī svārsta masu,
05:48
tu iegūsti lielāku inerci,
05:49
bet tu iegūsti arī lielāku atgriezējspēku,
05:51
jo atgriezējspēks ir gravitācija.
05:53
Tie pilnībā kompensējas,
05:54
masa neparādās šajā svārsta formulā,
05:57
lai gan tā parādās šeit zemāk.
05:59
Atsperes spēks nav proporcionāls masai.
06:02
Atsperes spēks ir kx.
06:03
Palielinot šī atsvara masu galā,
06:06
nepalielina atsperes atgriezējspēku.
06:09
Tāpēc šī masa paliek skaitītājā,
06:11
bet tā neietekmē svārsta periodu.
06:13
Kāpēc tad parādās šis L?
06:15
Kāpēc svārsta garums ir skaitītājā?
06:18
Nu, rotācijas inerce tiek palielināta,
06:20
kad tu palielini svārsta garumu.
06:23
Bet šī garuma palielināšana
06:24
nepalielina gravitācijas spēku.
06:26
Ja gribi būt tehniski precīzs,
06:27
rotācijas inerce ir proporcionāla garuma kvadrātam,
06:31
bet spēka moments būtu proporcionāls tikai garumam.
06:33
Tāpēc šeit parādās tikai viens L.
06:36
Īsāk sakot, ja tu palielini svārsta garumu,
06:39
tu palielināsi šī svārsta inerci.
06:42
Tāpēc būs nepieciešams ilgāks laiks,
06:43
lai veiktu pilnu ciklu.
06:44
Tāpēc es eju uz parku
06:45
un meklēju garās šūpoles.
06:47
Jo garākas šūpoles, jo ilgāks laiks patiesībā nepieciešams,
06:50
jo vairāk laika patiesībā nepieciešams, lai šūpotos uz priekšu un atpakaļ.
06:52
Man šķiet, ka tas ir jautrāk nekā mazās, īsās šūpoles,
06:55
kas ļoti ātri šūpojas uz priekšu un atpakaļ.
06:57
Pamēģināsim atrisināt parauguzdevumu,
06:58
lai redzētu, kā darbojas šī perioda formula.
07:01
Pieņemsim, ka tu aizgāji uz parku.
07:02
Tu sver 60 kilogramus.
07:03
Tu šūpojies šūpolēs,
07:04
un tavs draugs tevi atvelk atpakaļ par 20 grādiem
07:07
šūpolēs, kas ir viena metra garas.
07:10
Atradīsim kustības periodu.
07:12
Citiem vārdiem sakot, laiks, kas nepieciešams,
07:13
lai aizšūpotos līdz vienam galam
07:15
un tad atkal atpakaļ.
07:16
Mēs izmantojam svārsta perioda formulu.
07:19
Tas ir 2𝜋, sakne no L pret g.
07:23
Tātad, mēs reizināsim 2𝜋 ar kvadrātsakni,
07:27
garums šeit ir auklas garums.
07:29
Tātad, 1 metrs, tehniski,
07:31
tam būtu jābūt līdz tavam masas centram,
07:34
bet mēs pieņemsim, ka mūsu masas centrs
07:35
ir tieši šeit, galā,
07:37
dalīts ar g, nu, es pieņemu, ka mēs esam uz Zemes,
07:40
tātad 9,8 metri sekundē kvadrātā.
07:43
Ja tu to visu atrisini,
07:44
tu iegūsti periodu, kas ir gandrīz precīzi 2 sekundes.
07:48
Tātad šīm šūpolēm periods būtu apmēram 2 sekundes.
07:51
Ievēro, ka mēs neizmantojām šos 20 grādus.
07:54
Tā ir amplitūda.
07:55
Šis periods nav atkarīgs no amplitūdas.
07:58
Mēs arī neizmantojām faktu, ka es svēru 60 kilogramus.
08:01
Svārsta periods arī nav atkarīgs
08:03
no atsvara masas svārsta galā.
08:06
Mēs izmantojam tikai garumu, un, ja tu esi uz Zemes,
08:08
saucējs šeit vienmēr būs 9,8.
08:11
Viena lieta, kas man jāpaskaidro, ir tas, ka svārsts
08:14
tehniski nav ideāls vienkāršs harmonisks oscilators.
08:17
Tas ir tikai aptuveni vienkāršs harmonisks oscilators.
08:19
Tātad šī formula ir tikai aptuveni pareiza,
08:22
bet maziem leņķiem tā ir gandrīz ideāla.
08:25
Pie 20 grādiem,
08:26
šī formula atšķirsies.
08:28
Kļūda būs tikai aptuveni 1%,
08:31
kas nav slikti.
08:32
Ja tu to atvelc atpakaļ līdz kādiem 70 grādiem,
08:34
pat tad kļūda ir tikai ap 10%.
08:37
Tas ir ļoti, ļoti labs tuvinājums,
08:41
ja ir mazi leņķi, apmēram no 20 līdz 30 grādiem.
08:44
Taču, jo lielāks kļūst leņķis,
08:46
jo sliktāks kļūst tuvinājums.
08:47
Maziem leņķiem vairums fiziķu svārstu vienkārši uzskata,
08:51
it kā tas būtu ideāls vienkāršs harmonisks oscilators.
08:53
Tomēr, sasniedzot šos lielākos leņķus,
08:55
tev jābūt uzmanīgam.
08:56
Tas var sākt novirzīties daudz būtiskāk
08:59
no faktiskās vērtības.
09:00
Rezumējot, svārsta periods
09:02
ir atkarīgs no svārsta garuma
09:04
un planētas virsmas gravitācijas, uz kuras tu atrodies.
09:07
Tas nav atkarīgs no amplitūdas
09:10
vai svārsta masas.
09:12
Un tā forma ir ļoti līdzīga
09:13
atsvara uz atsperes periodam,
09:16
kur skaitītājs palielinās
09:17
palielinātas inerces dēļ
09:19
un saucējs palielinās
09:21
palielināta atgriezējspēka dēļ.