Darba un enerģijas izmaiņas lietojums aprēķinos

- [Instruktors] Darba–enerģijas princips

nosaka, ka kopējais darbs, kas paveikts ar objektu,

būs vienāds ar šī objekta kinētiskās enerģijas izmaiņu.

Un tas attiecas arī uz sistēmām.

Kopējais darbs, kas paveikts ar objektu sistēmu,

būs vienāds ar kopējās kinētiskās enerģijas izmaiņu

objektiem šajā sistēmā.

Tas izklausās ļoti sarežģīti un tehniski,

bet man patīk domāt

par darba–enerģijas principu kā par saīsni.

Šī ir tiešām laba saīsne, kas man ļauj

noteikt kinētiskās enerģijas izmaiņu, neizmantojot

daudzus sarežģītus enerģijas nezūdamības vienādojumus

vai kinemātikas formulas.

Āķis ir tajā, ka man ir jāzina,

kā aprēķināt, kas ir kopējais darbs.

Kā tu aprēķini kopējo darbu?

Darba formula ir Fd cos(θ).

Tā kā šī formula, darba–enerģijas princips,

balstās uz kopējo darbu,

šim ir jābūt kopējā spēka modulim,

reizinātam ar veiktā attāluma moduli,

reizinātam ar kosinusu no leņķa teta.

Atceries, ka šim teta ir jābūt leņķim starp, nevis jebkuram leņķim,

leņķim starp kopējā spēka virzienu

un kustības virzienu.

Pamēģināsim to.

Kā to izmantot?

Izmēģināsim.

Pieņemsim, ka ir satelīts.

Tas kustas pa labi,

un uz šo satelītu darbojas kopējais spēks.

Šis kopējais spēks varētu būt vērsts jebkurā virzienā.

Ja kopējam spēkam ir komponents kustības virzienā,

tad kopējais darbs būs pozitīvs.

Un ja tā, tad jebkas šeit, no, teiksim, -90,

nu, teiksim, tas ir -89,9,

jo 90 būtu perpendikulāri daudzos gadījumos,

piemēram, no -89,9 līdz +89,9,

tev ir komponents kustības virzienā.

Tas nozīmē, ka tu veiksi pozitīvu kopējo darbu.

Un tas nozīmē, ka kinētiskās enerģijas izmaiņa

būs pozitīva, jo tā ir vienāda ar šo skaitli.

Tas nozīmē, ka kinētiskā enerģija palielinās.

Tavs ātrums palielināsies.

Un tas ir intuitīvi saprotams.

Ja tavs spēks ir vērsts kustības virzienā,

tavs ātrums palielinās.

Kā ir ar otru gadījumu?

Ja nu tavs kopējais spēks ir vērsts

kustībai pretējā virzienā?

Tad kopējais darbs būs negatīvs.

Tev būs negatīva kinētiskās enerģijas izmaiņa.

Citiem vārdiem sakot, tu samazināsi ātrumu,

un, ja kopējais spēks ir vērsts perpendikulāri,

tad tu neveic nekādu darbu,

jo kosinuss no 90 ir 0.

Kopējais darbs netiktu veikts.

Nebūs kinētiskās enerģijas izmaiņu.

Tas nenozīmē, ka tu apstājies.

Tas tikai nozīmē, ka tu nepalielināsi un nesamazināsi ātrumu.

Tas tomēr kaut ko dara.

Tu varētu teikt: "Vai tad tas neko nedara?"

Jā, tu sāksi dreifēt augšup.

Tu sāksi mainīt virzienu,

bet tas neveiks nekādu darbu attiecībā uz tevi

tajā brīdī.

Un, lai būtu skaidrība, es domāju,

pamēģināsim šeit vienu sarežģītu gadījumu.

Pieņemsim, ka šis spēks ir vērsts kādā virzienā.

Pieņemsim, ka tavs ātrums pat ir vērsts uz leju.

Varbūt tavs satelīts virzās uz leju,

un tavs spēks būs vērsts jebkurā virzienā.

Ja tas ir vērsts šādi,

precīzi pretēji, leņķis būs 180.

Tu veiksi negatīvu darbu.

Tu samazināsi ātrumu, samazinot kinētisko enerģiju.

Un tu nemainīsi virzienu.

Ja virziens ir šāds, tev ir pretējs komponents.

Tu samazināsi ātrumu un mainīsi virzienu.

Šis tikai mainīs virzienu.

Tajā brīdī tu nepalielināsi un nesamazināsi ātrumu.

Šis palielinās tavu ātrumu un mainīs tavu virzienu.

Un visbeidzot, šis tikai palielinās tavu ātrumu,

un tu nemainīsi savu virzienu.

Darba–enerģijas princips ir ērts,

lai vienkārši iegūtu konceptuālu vai kvalitatīvu priekšstatu

par notiekošo.

Un tas, protams, var arī dot tev priekšstatu,

par to, kā veikt aprēķinus.

Pamēģināsim vienu, kurā ir jāiegūst skaitlisks rezultāts.

Pieņemsim, ka ir gaisa balons,

un tas ir 300 kilogramus smags gaisa balons.

Tas dreifē pa kreisi,

tā sākuma ātrums bija 7 metri sekundē,

un tas veic kopumā 50 metrus

pa kreisi šī ceļa laikā.

Uz šo gaisa balonu darbosies spēki.

Protams, būs gravitācijas spēks un cēlējspēks,

bet, tā kā tie ir perpendikulāri

kustības virzienam,

tie darbu neveic.

Kad mēs izmantosim šo darba–enerģijas principu,

tie pat netiks ņemti vērā.

Mums pat nav jāzina šie spēki,

jo tie bija perpendikulāri un neveica darbu.

Tu ņem vērā tikai spēkus kustības virzienā.

Pieņemsim, ka bija vēja brāzma,

kas palīdzēja virzīties pa kreisi ar 200 ņūtonu spēku,

bet šis ir liels, apjomīgs balons, ne pārāk aerodinamisks.

Tāpēc bija pretestības spēks

no gaisa pretestības, 104 ņūtoni pa labi.

Un mēs gribam noteikt,

gaisa balona beigu ātrumu,

pēc tam, kad tas ir veicis 50 metrus tieši pa kreisi

ar attēlā redzamajiem spēkiem.

Ir daudz dažādu veidu, kā to izdarīt.

Zini, Ņūtona likumi,

vari izmantot kinemātikas formulu, ir visādi paņēmieni,

pat impulss, tehniski — spēka impulss,

bet vieglākais, esmu diezgan drošs, ka vieglākais veids, kā to izdarīt,

būs tieši darba–enerģijas princips,

kas nosaka, ka kopējais paveiktais darbs

ir vienāds ar kinētiskās enerģijas izmaiņu.

Ķersimies klāt un darīsim to.

Mēs zinām, ka kopējais darbs ir vienāds

ar kopējā spēka moduli,

reizinātu ar veiktā attāluma moduli

reizinātu ar kosinusu no leņķa starp tiem.

Ko nozīmē kinētiskās enerģijas izmaiņa?

Jebkura lieluma izmaiņa ir beigu vērtība mīnus sākuma vērtība.

Tā kā kinētiskā enerģija ir 1/2 mv²,

tas būs vienkārši 1/2 m v beigu²,

mīnus 1/2 m v sākuma².

Tā būs kinētiskās enerģijas izmaiņa,

beigu mīnus sākuma.

Labi, ievietosim šeit skaitļus.

Kopējais spēks. Kā mēs to iegūstam?

Vertikālās komponentes nav svarīgas.

Mēs šeit skatāmies tikai horizontāli.

Tās bija vienīgās, kas to ietekmēs.

Šīs vertikālās vienkārši kompensējas.

Mums ir 200 pa kreisi, 104 pa labi.

Mums tie būs jāatņem,

lai iegūtu 96 pa kreisi.

Un mēs gribam tikai moduli.

Es iegūšu 96 ņūtonus pa kreisi,

nevis negatīvu vai ko citu, es tikai ņemu moduli,

reiz veiktais attālums.

Mēs zinām, ka tas ir 50.

Tātad mēs reizinām ar 50 metriem un kosinusu no leņķa.

Tagad uzmanīgi.

Tu varētu teikt: "Ak, šeit ir 180."

Bet nē, kopējais spēks ir vērsts pa kreisi.

Šie 200 šeit ir lielāki.

Pa kreisi vērsts kopējais spēks un kustības virziens pa kreisi,

leņķis starp tiem abiem ir nulle,

kosinuss no nulles ir vienkārši 1.

Šeit mēs esam maksimumā.

Kopējais spēks ir vērsts kustības virzienā.

Tātad, tas ir vienāds ar, ievietosim pārējo,

1/2, masa ir 300 kilogrami,

reiz v beigu²,

tas ir tas, ko mēs gribam noteikt,

mīnus 1/2, 300 kilogrami,

reiz sākuma ātrums, kas ir septiņi metri sekundē.

Mums ir 7 metri sekundē kvadrātā.

96 reiz 50 sanāks 4800.

Tas nozīmē, ka tas ir paveiktais kopējais darbs.

Ievēro, ka tie ir džouli.

Tik daudz enerģijas mēs esam pievienojuši.

Tā ir kinētiskās enerģijas izmaiņa.

Mēs zinām, ka kopējais darbs ir kinētiskās enerģijas izmaiņa.

Mēs esam pievienojuši 4800 džoulus kinētiskās enerģijas.

Tam ir jābūt vienādam ar, puse no 300 ir 150 kilogrami,

reiz v beigu²,

mīnus, ja tu ņem pusi no 300 reiz 7²,

tu iegūsi 7350.

Tik daudz enerģijas

bija gaisa balonam sākumā.

Pēc tam, kad mēs to pārvietojam pa kreisi,

mēs tos saskaitām.

Es iegūšu 12 150 džoulus,

tik daudz kinētiskās enerģijas ir balonam beigās.

Un tam ir jābūt vienādam ar 150 kilogramiem

reiz v beigu².

Es varu izdalīt 12 150 ar 150, un tu iegūsi tieši 81,

un tas būs vienāds ar v beigu².

Un, ja tu izvelc no tā kvadrātsakni,

tu iegūsi tieši 9.

Šī gaisa balona beigu ātrums

ir 9 metri sekundē.

Tas palielināja ātrumu.

Tas nav pārsteidzoši.

Šis kopējais spēks bija vērsts pa kreisi,

un objekts kustējās pa kreisi.

Mēs veicām pozitīvu darbu.

Mēs palielinājām kinētisko enerģiju.

Mēs sākām ar 7 metriem sekundē.

Mēs beidzām ar 9 metriem sekundē.

Un šis ir piemērs,

kā tu izmanto darba–enerģijas principu.

Atkārtosim,

darba–enerģijas princips nosaka,

ka kopējais darbs ir vienāds ar kinētiskās enerģijas izmaiņu.

Tas var tev palīdzēt vienkārši konceptuāli

vai kvalitatīvi noteikt,

vai kaut kas palielinās ātrumu, samazinās ātrumu,

vai mainīs virzienu, vai abus.

Un tad kvantitatīvi,

tu vari to izmantot, lai konkrēti atrisinātu

uzdevumus par kinētiskās enerģijas izmaiņu,

kā arī par beigu vai sākuma ātrumu,

kas kaut kam varētu būt bijis.