Centrtieces paātrinājuma atkarība no lineāra ātruma un rādiusa: uzdevumu risināšana

Apskatīt video Khan Academy platformā: Change in centripetal acceleration from change in linear velocity and radius: Worked examples

Transkripts:

Rādīt subtitrus:

00:00

- [Instruktors] Mums ir teikts, ka autofurgons brauc pa

00:02

riņķveida trajektoriju ar rādiusu r un lineāro ātrumu v.

00:06

Otrā līkumā, kuram ir tāds pats rādiuss,

00:09

furgona lineārais ātrums ir 1/3 v.

00:13

Lineāro ātrumu var uzskatīt par

00:15

lineārā ātruma vektora moduli.

00:17

Kā mainās furgona centrtieces paātrinājuma modulis,

00:21

pēc tam, kad lineārais ātrums samazinās?

00:24

Apturi šo video un pamēģini to izrēķināt

00:27

pats, un es došu nelielu mājienu.

00:29

Mēs zinām, ka centrtieces paātrinājuma modulis

00:31

vispārīgā gadījumā ir vienāds ar lineāro ātrumu kvadrātā,

00:35

dalītu ar rādiusu.

00:37

Līkuma rādiusu.

00:40

Labi, tagad rēķināsim kopā.

00:42

Vispirms apskatīsim pirmo līkumu.

00:44

Tātad pirmajā līkumā mūsu centrtieces

00:48

paātrinājuma moduli apzīmēsim ar indeksu

00:51

'viens', kas attiecas uz pirmo līkumu.

00:54

Mums ir teikts, ka mūsu lineārais ātrums ir v.

00:55

Tātad mums ir v^2, dalīts ar līkuma rādiusu r.

01:00

Tas būs vienkārši v^2 / r

01:02

pirmajam līkumam.

01:03

Mūsu centrtieces paātrinājuma modulis.

01:05

Tagad, kā ar otro līkumu?

01:07

Mūsu centrtieces paātrinājuma modulis

01:09

otrajā līkumā, to apzīmē šis divnieks,

01:13

būs vienāds ar,

01:15

mums saka, ka lineārais ātrums tagad ir 1/3 v.

01:18

skaitītājā mēs to kāpināsim kvadrātā,

01:20

(1/3 v)^2, un tas viss dalīts ar

01:23

līkumu, kuram ir tāds pats rādiuss.

01:25

Tātad rādiuss joprojām ir r.

01:27

Nedaudz algebriski vienkāršosim.

01:29

1/3 v reiz 1/3 v būs

01:32

1/9 v^2.

01:34

Tātad tas būs (1/9 v^2) / r.

01:40

Viss, ko es izdarīju, ir kāpināju kvadrātā šo skaitītāju.

01:41

Vai arī es varētu to uzrakstīt kā 1/9 * (v^2 / r).

01:49

Iemesls, kāpēc es to uzrakstīju zaļā krāsā, ir tāds, ka

01:51

šis ir tieši tas pats, kas šis.

01:52

Un tas būs vienāds ar,

01:55

tas ir vienāds ar 1/9 reiz, un tā vietā, lai rakstītu

01:58

v^2 / r, es varētu teikt, ka tas ir

02:01

mūsu centrtieces paātrinājuma modulis

02:03

pirmajā līkumā.

02:05

Mūsu centrtieces paātrinājuma modulis

02:07

pirmajā līkumā.

02:08

Tātad, kā mainās furgona centrtieces

02:11

paātrinājuma modulis pēc tam, kad lineārais ātrums samazinās?

02:14

Nu, otrajā līkumā

02:15

mums ir 1/9 no centrtieces paātrinājuma moduļa.

02:19

Mēs varētu teikt, ka modulis,

02:23

vai arī es varētu vienkārši teikt, mums jau jautāja,

02:25

kā mainās modulis,

02:27

tāpēc mēs varam teikt, ka tas samazinās,

02:29

samazinās

02:35

deviņas reizes.

02:38

Un es to uzrakstīju šādi.

02:39

Varētu teikt, ka tas tika reizināts ar 1/9,

02:42

vai arī varētu teikt, ka tas samazinās 9 reizes,

02:45

jo Khan Academy uzdevumos,

02:47

kas saistīti ar šo tēmu, tiek lietoti šādi formulējumi.

02:49

Apskatīsim vēl vienu piemēru.

02:54

Šeit mums teikts, ka tēvs griež savu meitu

02:57

pa apli ar rādiusu r un leņķisko ātrumu omega.

03:01

Tad tēvs izstiepj rokas un griež viņu

03:04

pa apli ar rādiusu 2r, ar tādu pašu leņķisko ātrumu.

03:09

Kā mainās bērna centrtieces

03:12

paātrinājuma modulis, kad tēvs izstiepj rokas?

03:17

Vēlreiz apturi šo video un pamēģini,

03:19

vai vari to izrēķināt.

03:21

Galvenais ir saprast, un mēs to ieguvām

03:26

kādā iepriekšējā video, ka

03:29

centrtieces paātrinājuma modulis ir vienāds ar r reiz

03:34

mūsu leņķisko ātrumu kvadrātā.

03:38

Sākotnēji mūsu centrtieces

03:41

paātrinājuma modulis, es to apzīmēšu ar a ar indeksu 'i'.

03:45

Tas būs vienāds ar – viņi izmanto

03:48

to pašu apzīmējumu.

03:49

Mūsu leņķiskais ātrums ir omega.

03:51

Un mūsu rādiuss ir r.

03:52

Tātad tas būs vienkārši rω^2.

03:55

Un tad, kad tēvs

03:58

izstiepj rokas.

04:00

Tad centrtieces

04:03

paātrinājuma modulis, es varētu teikt beigu, vai

04:06

es vienkārši teikšu beigu, ar indeksu 'f'.

04:07

Ar ko tas būs vienāds?

04:10

Nu, tagad mūsu rādiuss, mūsu apļa rādiuss ir 2r.

04:15

Tātad tas būs 2r,

04:17

un ir teikts, ka leņķiskais ātrums ir tāds pats.

04:19

Tātad mūsu leņķiskais ātrums joprojām ir omega.

04:22

2rω^2.

04:25

Nu, šī daļa šeit, rω^2,

04:29

tas bija mūsu sākuma

04:32

centrtieces paātrinājuma modulis.

04:33

Tas bija mūsu sākuma

04:35

centrtieces paātrinājuma modulis.

04:37

Un tu redzi, ka mūsu

04:40

centrtieces paātrinājuma modulis ir palielinājies 2 reizes.

04:45

Palielinājies

04:52

divas reizes.

04:54

Un esam to paveikuši.

centrtieces paātrinājums(centripetal acceleration)

lineārais ātrums(linear speed (linear velocity))

rotācijas kustība(rotational motion)

Kopsavilkums

Šajā video ir paskaidrots, kā mainās centripetālā paātrinājuma lielums, mainoties lineārajam ātrumam un rādiusam, kamēr citi mainīgie paliek nemainīgi. Tajā tiek izmantoti divi praktiski teksta uzdevumi, lai demonstrētu ar riņķa kustību saistītu fizikas formulu pielietojumu.

Atslēgvārdi un tēmas

Centripetālais paātrinājums
Riņķa kustība / Kustība pa riņķa līniju
Lineārais ātrums
Leņķiskais ātrums (Omega, ω)
Rādiuss (r)
Fizikas formulas
Proporcionālā spriešana
Kinemātika

Darbības un piemēri

Video soli pa solim parāda, kā atrisināt divus atšķirīgus uzdevumus, kas saistīti ar centripetālo paātrinājumu:

1. piemērs: Autofurgons uz apļveida līkuma (mainīgs lineārais ātrums)
- Scenārijs: Autofurgons brauc pa apļveida līkumu ar rādiusu r un lineāro ātrumu v. Pēc tam tas brauc pa otru tāda paša rādiusa līkumu, bet ar jaunu lineāro ātrumu 1/3 v.
- Jautājums: Kā mainās autofurgona centripetālā paātrinājuma lielums?
- Metode: Instruktors izmanto centripetālā paātrinājuma formulu: a = v²/r.
- Secinājums: Salīdzinot sākotnējo paātrinājumu (v²/r) ar gala paātrinājumu ((1/3 v)²/r), tiek parādīts, ka paātrinājums samazinās deviņas reizes.
2. piemērs: Tēvs griež meitu (mainīgs rādiuss)
- Scenārijs: Tēvs griež meitu pa apli ar rādiusu r un leņķisko ātrumu ω. Pēc tam viņš izstiepj rokas, palielinot rādiusu līdz 2r, bet saglabājot to pašu leņķisko ātrumu.
- Jautājums: Kā mainās bērna centripetālā paātrinājuma lielums?
- Metode: Instruktors izmanto alternatīvo centripetālā paātrinājuma formulu: a = rω².
- Secinājums: Salīdzinot sākotnējo paātrinājumu (rω²) ar gala paātrinājumu ((2r)ω²), tiek parādīts, ka paātrinājums palielinās divas reizes.

Eksperta komentārs

Video aplūkoti divu uzdevumu detalizētie atrisinājumi.

Uzdevums 1. Furgons brauc pa apļveida līkumu, kura rādiuss ir $𝑟$ , ar lineāro ātrumu $𝑣$ . Otrā līkumā, kuram ir tāds pats rādiuss, furgona lineārais ātrums jau ir $1/3𝑣$ . Kā mainās furgona centrtieces paātrinājums, samazinoties lineārajam ātrumam?

Uzdevums 2. Tēvs griež savu meitu pa apli ar rādiusu $r$ , nodrošinot leņķisko ātrumu $\omega$ . Tad tēvs izstiepj rokas un griež viņu pa apli ar rādiusu $2r$ , saglabājot to pašu leņķisko ātrumu. Kā mainās meitas centrtieces paātrinājuma vērtība, kad tēvs izstiepj rokas?

Jēdzieni: lineārais ātrums, rādiuss, centrtieces paātrinājums, leņķiskais ātrums.

Mācību literatūrā latviešu valodā leņķa apzīmēšanai parasti izmanto grieķu burtu $φ$ (“fī”), nevis $θ$ (“tēta”), kā video. Leņķisko paātrinājumu parasti apzīmē ar grieķu burtu $ε$ (“epsilons”), nevis $α$ (“alfa”), kā video.