Centrtieces paātrinājuma atkarība no lineāra ātruma un rādiusa: uzdevumu risināšana

Apskatīt video Khan Academy platformā: Khan AcademyChange in centripetal acceleration from change in linear velocity and radius: Worked examples

Transkripts:
00:00
- [Instruktors] Mums ir teikts, ka autofurgons brauc pa
00:02
apļveida līkumu ar rādiusu r un lineāro ātrumu v.
00:06
Otrajā līkumā ar tādu pašu rādiusu,
00:09
furgona lineārais ātrums ir 1/3 v.
00:13
Un tu vari uzskatīt lineāro ātrumu par
00:15
sava lineārā ātruma vektora moduli.
00:17
Kā furgona centrtieces paātrinājuma modulis
00:21
mainās pēc tam, kad samazinās lineārais ātrums?
00:24
Apturi šo video un pamēģini to izrēķināt
00:27
pats, un es došu nelielu mājienu.
00:29
Mēs zinām, ka centrtieces paātrinājuma modulis
00:31
vispārīgā gadījumā ir vienāds ar lineāro ātrumu kvadrātā,
00:35
dalītu ar rādiusu.
00:37
Līkuma rādiusu.
00:40
Labi, tagad atrisināsim to kopā.
00:42
Vispirms padomāsim par pirmo līkumu.
00:44
Pirmajā līkumā mūsu centrtieces
00:48
paātrinājums pirmajam līkumam, es pievienošu apakšējo indeksu
00:51
viens šeit, tas ir par pirmo līkumu.
00:54
Mums ir teikts, ka mūsu lineārais ātrums ir v.
00:55
Mums ir v kvadrātā, dalīts ar, un šī līkuma rādiuss ir r.
01:00
Tas būs vienkārši v kvadrātā dalīts ar r
01:02
šim pirmajam līkumam.
01:03
Mūsu centrtieces paātrinājuma modulis.
01:05
Un kā ar otro līkumu?
01:07
Mūsu centrtieces paātrinājuma modulis
01:09
otrajā līkumā, to apzīmē šis divnieks,
01:13
būs vienāds ar,
01:15
mums saka, ka tagad lineārais ātrums ir 1/3 v.
01:18
Skaitītājā mēs to celsim kvadrātā,
01:20
(1/3 v) kvadrātā, tas viss dalīts ar
01:23
līkuma rādiusu, kas ir tāds pats.
01:25
Tātad mūsu rādiuss joprojām ir r.
01:27
Veiksim nelielu algebrisku vienkāršošanu.
01:29
1/3 v reiz 1/3 v būs
01:32
1/9 v kvadrātā.
01:34
Tātad būs 1/9 v kvadrātā dalīts ar r.
01:40
Viss, ko es izdarīju, ir kāpināju kvadrātā šo skaitītāju.
01:41
Vai arī es varētu to rakstīt kā 1/9 reiz v kvadrātā dalīts ar r.
01:49
Iemesls, kādēļ es to uzrakstīju zaļā krāsā, ir tas, ka
01:51
šis ir tieši tas pats, kas šis.
01:52
Un tas būs vienāds ar,
01:55
tas ir vienāds ar 1/9 reiz, un tā vietā, lai rakstītu
01:58
v kvadrātā dalīts ar r, es varu teikt, ka tas ir
02:01
mūsu centrtieces paātrinājuma modulis
02:03
pirmajā līkumā.
02:05
Mūsu centrtieces paātrinājuma modulis
02:07
pirmajā līkumā.
02:08
Tātad, kā furgona centrtieces
02:11
paātrinājuma modulis mainās pēc lineārā ātruma samazināšanās?
02:14
Otrajā līkumā
02:15
mums ir 1/9 no centrtieces paātrinājuma moduļa.
02:19
Tātad mēs varam teikt, ka modulis,
02:23
vai arī es varētu vienkārši teikt, jo mums jau jautāja,
02:25
kā modulis mainās,
02:27
mēs varam teikt, ka samazinās,
02:29
samazinās
02:35
9 reizes.
02:38
Un es to uzrakstīju šādi.
02:39
Varētu teikt, ka tas tika reizināts ar reizinātāju 1/9,
02:42
vai varētu teikt, ka samazinās 9 reizes,
02:45
jo Khan Academy uzdevumos,
02:47
kas saistīti ar šo, tiek lietots šāds formulējums.
02:49
Apskatīsim vēl vienu piemēru.
02:54
Šeit mums teikts, ka tēvs griež savu meitu
02:57
pa apli ar rādiusu r un leņķisko ātrumu omega.
03:01
Tad tēvs izstiepj rokas un griež viņu
03:04
pa apli ar rādiusu 2r ar tādu pašu leņķisko ātrumu.
03:09
Kā bērna centrtieces paātrinājuma
03:12
modulis mainās, kad tēvs izstiepj rokas?
03:17
Vēlreiz apturi šo video un pamēģini
03:19
to izrēķināt.
03:21
Galvenā atziņa šeit, un to mēs atvasinājām
03:26
kādā citā video, ir sapratne, ka
03:29
centrtieces paātrinājuma modulis ir vienāds ar r reiz
03:34
mūsu leņķiskais ātrums kvadrātā.
03:38
Sākotnēji mūsu centrtieces
03:41
paātrinājuma modulis, es to apzīmēšu ar apakšindeksu i.
03:45
Tas būs vienāds ar, viņi izmanto
03:48
tos pašus apzīmējumus.
03:49
Mūsu leņķiskais ātrums ir omega.
03:51
Un mūsu rādiuss ir r.
03:52
Tas būs vienkārši r omega kvadrātā.
03:55
Un tad, ja domājam par tēvu,
03:58
viņš izstiepj rokas.
04:00
Tad tava centrtieces
04:03
paātrinājuma modulis, es varētu teikt, beigu vai izstieptais, vai
04:06
es vienkārši teikšu beigu, ar apakšindeksu f.
04:07
Ar ko tas būs vienāds?
04:10
Tagad mūsu rādiuss, apļa rādiuss ir 2r.
04:15
Tas būs 2r
04:17
un ir teikts, ka ar tādu pašu leņķisko ātrumu.
04:19
Tātad mūsu leņķiskais ātrums joprojām ir omega.
04:22
2r omega kvadrātā.
04:25
Šī daļa šeit, r omega kvadrātā,
04:29
tas bija tieši mūsu sākotnējais
04:32
centrtieces paātrinājuma modulis.
04:33
Tas bija mūsu sākotnējais
04:35
centrtieces paātrinājuma modulis.
04:37
Un tu redzi, ka mūsu
04:40
centrtieces paātrinājuma modulis ir palielinājies divas reizes.
04:45
Palielinājās, palielinājās
04:52
divas reizes.
04:54
Un esam pabeiguši.

Kopsavilkums

Šajā video ir paskaidrots, kā mainās centripetālā paātrinājuma lielums, mainoties lineārajam ātrumam un rādiusam, kamēr citi mainīgie paliek nemainīgi. Tajā tiek izmantoti divi praktiski teksta uzdevumi, lai demonstrētu ar riņķa kustību saistītu fizikas formulu pielietojumu.

Atslēgvārdi un tēmas

  • Centripetālais paātrinājums
  • Riņķa kustība / Kustība pa riņķa līniju
  • Lineārais ātrums
  • Leņķiskais ātrums (Omega, ω)
  • Rādiuss (r)
  • Fizikas formulas
  • Proporcionālā spriešana
  • Kinemātika

Darbības un piemēri

Video soli pa solim parāda, kā atrisināt divus atšķirīgus uzdevumus, kas saistīti ar centripetālo paātrinājumu:

  1. 1. piemērs: Autofurgons uz apļveida līkuma (mainīgs lineārais ātrums)

    • Scenārijs: Autofurgons brauc pa apļveida līkumu ar rādiusu r un lineāro ātrumu v. Pēc tam tas brauc pa otru tāda paša rādiusa līkumu, bet ar jaunu lineāro ātrumu 1/3 v.
    • Jautājums: Kā mainās autofurgona centripetālā paātrinājuma lielums?
    • Metode: Instruktors izmanto centripetālā paātrinājuma formulu: a = v²/r.
    • Secinājums: Salīdzinot sākotnējo paātrinājumu (v²/r) ar gala paātrinājumu ((1/3 v)²/r), tiek parādīts, ka paātrinājums samazinās deviņas reizes.

  2. 2. piemērs: Tēvs griež meitu (mainīgs rādiuss)

    • Scenārijs: Tēvs griež meitu pa apli ar rādiusu r un leņķisko ātrumu ω. Pēc tam viņš izstiepj rokas, palielinot rādiusu līdz 2r, bet saglabājot to pašu leņķisko ātrumu.
    • Jautājums: Kā mainās bērna centripetālā paātrinājuma lielums?
    • Metode: Instruktors izmanto alternatīvo centripetālā paātrinājuma formulu: a = rω².
    • Secinājums: Salīdzinot sākotnējo paātrinājumu (rω²) ar gala paātrinājumu ((2r)ω²), tiek parādīts, ka paātrinājums palielinās divas reizes.