Vektoru vizualizācija divās dimensijās
Apskatīt video Khan Academy platformā: 
Visualizing vectors in 2 dimensions
Transkripts:
00:00
- [Aizkadra balss] Visi uzdevumi,
00:01
ko līdz šim esam risinājuši,
00:02
pamatā ir bijuši vienā dimensijā.
00:06
Varēja kustēties uz priekšu vai atpakaļ.
00:08
Tātad varēja kustēties uz priekšu vai atpakaļ.
00:10
Vai pa labi, vai pa kreisi.
00:11
Vai arī varēja kustēties augšup vai lejup.
00:14
Šajā video es gribu sākt runāt par to,
00:16
kas notiek, kad mēs to paplašinām uz divām dimensijām,
00:19
vai pat varam paplašināt to, ko darām šajā video,
00:21
uz trīs vai četrām, patiesībā uz jebkādu dimensiju skaitu.
00:24
Lai gan, ja runa ir par klasisko mehāniku,
00:26
parasti nav jāiet tālāk par trim dimensijām.
00:29
Un, ja strādā ar vairāk nekā vienu dimensiju,
00:32
īpaši ar divām dimensijām,
00:33
mēs strādāsim arī ar divdimensiju vektoriem.
00:35
Un šajā video es gribu pārliecināties,
00:37
ka mēs saprotam vismaz pamatus
00:39
par divdimensiju vektoriem.
00:40
Atceries, ka vektors ir kaut kas,
00:42
kam ir gan modulis, gan virziens.
00:44
Pirmā lieta, ko es gribu izdarīt,
00:46
ir sniegt vizuālu izpratni
00:47
par to, kā divdimensiju vektori saskaitās.
00:50
Pieņemsim, ka man šeit ir vektors.
00:54
Tas ir vektors A.
00:57
Vēlreiz, tā moduli nosaka
00:59
šīs bultas garums.
01:01
Un tā virzienu nosaka
01:03
bultas virziens.
01:05
Tas iet šajā virzienā.
01:06
Tagad pieņemsim, ka man ir cits vektors.
01:08
Nosauksim to par vektoru B.
01:10
Nosauksim to par vektoru B.
01:12
Tas izskatās šādi.
01:14
Tagad šajā video es gribu
01:15
padomāt, kas notiek, kad es saskaitu
01:17
vektoru A ar vektoru B.
01:19
Ir pāris lietas, par ko padomāt,
01:21
kad tu vizuāli attēlo vektorus.
01:23
Svarīgi ir, piemēram, vektoram A,
01:25
pareizi attēlot garumu
01:27
un pareizi attēlot virzienu.
01:28
Kur tu to zīmē, nav svarīgi.
01:30
Šis varētu būt vektors A.
01:32
Arī šis varētu būt vektors A.
01:34
Ievēro, tam ir tāds pats garums
01:35
un tāds pats virziens.
01:37
Šis arī ir vektors A.
01:38
Es varētu uzzīmēt vektoru A šeit augšā. Tam nav nozīmes.
01:40
Es varētu uzzīmēt vektoru A tur augšā.
01:42
Es varētu uzzīmēt vektoru B.
01:44
Es varētu uzzīmēt vektoru B šeit.
01:47
Tas joprojām ir vektors B.
01:48
Tam joprojām ir tas pats modulis un virziens.
01:50
Ievēro, mēs nesakām,
01:52
ka tā sākumam jābūt tajā pašā vietā,
01:54
kur sākas vektora A sākums.
01:56
Es varētu uzzīmēt vektoru B šeit.
01:58
Tātad man vienmēr var būt tas pats vektors,
02:00
bet es varu to pārbīdīt.
02:02
Es varu to pārvietot uz turieni.
02:03
Kamēr tam ir tas pats modulis, tas pats garums
02:05
un tas pats virziens.
02:08
Un iemesls, kāpēc es to daru,
02:09
ir tas, ka veids, kā vizuāli saskaitīt vektorus...
02:11
Ja es gribētu saskaitīt vektoru A
02:17
ar vektoru B...
02:20
Un es parādīšu, kā to izdarīt analītiskāk
02:22
kādā citā video.
02:24
Es varu burtiski uzzīmēt vektoru A.
02:28
Es zīmēju vektoru A.
02:29
Tas ir vektors A, tieši šeit.
02:31
Un tad es varu uzzīmēt vektoru B,
02:33
bet es pielieku vektora B sākumu pie vektora A beigām.
02:37
Es pārbīdu vektoru B tā,
02:39
lai tā sākums būtu tieši pie vektora A beigām.
02:42
Un tad vektors B izskatītos apmēram šādi.
02:46
Tas izskatītos apmēram šādi.
02:47
Un tad, ja tu ej no A sākuma
02:51
līdz pat B beigām,
02:54
līdz pat B beigām,
02:55
un nosauc to par vektoru C,
02:59
tas ir A un B summa.
03:05
Un tam vajadzētu būt loģiskam, ja par to padomā.
03:07
Pieņemsim, ka tie bija pārvietojuma vektori.
03:10
A parāda, ka tu tiec pārvietots
03:12
par šādu attālumu šajā virzienā.
03:14
B parāda, ka tu tiec pārvietots
03:15
par šādu attālumu šajā virzienā.
03:18
Tātad B garums šajā virzienā.
03:20
Un, ja es teiktu, ka tev ir pārvietojums A,
03:22
un tad tev ir pārvietojums B,
03:24
kāds ir tavs kopējais pārvietojums?
03:26
Tad tev būtu bijis jābūt,
03:28
manuprāt, pārvietotam tik tālu šajā virzienā,
03:30
un tad tu tiktu pārvietots tik tālu šajā virzienā.
03:33
Tātad kopējais attālums, par kuru tu esi pārvietots,
03:35
ir šis attālums šajā virzienā.
03:37
Tāpēc šis būtu to summa.
03:40
Tagad mēs varam izmantot to pašu ideju,
03:42
lai sadalītu jebkuru divdimensiju vektoru
03:45
tā, varētu teikt, komponentēs.
03:48
Un es došu labāku izpratni
03:49
par to, ko tas nozīmē, pēc brīža.
03:51
Ja man ir vektors A.
03:54
Ļauj man izvēlēties jaunu burtu.
03:56
Nosauksim šo vektoru par "vektoru X".
04:00
Nosauksim to par "vektoru X".
04:03
Es varu teikt, ka vektors X būs summa
04:09
šim vektoram šeit, zaļajā krāsā,
04:11
un šim vektoram šeit, fuksiju krāsā.
04:16
Ievēro, X sākas pie zaļā vektora sākuma
04:19
un iet līdz pat fuksiju krāsas vektora beigām.
04:22
Un fuksiju krāsas vektors sākas
04:24
pie zaļā vektora beigām
04:25
un tad beidzas, es domāju,
04:27
tur, kur tas beidzas, beidzas arī vektors X.
04:30
Un iemesls, kāpēc es to daru...
04:32
Un, zini, cerams, no šī
04:35
salīdzinošā paskaidrojuma šeit
04:36
izriet, ka, lūk, zaļais vektors plus fuksiju krāsas vektors
04:38
dod mums šo X vektoru.
04:40
Tam vajadzētu būt loģiskam.
04:41
Es pieliku zaļā vektora beigas
04:44
pie šī fuksiju krāsas vektora sākuma tieši šeit.
04:48
Bet iemesls, kāpēc es to darīju, ir,
04:50
ja es varu izteikt X kā šo divu vektoru summu,
04:53
tas sadala X tā vertikālajā komponentē
04:56
un tā horizontālajā komponentē.
04:59
Es varētu šo saukt
05:04
par horizontālo komponenti,
05:06
vai, pareizāk sakot, vertikālo komponenti.
05:08
X vertikālā.
05:10
Un tad es varētu šo šeit saukt
05:13
par X horizontālo.
05:15
Vai cits veids, kā es to varētu zīmēt,
05:16
es varētu pārbīdīt šo X vertikālo.
05:18
Atceries, nav svarīgi, kur es to zīmēju,
05:20
kamēr tam ir tas pats modulis un virziens.
05:22
Un es varētu to uzzīmēt šādi.
05:24
X vertikālā.
05:25
Un tas, ko tu redzi, ir,
05:26
ka tu vari izteikt šo vektoru X...
05:31
Ļauj man to izdarīt tajās pašās krāsās.
05:32
Tu vari izteikt šo vektoru X
05:34
kā tā horizontālās un vertikālās komponentes summu.
05:38
Kā tā horizontālās un vertikālās komponentes summu.
05:43
Tagad mēs redzēsim atkal un atkal,
05:45
ka tas ir ļoti spēcīgi,
05:47
jo tas ļauj
05:49
pārvērst divdimensiju uzdevumu
05:50
divos atsevišķos viendimensijas uzdevumos,
05:53
vienu, kas darbojas horizontālā virzienā,
05:54
otru, kas darbojas vertikālā virzienā.
05:57
Tagad apskatīsim to nedaudz matemātiskāk.
05:59
Es tikko stāstīju par garumu un visu to.
06:01
Bet tagad faktiski sadalīsim...
06:02
Ļauj man parādīt, ko tas nozīmē,
06:04
sadalīt vektora komponentes.
06:08
Pieņemsim, ka man ir vektors, kas izskatās šādi.
06:13
Mēģināšu, cik labi vien varu...
06:15
Pieņemsim, ka man ir vektors, kas izskatās šādi.
06:19
Tā garums ir 5.
06:21
Nosauksim šo par vektoru A.
06:25
Tātad vektora A garums ir vienāds ar 5.
06:31
Un pieņemsim, ka tā virziens...
06:33
Mēs noteiksim tā virzienu ar leņķi
06:35
starp virzienu, kurā tas rāda,
06:38
un pozitīvo X asi.
06:40
Varbūt es uzzīmēšu asis šeit.
06:42
Pieņemsim, ka šī šeit
06:44
ir pozitīvā Y ass, kas iet vertikālā virzienā.
06:47
Šī šeit ir pozitīvā X ass,
06:49
kas iet horizontālā virzienā.
06:51
Un, lai noteiktu šī vektora virzienu,
06:54
es došu šo leņķi tieši šeit.
06:57
Un es došu ļoti īpatnēju leņķi,
06:58
bet es to izvēlējos ar konkrētu mērķi,
07:00
lai beigās viss smuki sanāktu.
07:03
Un es to došu grādos.
07:05
Tas ir 36,8699 grādi.
07:11
Es izvēlos šo konkrēto skaitli
07:13
konkrēta iemesla dēļ.
07:15
Tagad es gribu izrēķināt
07:17
šī vektora horizontālo un vertikālo komponenti.
07:21
Es gribu to sadalīt
07:22
kaut kam, kas iet taisni uz augšu vai leju,
07:25
un kaut kam, kas iet taisni pa labi vai pa kreisi.
07:27
Kā man to izdarīt?
07:29
Pirmkārt, es varētu tos vienkārši uzzīmēt vizuāli,
07:31
lai redzētu, kā tie izskatās.
07:32
Tā vertikālā komponente izskatītos šādi.
07:36
Tā sāktos...
07:38
Tā vertikālā komponente izskatītos šādi.
07:41
Un tā horizontālā komponente izskatītos šādi.
07:44
Tā horizontālā komponente izskatītos šādi.
07:46
Horizontālā komponente, kā es to uzzīmēju,
07:48
sāktos tur, kur sākas vektors A,
07:50
un ietu tik tālu X virzienā kā vektora A gals,
07:54
bet tikai X virzienā,
07:56
un tad, lai nokļūtu atpakaļ pie vektora A beigām,
07:59
ir nepieciešama tā vertikālā komponente.
08:01
Un mēs dažreiz to varam saukt,
08:03
mēs varētu saukt vertikālo komponenti šeit par A ar indeksu Y,
08:05
tāpēc, ka tā kustas Y virzienā.
08:08
Un mēs varam saukt šo horizontālo komponenti par A ar indeksu X.
08:12
Tagad es gribu izrēķināt
08:14
A ar indeksu Y un A ar indeksu X moduli.
08:18
Kā mēs to darām?
08:20
Nu, tā, kā mēs to zīmējām,
08:21
es būtībā esmu izveidojis mums taisnleņķa trijstūri.
08:23
Šis ir taisnleņķa trijstūris.
08:25
Mēs zinām šī trijstūra garumu,
08:27
vai šīs malas garumu, vai hipotenūzas garumu.
08:31
Tas būs vektora A modulis.
08:33
Un vektora A modulis ir vienāds ar 5.
08:37
To mēs jau zinājām no iepriekšējā.
08:39
Kā mēs aprēķinām malas?
08:41
Mēs varētu izmantot nedaudz pamata trigonometrijas.
08:44
Ja mēs zinām leņķi un hipotenūzu,
08:46
kā mēs aprēķinām leņķim pretējo malu?
08:50
Šī šeit,
08:51
šī šeit ir leņķim pretējā mala.
08:55
Un, ja esam aizmirsuši nedaudz no pamata trigonometrijas,
08:57
mēs varam to atkārtot tieši tagad.
09:00
Soh-cah-toa.
09:03
Sinuss ir pretkatete dalīts ar hipotenūzu.
09:05
Kosinuss ir piekatete dalīts ar hipotenūzu.
09:07
Tangenss ir pretkatete dalīts ar piekateti.
09:10
Mums ir leņķis, mēs gribam pretkateti,
09:14
un mums ir hipotenūza.
09:16
Mēs varam teikt,
09:18
ka mūsu leņķa sinuss,
09:22
sinuss no
09:24
36,899 grādiem,
09:29
būs vienāds ar pretkateti dalītu ar hipotenūzu.
09:32
Leņķa pretējā mala
09:34
ir mūsu Y komponentes modulis.
09:37
...būs vienāds ar mūsu Y komponentes moduli,
09:42
mūsu Y komponentes moduli,
09:44
dalītu ar hipotenūzas moduli,
09:46
dalītu ar šo garumu šeit,
09:48
par kuru mēs zinām, ka tas ir 5.
09:51
Vai, ja abas puses reizina ar 5,
09:53
tu iegūsti 5 reiz sinuss
09:55
no 36,899 grādiem,
09:59
ir vienāds ar vertikālās komponentes moduli
10:06
mūsu vektoram A.
10:08
Tagad, pirms es izņemu kalkulatoru
10:10
un izrēķinu, cik tas ir,
10:11
ļaujiet man izdarīt to pašu ar horizontālo komponenti.
10:14
Šeit mēs zinām, ka šī mala ir leņķa piekatete.
10:18
Un mēs zinām hipotenūzu.
10:20
Un kosinuss ir saistīts ar piekateti un hipotenūzu.
10:24
Mēs zinām, ka kosinuss no 36,899 grādiem
10:29
ir vienāds ar...
10:31
Kosinuss ir piekatete dalīts ar hipotenūzu.
10:33
Tas ir vienāds ar mūsu X komponentes moduli
10:38
dalītu ar hipotenūzu.
10:39
Hipotenūzai šeit ir...
10:41
Vai hipotenūzas modulis, pareizāk sakot,
10:43
kuras garums ir 5.
10:45
Vēlreiz, mēs reizinām abas puses ar 5,
10:47
un iegūstam 5 reiz kosinuss no 36,899 grādiem
10:53
ir vienāds ar mūsu X komponentes moduli.
10:58
Izrēķināsim, cik tie ir.
11:00
Ļauj man paņemt kalkulatoru.
11:02
Ļauj man paņemt manu uzticamo TI-85.
11:05
Gribu pārliecināties, ka tas ir grādu režīmā.
11:08
Ļauj man pārbaudīt.
11:09
Jā, mēs esam grādu režīmā tieši tur.
11:11
Negribu... Jāpārliecinās, ka neesam radiānu režīmā.
11:14
Tagad iziesim no tā.
11:15
Un mums ir vertikālā komponente, kas ir vienāda ar 5 reiz
11:20
sinuss no 36,899 grādiem,
11:27
kas ir, ja noapaļojam, apmēram 3.
11:31
Tātad tas ir vienāds ar...
11:33
Mūsu vertikālās komponentes modulis
11:36
ir vienāds ar 3.
11:39
Un tad darīsim to pašu
11:41
ar mūsu horizontālo komponenti.
11:45
Tagad mums ir 5 reiz
11:49
kosinuss no 36,899 grādiem,
11:54
ir, ja mēs to atkal noapaļojam, teiksim,
11:57
līdz simtdaļām, tad sanāk 4.
12:01
Tātad mēs iegūstam 4.
12:04
Mēs šeit redzam situāciju, kur mums ir...
12:07
Šis ir klasisks 3-4-5 Pitagora trijstūris.
12:11
Mūsu horizontālās komponentes modulis ir 4.
12:17
Mūsu vertikālās komponentes modulis, tieši šeit,
12:21
ir vienāds ar 3.
12:22
Un atkal, tu varētu teikt,
12:23
Sal, kāpēc mēs ar to visu ņemamies?
12:27
Un nākamajā video mēs redzēsim,
12:27
ka, ja mēs sakām, ka kaut kam ir ātrums
12:30
šajā virzienā 5 metri sekundē,
12:32
mēs to varam sadalīt divās ātruma komponentēs.
12:36
Mēs varētu teikt, ka tas kustas augšup
12:39
ar ātrumu 3 metri sekundē,
12:40
un tas kustas arī pa labi horizontālā virzienā
12:43
ar ātrumu 4 metri sekundē.
12:45
Un tas ļauj mums sadalīt uzdevumu
12:47
divos vienkāršākos uzdevumos,
12:48
divos viendimensijas uzdevumos,
12:50
nevis vienā lielā divdimensiju uzdevumā.
Eksperta komentārs
Video tiek izmantota trigonometrijas mnemonika soh-cah-toa, ko angļu valodā izmanto sin-cos-tan apzīmēšanai.