Vektoru diagramma (un tās pielietojumi)
Apskatīt video Khan Academy platformā: 
Phasor diagram (& its applications)
Transkripts:
00:00
Pieņemsim, ka mums ir kaut kāds maiņspriegums.
00:02
Mēs jau esam redzējuši, kā to vizualizēt.
00:04
Te tas ir vēlreiz — īsam atkārtojumam.
00:07
Mēs vizualizējam svārstības šādi.
00:10
Mēs iztēlojamies, ka spriegums svārstās starp +V₀ un
00:13
−V₀.
00:14
Tagad šajā video iepazīsim citu vizualizācijas veidu,
00:18
ko sauc par vektoru diagrammām. Redzēsim, kas tās ir un kāpēc
00:23
šī pieeja ir tik noderīga.
00:26
Lai saprastu vektoru diagrammas, iztēlojies, ka mums ir vektors, kas šobrīd guļ,
00:30
kura garums ir precīzi vienāds ar maiņsignāla maksimālo vērtību.
00:34
Mēs iztēlosimies, ka, signālam mainoties augšup un lejup,
00:37
kā redzējām animācijā, mūsu vektors patiesībā griežas šādi,
00:42
labi? Un mēs iztēlosimies, ka tas griežas ar konstantu ātrumu,
00:46
vienmērīgu leņķisko ātrumu, omega.
00:49
Ar to pašu leņķisko frekvenci, kas mums ir šeit.
00:52
Labi, kā mēs saistām šo rotējošo vektoru ar svārstībām šeit?
00:56
Vēl nedaudz iztēles. [iesmejas] Tāpēc iztēlosimies, ka te ir kāds gaismas avots
01:00
šeit — saule vai varbūt lukturītis, kas dod gaismu.
01:04
Un tu iztēlojies, ka te mums ir siena.
01:07
Un tagad ēna, ko šis vektors met uz sienas, attēlo šīs
01:12
svārstības.
01:14
Piemēram, tieši tagad tas ir pilnīgi horizontāls,
01:17
un tāpēc tas šeit nemet nekādu ēnu.
01:19
Un tāpēc tieši tagad V vērtība ir 0.
01:22
Bet nedaudz vēlāk mums ir kaut kāda V vērtība.
01:26
Svārstības ir sākušās, un mēs varam teikt, ka tas notiek, jo šis vektors
01:30
ir pagriezies par kādu leņķi, un rezultātā tas tagad met šo ēnu
01:35
šeit. Ēna atspoguļo V vērtību, svārstības.
01:39
Un vektoram turpinot griezties, tu vari redzēt, ka ēna kļūst lielāka,
01:43
tad tā kļūst mazāka, un, tam turpinoties, ēna turpinās
01:47
svārstīties, atspoguļojot šīs svārstības.
01:50
Man šeit ir animācija, kurā to var labāk redzēt.
01:54
Es nevarēju animācijā parādīt gaismu, tā... [iesmejas] Tev būs jāiztēlojas
01:57
gaisma pašam, bet tu vari redzēt, ka šī ir ēna, ko met šis rotējošais
02:00
vektors.
02:01
Bet tad esmu diezgan drošs, ka tavā prātā rodas daudz jautājumu.
02:03
Pirmkārt, kāpēc šo attēlojumu vispār sauc par vektoru diagrammu?
02:07
Kāpēc tas griežas pretēji pulksteņrādītāja virzienam, nevis pulksteņrādītāja virzienā?
02:10
Un, ē, kāpēc tas tā darbojas?
02:12
Kāpēc ēna tik precīzi atspoguļo svārstības
02:16
šādi? Kas šeit notiek?
02:18
Un visbeidzot, pat ja viss strādā, kāpēc man tas būtu svarīgi? [iesmejas]
02:21
Kāpēc man jāiztēlojas rotējošs vektors?
02:24
Labi, mēģināsim atbildēt uz visiem šiem jautājumiem.
02:26
Ņemsim šos jautājumus vienu pēc otra.
02:28
Kāpēc šo attēlojumu vispār sauc par vektoru diagrammu?
02:30
Nu, aplūkosim situāciju.
02:32
Teiksim, laikā t = 0 vektors guļ šādi,
02:35
un, tā kā tas šeit nemet nekādu ēnu, V vērtība ir 0.
02:39
Tagad teiksim, ka pēc laika t šī ir jauna situācija.
02:44
Tagad šajā laikā t vektors būtu pagriezies par kādu leņķi.
02:50
Un mans jautājums tev ir, kāds ir šis leņķis, par kuru tas ir pagriezies?
02:54
Nu, tas griežas ar leņķisko ātrumu omega; vienā sekundē
02:58
tas pagriežas par leņķi omega, tad t sekundēs tas pagriežas par leņķi omega t.
03:03
Šis leņķis šeit atspoguļo vai ir vienāds ar omega t.
03:08
Un omega t ir tas pats leņķis, kas parādās šajā izteiksmē.
03:12
Šo leņķi sauc par fāzes leņķi vai vienkārši fāzi.
03:18
Un, tā kā mūsu vektors palīdz mums viegli redzēt fāzes leņķi,
03:25
šo attēlojumu sauc par vektoru diagrammu.
03:28
Ir ļoti grūti skatīties uz grafiku un saprast, kāds ir fāzes leņķis.
03:33
Es domāju, ja tu vienkārši paskatītos uz šo grafiku, vai tu varētu pateikt, kāda ir vērtība
03:36
omega t?
03:37
Es domāju, protams, tu vari mēģināt uzminēt.
03:39
Tu varētu teikt, labi, tā kā V ir pozitīvs un V nav maksimāls,
03:43
varbūt omega t ir kaut kur starp 0 un 90.
03:45
To apmēram var redzēt.
03:47
Bet, kad tu skaties uz šo, tu vari uzreiz aprēķināt.
03:49
Ja tu varētu izmērīt šo leņķi, tu uzreiz varētu
03:52
redzēt, kāds ir fāzes leņķis, un tāpēc šo attēlojumu sauc par vektoru diagrammu.
03:55
Labi, otrkārt, kāpēc mēs uzskatām, ka tas griežas pretēji pulksteņrādītāja
03:59
virzienam? Kāpēc ne pulksteņrādītāja virzienā?
04:00
Tas vienkārši ir pieņemts kā standarts, jo vektoru diagrammas ir noderīgas arī matemātikā.
04:04
Un matemātikā, kā tu droši vien zini, koordinātu plaknē mēs sākam ar pirmo kvadrantu
04:08
šeit, tad otrais kvadrants, trešais un tad ceturtais.
04:12
Un arī, ja esi redzējis trigonometriju vai vienības riņķi,
04:15
tu varētu redzēt, ka, ak, pat tur mums patīk uzskatīt, ē,
04:19
rotāciju pretēji pulksteņrādītāja virzienam par pozitīvu.
04:20
Mums patīk izmantot to pašu konvenciju.
04:22
Labi, pāriesim pie trešā jautājuma — noslēpumainā jautājuma:
04:26
Kāpēc vektora mestā ēna precīzi sakrīt ar svārstībām?
04:30
Kāpēc tā notiek?
04:31
Nu, trigonometrija var palīdzēt mums uz to atbildēt.
04:33
Šī ēna būtībā atspoguļo vertikālo komponenti.
04:38
Kāds, tavuprāt, tagad ir šīs vertikālās komponentes garums?
04:42
Mums te ir leņķa vērtība, omega t.
04:44
Mēs zinām hipotenūzu šajā trijstūrī.
04:47
Vai vari nopauzēt video, izmantot trigonometriju un izdomāt, kāda ir vertikālā
04:49
komponente, un paskatīties, vai vari atbildēt uz savu jautājumu?
04:52
Labi, šajā taisnleņķa trijstūrī vertikālā mala atspoguļo pretkateti.
04:57
Un, tā kā es zinu hipotenūzu, es izmantošu sinusu.
05:02
sin(omega t) ir vienāds ar ēnas vai vertikālās komponentes garumu,
05:08
dalītu ar hipotenūzu, kas ir V nullīte.
05:12
Un no tā izriet, ka ēnas garums ir V₀ · sin(omega t),
05:16
kas ir tieši tās pašas svārstības.
05:18
Un tāpēc vektors, kura garums ir precīzi vienāds ar maksimālo vērtību un
05:23
kas griežas ar tādu pašu leņķisko ātrumu kā leņķiskā frekvence šeit,
05:27
met ēnu, kas precīzi sakrīt ar šī signāla svārstībām.
05:32
Labi, tagad pie pēdējā un galvenā jautājuma: kāpēc man tas būtu svarīgi?
05:36
Kāpēc man vajadzētu domāt par fāzes leņķa vizualizēšanu?
05:38
Kāda tam nozīme?
05:39
Vairāku iemeslu dēļ.
05:40
Pirmkārt, iedomājies šo.
05:41
Teiksim, ka šis ir spriegums uz kondensatora, un es tev tagad lūdzu
05:45
uzzīmēt grafiku strāvai, kas plūst caur kondensatoru.
05:49
Kā šis grafiks izskatītos?
05:51
Mēs jau iepriekš esam redzējuši, ka strāva caur kondensatoru fāzē apsteidz spriegumu uz kondensatora.
05:54
Es to zinu.
05:55
Bet vai ar to pietiek, lai uzzīmētu grafiku?
05:57
Protams, es varu, bet tas nav tik vienkārši.
06:00
Man par to ir patiešām rūpīgi jāpadomā, vai ne?
06:03
Un varbūt, pēc ilgas domāšanas, es to varu izdarīt.
06:06
Ja tu zīmēsi grafiku, izrādīsies, ka tas ir apmēram šāds.
06:09
Bet nav īpaši acīmredzami, ka grafiks izskatītos tieši tā.
06:12
Tas nav tik vienkārši.
06:14
Bet tagad es tev lūdzu uzzīmēt strāvas vektoru vektoru diagrammā.
06:17
Kā tu to darītu?
06:19
Hei, tas nemaz nav tik sarežģīti.
06:21
Es zinu, ka vektori griežas pretēji pulksteņrādītāja virzienam,
06:24
un es zinu, ka mana strāva par 90° apsteidz spriegumu.
06:30
Tikai no tā vien, vai tu vari mēģināt šeit uzzīmēt strāvas vektoru
06:36
vektoru diagrammā? Nopauzē un tad pamēģini.
06:39
Labi. Tā kā tas par 90° apsteidz spriegumu, mans strāvas vektors būs
06:44
90° no sprieguma pretēji pulksteņrādītāja virzienam,
06:48
tas izskatīsies apmēram šādi.
06:50
Šis būtu mans strāvas vektors, un tā garumam jābūt
06:55
vienādam ar maksimālo vērtību. Vektora garumam vienmēr jābūt vienādam ar maksimālo vērtību,
06:58
un šeit būtu 90°, lai strāvas fāze tagad būtu
07:03
omega t + pi / 2.
07:05
Vai nav daudz vieglāk to vizualizēt un daudz vieglāk uzzīmēt?
07:09
Labi, pamēģini vēl vienu.
07:10
Teiksim, šis vektors vektoru diagrammā attēlo strāvu caur induktoru.
07:15
Vai vari uzzīmēt sprieguma vektoru vektoru diagrammā šajā punktā?
07:17
Nopauzē un pamēģini.
07:18
Labi, induktoros, tu droši vien atceries, spriegums apsteidz strāvu par
07:22
90 grādu leņķi.
07:24
Kur mums tas būtu jāzīmē?
07:25
Paskatīsimies.
07:26
Vai es to varu zīmēt šeit?
07:29
Nu, nē. Atceries, lūk, kā tas griežas, tādējādi šis joprojām atspoguļo, ka strāva
07:33
apsteidz spriegumu.
07:34
Mēs gribam, lai spriegums apsteidz strāvu, tādēļ sprieguma vektoram jābūt priekšā, un tas būs
07:38
kaut kur šeit.
07:41
Saprotami?
07:42
Labi, ļauj man dot tev vēl vienu piemēru.
07:45
Paskaties uz šo grafiku.
07:47
Atkal, ja brūnais ir spriegums un rozā ir strāva,
07:50
vai tu vari pateikt, kāda ir fāžu attiecība starp tiem?
07:54
Nu, atkal, tu it kā vari pateikt, ka strāva nedaudz apsteidz spriegumu,
07:59
bet atkal, tas nav tik vienkārši.
08:01
Pat ja es skatītos uz animāciju un skatītos uz svārstībām,
08:05
Ak, tas ir vienkārši haoss.
08:06
Var redzēt, ka strāva it kā apsteidz spriegumu,
08:10
bet vai tu varētu pateikt, par cik lielu leņķi?
08:13
Nē, nav tik vienkārši.
08:14
Bet tagad ļauj man tev parādīt vektoru diagrammas.
08:17
Oho! Paskaties uz vektoru diagrammu.
08:19
Man animāciju vairs nevajag.
08:21
Es varu vienkārši paskatīties uz diagrammu un teikt: “Hei, strāva apsteidz spriegumu,
08:25
jo visi vektori griežas pretēji pulksteņrādītāja virzienam.”
08:28
Un ja es vienkārši izmērītu šo leņķi, bum!
08:31
Es iegūstu fāzes leņķi starp tiem abiem.
08:35
Vektoru diagrammas ir tiešām lieliskas, lai izprastu attiecību starp
08:39
strāvu un spriegumu, vai starp jebkurām divām svārstībām.
08:43
Bet zini ko?
08:44
Vektoru diagrammu īstā priekšrocība ir redzama ķēžu analīzē.
08:47
Lai gan mēs tās daudz apskatīsim turpmākajos video,
08:49
ļauj man tev sniegt īsu ieskatu, lai tu tiešām varētu novērtēt vektoru diagrammu pieeju.
08:53
Teiksim, man ir, ē, induktors,
08:56
kas slēgts virknē ar rezistoru, un es tev esmu iedevis sprieguma vērtības uz
09:00
tiem. Abi ir maiņspriegumi.
09:03
Mans jautājums tev ir: kāds ir kopējais spriegums starp A un B?
09:06
Kāda ir tā maksimālā vērtība?
09:07
Teiksim, es tikai vēlos atrast kopējā sprieguma maksimālo vērtību.
09:10
Kā tu to izdomāsi?
09:11
Nu, viens no veidiem ir tos vienkārši saskaitīt, vai ne?
09:14
Mēs saskaitām V_L + V_R, un tad mums tie jāvienkāršo, kas nozīmē, ka tev ir jāizmanto
09:17
trigonometriskās identitātes.
09:19
Ak, fuj!
09:20
Tā vietā izmantosim vektoru diagrammu pieeju.
09:22
Vispirms es varu uzzīmēt, teiksim, rezistora sprieguma vektoru.
09:26
Tu vari zīmēt vektoru jebkuram no tiem.
09:28
Tu vari zīmēt vektoru, kā vien vēlies, tikai pārliecinies, ka
09:31
vektora garums ir vienāds ar maksimālo vērtību.
09:33
Teiksim, esmu uzzīmējis vektoru, kas attēlo rezistora spriegumu.
09:37
Tagad induktora spriegums ir 4 sin(omega t + pi / 2).
09:41
Tas apsteidz rezistora spriegumu par pi / 2.
09:43
Viss, kas man ir jādara, ir jāpārliecinās, ka induktora spriegums par 90° apsteidz,
09:48
pretēji pulksteņrādītāja virzienam, atceries, tāpēc tas būs šādā virzienā, un tā garums būs maksimālā
09:53
vērtība, kas dota šeit.
09:55
Un tagad, tagad kopējo spriegumu var atrast, vienkārši saskaitot šos vektorus.
10:01
Un mēs zinām, kā saskaitīt vektorus.
10:03
Mēs varam izmantot paralelograma likumu, kas šeit kļūst par taisnstūri,
10:08
un diagonāle atspoguļo rezultējošo vektoru.
10:12
Un pēc Pitagora teorēmas, ja šis ir 3 un šis ir 4,
10:15
Pitagora skaitļu trijnieks: šis būs 5, un bum!
10:18
Tas nozīmē, ka rezultējošā sprieguma maksimālā vērtība ir 5.
10:22
Ieguvu to uzreiz.
10:24
Vai nav lieliski? Saki, saki man, vai tas nav lieliski.
10:27
Tagad, protams, es paņēmu šo piemēru tikai tāpēc, lai parādītu, cik noderīgas ir vektoru diagrammas.
10:31
Es negaidu, ka tu to visu uzreiz sapratīsi.
10:33
Mums būs jāpraktizējas, un mēs vēl praktizēsimies.
10:35
Neuztraucies. Īsi sakot, vektoru diagrammās izmanto rotējošus vektorus,
10:40
kuru garums ir precīzi vienāds ar maiņsprieguma vai maiņstrāvas maksimālo vērtību,
10:44
un tie griežas pretēji pulksteņrādītāja virzienam ar leņķisko ātrumu, kas ir precīzi
10:49
vienāds ar svārstību leņķisko frekvenci.
10:52
Vertikālā komponente vai vektora mestā ēna uz vertikālās sienas
10:57
attēlo svārstības, un vektoru diagrammas ir ļoti noderīgas, lai vizualizētu fāžu
11:02
attiecību starp strāvām un spriegumiem, kā arī tad, ja jāsaskaita
11:07
maiņstrāvas vai maiņspriegumi.
11:10
Īsi sakot, tās ir ļoti noderīgas.
Eksperta komentārs
Video tiek iepazīstināts ar sprieguma vektordiagammām kā grafisku paņēmienu maiņstrāvas ķēžu analīzei. Tiek parādīts, kā sinusoidālu maiņspriegumu (vai maiņstrāvu) var attēlot ar rotējošu "vektoru", kura projekcija raksturo momentāno vērtību. Izmantojot trigonometriju, tiek pamatota saistība starp vektora rotāciju un maiņsprieguma svārstībām.
Video piedāvātā vizualizācija ievērojami atvieglo fāzu nobīdes izpratni starp strāvu un spriegumu dažādos ķēdes elementos, piemēram, kondensatoros vai spolēs. Izmantojot "vektoru" saskaitīšanu, vektordiagrammas ļauj vienkārši veikt sarežģītus aprēķinus maiņstrāvas ķēdēs, izvairoties no smagnējām trigonometriskām formulām.
Piezīme par apzīmējumiem. Video izmantots apzīmējums V0 maksimālajai sprieguma vērtībai, savukārt mācību literatūrā latviešu valodā parasti lieto Um, bet strāvas maksimālai vērtībai — Im.