Kondensators maiņsprieguma ķēdē (izvedums)

Apskatīt video Khan Academy platformā: Khan AcademyAC voltage across a capacitor (derivation)

Transkripts:
00:00
Šajā video mēs pievienosim maiņsprieguma ģeneratoru
00:04
kondensatoram un noskaidrosim sakarību starp strāvu un spriegumu,
00:09
un beigās uzzīmēsim grafiku strāvai atkarībā no sprieguma.
00:15
Sāksim.
00:17
Viena lieta, ko precizēt – mēs iedomājamies, ka šai ķēdei ir tikai kapacitāte,
00:22
nekādas induktivitātes vai pretestības.
00:24
Un, lai gan tas nav gluži ideāli, tas ir labs veids, kā iemācīties, kā kondensatori uzvedas,
00:29
kad tiem pievada maiņspriegumu, un tas mums palīdzēs apgūt
00:33
reālistiskākas ķēdes, izmantojot šīs atziņas.
00:35
Labi, ar ko sāksim? Es gribu izteiksmi strāvai,
00:38
vai ne? Ar ko sāksim?
00:39
Pieņemsim, ka plūst strāva.
00:41
Kādā laika brīdī šajā virzienā plūst noteikta strāva,
00:45
un teiksim, ka ģeneratoram tajā brīdī
00:49
šeit ir pozitīvs spriegums un šeit negatīvs.
00:52
Tas nepārtraukti svārstās.
00:53
Kādā laika brīdī, pieņemsim, šeit ir pluss un šeit mīnuss.
00:57
Labi, kā es varu izveidot vienādojumu?
00:59
Kad mums ir darīšana ar šādām ķēdēm, man patīk par to domāt
01:03
sprieguma izteiksmē.
01:04
Es zinu – tā kā pa vidu nav citu ķēdes elementu,
01:09
potenciāls šajā punktā ir tāds pats kā potenciāls šajā punktā.
01:12
Un līdzīgi, potenciālam šajā punktā jābūt tādam pašam kā potenciālam
01:16
šajā punktā. Tāpēc es zinu, ka jebkurā laika brīdī
01:19
spriegumam uz kondensatora jābūt vienādam ar sprieg... ar
01:25
ģeneratora spriegumu, un ar to es varu sākt.
01:28
Uzrakstīsim to. Mēs varam teikt, ka jebkurā laika brīdī
01:31
spriegumam uz kondensatora jābūt vienādam ar ģeneratora spriegumu,
01:36
jeb avota spriegumu.
01:39
Labi.
01:40
Tagad jautājums: kā mēs noskaidrosim, kāds ir spriegums uz
01:43
kondensatora?
01:45
Mēs jau iepriekš no kondensatora vienādojuma redzējām, ka spriegums uz kondensatora ir vienkārši
01:48
lādiņš uz kondensatora.
01:51
Izmantošu rozā krāsu lādiņam.
01:52
Lādiņš uz kondensatora, dalīts ar kapacitāti.
01:56
Tā ir kapacitātes definīcija, vai ne?
02:00
Tātad tas ir lādiņš pret kapacitāti.
02:02
Tas būtībā nozīmē, ka, lai ģen... lai radītu spriegumu,
02:04
kondensatoram ir jāuzlādējas.
02:06
Tātad šobrīd tur ir jābūt kādam lādiņam.
02:08
Varam to saukt par lādiņu q.
02:10
Un šis lādiņš, šī lādiņa dēļ pastāv potenciālu starpība,
02:14
un šis spriegums ir vienāds ar ģeneratora spriegumu.
02:17
Tātad tam jābūt vienādam ar ģeneratora spriegumu, avota spriegumu,
02:21
kas ir V0 sin omega t.
02:25
Un no tā es iegūstu vienādojumu lādiņam.
02:28
Es zinu, ka lādiņam jābūt vienādam ar C reiz V0 sin omega t.
02:37
Es atradu izteiksmi lādiņam uz kondensatora, un,
02:40
tā man saka, ka lādiņš uz kondensatora nav konstants.
02:43
Tas nepārtraukti svārstās, tāpat kā spriegums, kas nav pārsteidzoši.
02:47
Es sagaidītu, ka kondensators uzlādējas un izlādējas, un uzlādējas un izlādējas,
02:51
tāpēc lādiņš turpinās nepārtraukti mainīties.
02:53
Es atradu izteiksmi lādiņam.
02:55
Ē, bet es gribu izteiksmi strāvai, [iesmejas] nevis lādiņam.
02:58
Kā lai es tieku no šī pie tā, no šī pie tā?
03:01
Gribu, lai tu apturi video un nedaudz padomā, kā iegūt strāvu
03:04
no šīs izteiksmes.
03:07
Labi? Paskatīsimies.
03:08
Mans jautājums: vai varu vienkārši teikt, ka strāva ir vienāda ar lādiņu dalītu ar laiku?
03:14
Tātad, ja izdalu šo ar laiku, es iegūšu strāvu.
03:17
Vai varu tā teikt?
03:18
Vai vari apturēt video un padomāt, [iesmejas] vai tas ir pareizi vai nepareizi?
03:21
Ja tas ir... Jā, un kāpēc.
03:25
Labi, es tā nevaru teikt.
03:27
Tas nav pareizi.
03:28
Iemesls, kāpēc nevaru tā teikt, ir tāds, ka tas darbotos tikai tad, ja strāva būtu
03:31
konstanta.
03:34
Ja lādiņa daudzums, kas plūst sekundē, ir konstants, tikai tad es varu teikt,
03:38
ka tas ir lādiņš dalīts ar laiku.
03:40
Bet skaidrs, ka mūsu gadījumā strāva nebūs konstanta.
03:42
Tā nepārtraukti mainīs savu vērtību, tā mainīs savu
03:45
virzienu. Tāpēc mums ir jāatvasina.
03:50
Tātad šeit strāva būs dq pret dt.
03:57
Jāaplūko ļoti mazs lādiņa daudzums, kas plūst ļoti īsā
04:02
laika posmā, un tā būtu strāva tajā laika brīdī.
04:06
Un lai precizētu, tu varētu teikt: "Ei,
04:09
tas ir lādiņš uz kondensatora."
04:11
Tātad, kad tu atvasini, tu aprēķini, cik ātri lādiņš uz
04:14
kondensatora mainās.
04:16
Vai tā ir strāva?
04:17
Jā, jo kondensatora lādiņa maiņas ātrums ir tāds pats kā
04:21
ātrums, ar kādu lādiņi plūst šeit.
04:23
Ja sekundē plūst 10 kuloni, tad 10 kuloni nonāk
04:26
uz kondensatora plates, labi?
04:29
Tātad ātrums, ar kādu mainās lādiņš uz plates, ir vienāds ar
04:32
strāvu, un tam ir jēga.
04:34
Tātad atkal, ja nevarēji to izdarīt iepriekš, tagad būtu īstais brīdis apturēt un paskatīties,
04:38
vai vari atvasināt un redzēt, kādu izteiksmi iegūsti strāvai.
04:42
Labi.
04:43
Tātad C un V0 ir konstantes, tās var iznest priekšā.
04:49
Un sinusa atvasinājums būs cos omega t.
04:54
Bet tas nav viss. Atceries, mēs atvasinām pēc laika,
04:57
tāpēc jāizmanto jāatvasina arī iekšējā funkcija, un tad omega izlec ārā.
05:00
Un tātad, ziniet, reiz omega, es to omegu pierakstīšu šeit.
05:03
Un, lūk, mēs esam atraduši izteiksmi strāvai.
05:07
Bet tagad mēs to gribam salīdzināt ar spriegumu un uzzīmēt grafiku,
05:11
vai ne? Tāpēc mēģināsim to pārveidot tādā pašā formātā, kādā ir sprieguma
05:14
vienādojums.
05:16
Pirmā lieta, ko redzu – šī daļa šeit, šī daļa,
05:22
tagad apzīmē mūsu maksimālo strāvu, tāpat kā šī daļa apzīmē maksimālo
05:28
spriegumu. Un tas mums uzreiz pasaka, ka, lai gan ķēdē nav
05:33
pretestības, mūsu strāva ir ierobežota.
05:36
Ir maksimālā vērtība, un tā ir atkarīga no visiem šiem skaitļiem.
05:40
Mēs runāsim vairāk par to, kāpēc vai kā tas viss notiek, nākotnes video,
05:44
bet tagad pievērsīsimies šai daļai.
05:46
Šī ir tā daļa, kas mani patiešām interesē.
05:48
Lai salīdzinātu, kas notiek ar mūsu strāvu,
05:51
būtu lieliski, ja mums šeit būtu tā pati funkcija.
05:54
Šeit mums ir sinuss, šeit mums ir kosinuss.
05:56
Būtu lieliski, ja mēs varētu arī šo pārveidot par sinusa funkciju,
05:59
un tad salīdzināt fāzes leņķi un redzēt, ko strāva dara attiecībā pret
06:03
spriegumu. Tātad atkal, [iesmejas] būtu lielisks brīdis pārbaudīt, vai vari apturēt
06:07
video un, izmantojot trigonometriju, pārveidot šo par sinusa funkciju,
06:11
un beigās pateikt, ko strāva dara attiecībā pret spriegumu,
06:14
un varbūt pat mēģināt izdomāt, kā izskatīsies grafiks...
06:19
Labi. Mēs zinām, kā pārveidot cos par sin.
06:23
Varam teikt, ka cos tēta var uzrakstīt kā sinusu no 90 mīnus tēta.
06:27
Tātad es varu teikt, ka tas ir sinuss no pī dalīts ar divi mīnus omega t.
06:34
Problēma ar mani, es domāju, atvainojiet, [iesmejas] problēma ar šo,
06:38
ne ar mani, bet labi, problēma, kas man ir ar šo, ir tā, ka man ir grūti
06:42
salīdzināt šo funkciju ar šo, jo šeit ir pozitīvs omega t,
06:47
bet tur ir negatīvs omega t.
06:49
Es tiešām nezinu, ko ar to iesākt.
06:50
Es nevaru pateikt, tikai paskatoties uz šo, ko manas strāvas svārstības dara
06:54
salīdzinājumā ar sprieguma svārstībām.
06:55
Man tas ir patiešām grūti.
06:57
Bet būtu bijis lieliski, ja es varētu to pārveidot par sinusa funkciju ar
07:01
pozitīvu omega t.
07:03
Tad man būtu tiešām, tiešām viegli pateikt, ko,
07:06
ko šīs svārstības dara salīdzinājumā ar šīm.
07:08
Tad es varu viegli salīdzināt.
07:10
Vai es to varu izdarīt?
07:12
Atbilde ir jā, jo atceries – sinuss no pī dalīts ar divi plus omega t arī ir
07:20
cos omega t, jo otrajā kvadrantā sinuss ir pozitīvs.
07:23
Tāpēc tā vietā es to rakstīšu kā sinusu no pī dalīts ar divi plus omega
07:29
t vai rakstīšu kā omega t plus pī dalīts ar divi.
07:34
Un viena lieta, ko atcerēties – nav svarīgi, vai atstāj to šādi
07:37
vai to maini. Grafiks nemainīsies.
07:39
Tas ir tikai mūsu saprašanai, tas ir ērtāks,
07:43
ērtāks veids, kā to pasniegt, un tu tūlīt redzēsi, kāpēc tas ir ērti.
07:47
Tagad, kad skatos uz šo, es uzreiz saprotu, ā!
07:50
Tātad atšķirība ir tāda, ka strāvai šeit ir plus pī dalīts ar divi, salīdzinot ar šo
07:55
fāzi. Tas nozīmē, ka strāvas svārstības apsteidz par fāzes leņķi
08:00
90 grādi, un tas nozīmē, ka tās svārstās par ceturtdaļciklu priekšā
08:06
spriegumam. Un tāpēc mēs sakām, ka kondensatorā strāva apsteidz spriegumu.
08:14
Tātad tie nesvārstās sinhroni viens ar otru, un pēc sekundes
08:16
mēs redzēsim animāciju.
08:17
Bet strāva apsteidz spriegumu par fāzes leņķi pī dalīts ar divi radiāni.
08:23
Un, ja skatītos uz grafiku, šis būtu strāvas grafiks, ja
08:29
strāva un spriegums būtu sinhroni.
08:32
Bet tagad, kad zinām, ka strāva apsteidz par pī dalīts ar divi,
08:36
gribu, lai tu atkal, [iesmejas] pēdējo reizi apturi un padomā
08:40
par to, kā šis – kā strāvas grafiks tiktu nobīdīts?
08:43
Vai domā, ka tas tiks nobīdīts kaut kur šādi, vai domā, ka tas tiks
08:46
nobīdīts kaut kur šādi?
08:47
Vai vari apturēt video un nedaudz par to padomāt?
08:50
Labi. Mēs gribam, lai mūsu strāvas grafiks būtu priekšā spriegumam.
08:55
Un sākumā varētu šķist, ka "priekšā" nozīmē, ziniet,
08:57
iet pa labi, jo tas ir laika virziens.
09:00
Bet atceries, tā ir nākotne.
09:02
Tātad, ja to nobīda pa labi, tas nozīmē, ka tas kavējas,
09:06
tas ir tālāk nākotnē.
09:08
Tāpēc mums tas jānobīda pa kreisi, lai teiktu, ka strāva parādās pirms
09:12
sprieguma. Saproti, ko domāju?
09:14
Tas nozīmē, ka mūsu strāva tiks nobīdīta pa kreisi.
09:18
Un par cik? Pusi no, vienu ceturtdaļciklu, tātad šī daļa būs šeit.
09:23
Tātad tas būs apmēram šādi.
09:26
Nu re, gatavs.
09:27
Tā izskatīsies strāvas grafiks.
09:30
Tas nozīmē, ka strāva vispirms sasniedz maksimumu, tad spriegums sasniedz
09:34
maksimumu. Strāva pirmā sasniedz nulli, tad spriegums sasniedz nulli.
09:39
Strāva pirmā sasniedz negatīvo maksimumu, tātad šie ir mūsu pozitīvie un negatīvie
09:43
maksimumi.
09:44
Tātad šis ir mīnus I nulle, šis ir plus I nulle.
09:48
Saproti domu? Strāva apsteidz spriegumu.
09:50
Un tagad parādīšu, kā to vizualizēt.
09:53
Šeit ir mūsu vizualizācija.
09:55
Veids, kā to vizualizēt, tāpat kā esam darījuši iepriekšējos video,
09:58
ir – es likšu grafikam iet atpakaļ, un tad mēs koncentrēsimies šeit,
10:02
un varēsim vizualizēt svārstības.
10:04
Es visu aptumšošu, un tagad var skaidri redzēt, ka spriegums dzenas pakaļ
10:09
rozā strāvai. Paskaties uz to.
10:10
Paskaties uz to! Un mēs varam izmantot bultiņas.
10:12
Strāva pirmā sasniedz maksimumu, un tad spriegums sasniedz maksimumu.
10:15
Vai redzi?
10:17
Un tāpēc mēs sakām, ka strāva apsteidz spriegumu.
10:22
Labi. Tātad stāsta morāle ir – tīri kapacitīvai ķēdei,
10:28
kā var atrast izteiksmi strāvai?
10:30
Mēs varam izmantot kondensatora vienādojumu, un tad, kad iegūts vienādojums
10:34
lādiņam, to var atvasināt, lai iegūtu strāvu.
10:37
Un mēs redzam, ka strāva svārstībās apsteidz spriegumu
10:42
par fāzes leņķi pī dalīts ar divi.
10:44
Un esmu pārliecināts, ka tev būs ļoti interesanti saprast, kāpēc tā notiek?
10:48
Kāpēc strāva apsteidz spriegumu?
10:49
Kas notiek? Kā mēs to varam loģiski saprast?
10:52
Visas šīs lietas mēs aplūkosim nākotnes video.
kapacitāte(capacitance)
kondensators(capacitor)
maiņstrāva(alternating current)

Eksperta komentārs

Video tiek analizēta maiņstrāvas ķēde, kas sastāv tikai no kondensatora un maiņsprieguma avota. Atsaucoties uz kondensatora kapacitātes definīciju un sakarību starp kondensatora lādiņu un spriegumu, tiek skaidrots, kāpēc jebkurā laika momentā spriegums uz kondensatora ir vienāds ar avota spriegumu. Izmantojot maiņsprieguma vienādojumu, tiek iegūts vienādojums lādiņam uz kondensatora plaknēm, bet pēc tam, izmantojot atvasināšanu (sakarību i=dqdti=\frac{dq}{dt}), iegūts strāvas stipruma vienādojums .

Salīdzinātas strāvas stipruma un sprieguma svārstību fāzes. Tiek parādīts, ka maiņstrāvas ķēdē ar kondensatoru strāvas stiprums apsteidz spriegumu par ceturtdaļu perioda jeb fāzes leņķi π/2\pi/2 (90°). Šī sakarība tiek detalizēti analizēta gan matemātiski, gan grafiski, izmantojot animētas sprieguma un strāvas svārstību vizualizācijas.

Piezīme par apzīmējumiem un terminoloģiju. Video avota maiņsprieguma momentāno vērtību apzīmē ar VsV_{\mathrm{s}}, bet maksimālo sprieguma vērtību ar V0V_{\mathrm{0}}. Latviešu mācību literatūrā parasti izmanto apzīmējumus uu un UmU_{\mathrm{m}}. Tāpat video izmantots apzīmējums VCV_C spriegumam uz ķēdes elementa, savukārt latviešu fizikā lieto apzīmējumu UCU_C kondensatora spriegumam.