Stāvviļņi caurulē ar slēgtiem galiem

Apskatīt video Khan Academy platformā: Khan AcademyStanding waves in closed tubes

Transkripts:
00:01
Pagājušajā reizē mēs redzējām, ka vaļējai,
00:03
vaļējai caurulei vai abos galos vaļējai caurulei,
00:06
caurulei, kurai abi gali bija vaļā,
00:08
bija atļauti tikai noteikti viļņu garumi,
00:11
jo abos galos bija jābūt blīzuma punktiem.
00:15
Bija šis.
00:17
Mums bija šis.
00:19
Mums ir šis,
00:21
un mēs atradām viļņa garumu visiem šiem.
00:23
Tad mēs sapratām, pagaidi mirklīti,
00:24
mēs varam uzrakstīt formulu!
00:26
Jebkuram iespējamam viļņa garumam,
00:28
abos galos vaļējā caurulē,
00:31
un tas ir atkarīgs tikai no caurules garuma L un n.
00:36
n ir harmonika, par kuru mēs runājam.
00:39
Viens ir pamatharmonika, divi ir otrā harmonika,
00:42
trīs ir trešā harmonika, četri un tā tālāk.
00:45
Šī formula deva jebkuru iespējamo viļņa garumu.
00:47
Jautājums ir, vai mēs varam izdarīt to pašu,
00:50
ja mums būtu viens gals vaļā, otrs ciet?
00:52
Kas notiek, ja viens gals ir ciet?
00:54
Ko darīt, ja mēs šo galu aizveram,
00:56
tā, lai tas vairs nav vaļā.
00:59
Labi, darīsim to tūlīt. Aiziet!
01:01
Šeit ir slēgts gals.
01:03
Šis gals ir slēgts.
01:05
Tas vairāk līdzinās limonādes pudelei,
01:07
jo šis gals būtu vaļā,
01:09
augša, no kuras tu dzer, un apakša ir ciet.
01:12
Iekšā ir gaiss.
01:13
Ja tu pūt pāri augšai,
01:14
kādas iespējamās frekvences, kādi iespējamie viļņu garumi
01:17
varētu rasties?
01:18
Labi, ko mēs šeit zinām?
01:19
Mēs zinām, ka šis gals, šis gaiss ir atvērts,
01:22
jeb šī puse ir vaļā,
01:23
un tāpēc šī gaisa molekula var brīvi svārstīties.
01:26
Kāda veida punkts tas būs?
01:29
Tas būs blīzuma punkts,
01:30
jo tā var stipri svārstīties.
01:32
Šajā galā, šīs gaisa molekulas turpina
01:34
atsisties pret sienu.
01:36
Šajā galā ir jābūt mezgla punktam,
01:37
jo nevar būt nekādas nobīdes.
01:40
Ko mēs te darām?
01:42
Šis gals ir mezgla punkts.
01:44
Mēs to zinām. Es to uzzīmēšu uz ass.
01:46
Es zinu, ka šajā galā nav nobīdes.
01:48
Mēs atkal zīmējam nobīdes grafiku atkarībā no x.
01:51
Šajā gadījumā tā ir horizontālā nobīde.
01:53
Šis gals svārstīsies brīvi,
01:55
tāpēc es zinu, ka tur būs blīzuma punkts.
01:56
Tāpēc es to atlikšu tieši šeit.
01:58
Es uzzīmēšu vienkāršāko iespējamo vilni,
02:01
kas var iet no šī blīzuma punkta
02:02
uz šo mezgla punktu un izskatīsies šādi.
02:06
Blīzuma punkts, un tas pa līkni iet tieši uz leju līdz mezgla punktam.
02:09
Tas arī viss.
02:10
Kāds ir šis viļņa garums?
02:11
Attiecībā pret šīs caurules garumu,
02:15
ja šis ir L,
02:18
kāds ir šis viļņa garums, izteikts ar L?
02:21
Mums ir jāizdomā, cik liela daļa no viļņa garuma tas ir.
02:23
Tas vienmēr ir tas āķis. Tas ir tas, kas skolēnus biedē.
02:26
Viņiem nepatīk rēķināt, cik viļņu garumu tas būtu.
02:30
Tas nav pārāk grūti.
02:31
Pirmā lieta, ko man patīk darīt, ir uzzīmēt,
02:33
kā, manuprāt, izskatās viens viļņa garums.
02:36
Tātad, kā izskatās viens viļņa garums?
02:38
Viens viļņa garums izskatās šādi.
02:40
Ja mēs sākam šeit augšā,
02:42
viļņa garums iet visu ceļu
02:44
un tad atpakaļ uz to pašu punktu procesā.
02:46
Nu re. Tas ir viens vesels viļņa garums,
02:50
vismaz, ja tas ir grafiks "atkarībā no x".
02:53
Tātad, cik liela daļa no viļņa garuma ir rozā līnija
02:55
šai pirmajai pamatfrekvencei?
02:58
Pirmajam pamatviļņa garumam?
02:59
Tas sākas augšā, tātad sāksim augšā.
03:02
Tas iet, un šī lieta vienkārši iet līdz pirmajai
03:05
ass šķērsošanai, un tas ir mezgla punkts.
03:08
Tātad, šī lieta šķērso asi šeit. Tas arī viss.
03:10
Tas ir viss, kas mums ir. Mums ir liels, garš...
03:12
kas tas ir? Tā ir 1/4 no viļņa garuma.
03:15
Tā ir viena ceturtdaļa, un tā iet līdz šejienei.
03:17
Tā ir vēl viena ceturtdaļa.
03:19
Šeit ir vēl viena ceturtdaļa, un šeit vēl viena ceturtdaļa.
03:21
Tātad, tā ir tikai 1/4 no viļņa garuma.
03:24
Daudziem cilvēkiem to ir grūti saskatīt.
03:26
Viss kopā ir viens viļņa garums.
03:29
Puse no tā ir puse, tātad, ja es to pārgriežu uz pusēm,
03:31
tā ir puse, un es šo pusi pārgriežu vēlreiz uz pusēm,
03:34
es iegūstu vienu ceturtdaļu.
03:35
Tātad, ko es atklāju, ir tas, ka
03:37
garums L ir vienāds ar vienu ceturtdaļu
03:41
no viļņa garuma šajā gadījumā.
03:42
Mūsu pamatviļņa garums, dalīts ar 4,
03:45
ir vienāds ar šīs caurules garumu.
03:47
Tātad, ja es gribu zināt, cik ir viļņa garums,
03:49
tas nozīmē, ka mans viļņa garums pamatfrekvencei
03:52
vienā galā vaļējam, otrā slēgtam gadījumam ir 4 L.
03:55
Es to uzrakstīšu šeit.
03:56
Lambda ir vienāds ar 4 L,
03:59
un tas būtu pamatviļņa garums
04:04
šai vienā galā vaļējai, otrā slēgtai caurulei.
04:06
Tas ir lielāks.
04:07
Abos galos vaļējai caurulei tas bija 2 L, tātad šeit ir 4 L.
04:10
Kā būs ar nākamo?
04:11
Labi, mēs sākām blīzuma punktā,
04:14
un nonācām līdz mezgla punktam.
04:15
Nākamais vienkāršākais gadījums ir...
04:17
nu, mums nebija mezgla punktu pa vidu.
04:19
Mums bija tikai viens galā.
04:20
Tātad tagad man vajag mezgla punktu vidū.
04:22
Es izveidošu mezgla punktu vidū,
04:25
un tad man jātiek visu ceļu atpakaļ
04:26
līdz mezgla punktam šajā galā.
04:29
Tātad man ir viens mezgla punkts šeit. Man ir mezgla punkts galā.
04:32
Man ir šis blīzuma punkts šeit un blīzuma punkts šeit augšā.
04:35
Cik viļņu garumu tas ir?
04:37
Izrēķināsim. Sāksim no augšas.
04:39
Labi, tas iet visu ceļu uz leju,
04:41
garām mezgla punktam un atpakaļ augšā.
04:42
Tātad visu ceļu uz leju, garām mezgla punktam,
04:45
atpakaļ augšā un beidzas mezgla punktā.
04:47
Tik liela daļa no viļņa garuma man te ir?
04:50
Cik daudz tas ir?
04:51
Tā ir viena ceturtdaļa, divas ceturtdaļas, trīs ceturtdaļas.
04:54
Šoreiz L ir manas caurules garums.
04:57
Kāda viļņa garuma daļa ietilpst L?
05:00
Šajā gadījumā tās ir trīs ceturtdaļas no viļņa garuma.
05:03
Atkal, ja es to atrisinātu attiecībā pret viļņa garumu,
05:05
es iegūtu 4 L / 3.
05:10
Tātad nākamais iespējamais viļņa garums ir
05:13
4 L / 3.
05:17
Ja mēs atrisinām nākamajam,
05:19
uzzīmēsim to, sākot blīzuma punktā,
05:21
beidzot mezgla punktā, nākamais iespējamais,
05:23
nu, iepriekšējam bija viens mezgla punkts,
05:24
šoreiz tam būs divi mezgla punkti.
05:26
Es iešu lejā šeit.
05:27
Viens mezgla punkts, otrs mezgla punkts,
05:30
un tad tas nonāk (atpakaļ) līdz mezgla punktam galā.
05:32
Tātad mezgla punkts šajā galā, ir jābūt mezgla punktam šajā galā,
05:34
jo tas ir slēgts.
05:35
Šoreiz man ir divi mezgla punkti vidū.
05:38
Man ir blīzuma punkts šajā galā,
05:40
un divi blīzuma punkti vidū.
05:41
Tātad, cik viļņu garumu tas ir?
05:43
Labi, izrēķināsim.
05:44
Sāksim no augšas.
05:45
Labi, tas iet uz leju, vienkārši izsekosim tam.
05:48
Uz leju, sasniedz pirmo mezgla punktu,
05:51
lejā līdz blīzuma punktam,
05:53
atpakaļ augšā līdz mezgla punktam, tagad esmu ticis līdz šejienei.
05:56
Es turpinu. Es eju augšā līdz virsotnei, vēl neesmu pabeidzis.
05:59
Tagad esmu atpakaļ šeit augšā.
06:00
Man jāturpina vēl vienu ceturtdaļu no viļņa garuma.
06:05
Tas ir vairāk nekā viens viļņa garums.
06:06
Šoreiz L ir vienāds ar,
06:09
nu, tas ir viens vesels viļņa garums tieši līdz šim
06:12
punktam šeit.
06:15
Tad man jāpieskaita vēl viena ceturtdaļa
06:16
no viļņa garuma tam klāt.
06:18
Tātad, tas ir viens viļņa garums un ceturtdaļa,
06:20
vai citiem vārdiem sakot, tas ir,
06:21
tas ir piecas ceturtdaļas no viļņa garuma.
06:25
Piecas ceturtdaļas no viļņa garuma.
06:26
Tikai līdz šejienei ir viens vesels viļņa garums,
06:30
un man jāpieskaita tam vēl viena ceturtdaļa.
06:32
Tātad, ja es atrisinu attiecībā pret lambda, es iegūstu, ka lambda ir
06:34
4 L, ... mēs redzam sakarību.
06:37
Sakarības ir lieliskas. 4 L / 5.
06:40
Nākamais iespējamais viļņa garums ir 4 L / 5
06:44
un super, mēs tagad to varam izdarīt!
06:47
Tagad es redzu pietiekami.
06:48
Ja es gribu uzrakstīt jebkuru iespējamo viļņa garumu,
06:51
tas būs 4 L.
06:52
Skaties, 4 L, 4 L / 3, 4 L / 5.
06:55
Nākamais ir 4 L / 7.
06:57
Es secinu, ka iespējamie viļņu garumi
06:59
vienā galā vaļējai, otrā slēgtai caurulei ir 4 L / n.
07:02
Tikai tā vietā, lai būtu jebkurš vesels skaitlis,
07:07
vienīgie atļautie veselie skaitļi ir nepāra skaitļi.
07:11
Tātad es nedrīkstu ievietot 2 vai 4.
07:14
Tam jābūt 1, 3, 5 un tā tālāk.
07:19
Šeit ir formula. Tā ir tā.
07:21
Ja es gribu zināt, kādi ir iespējamie viļņu garumi,
07:22
kas atļauti vienā galā vaļējā, otrā slēgtā caurulē,
07:25
šī tā ir. Tā ir atkarīga no garuma. Tā ir atkarīga no n.
07:29
Izskatās tieši kā gadījumā ar abos galos vaļēju cauruli,
07:31
tikai tajā gadījumā bija 2 L.
07:34
Šajā gadījumā skaitītājā ir 4 L.
07:36
Četras reizes caurules garums,
07:37
un saucējā ir tikai nepāra veselie skaitļi.
07:39
Tas nozīmē, ka es iegūstu tikai nepāra harmonikas.
07:41
Šo 4 L / 3,
07:43
es nesauktu par otro harmoniku,
07:45
es to sauktu par trešo harmoniku.
07:47
Šo piecinieku šeit apakšā es nesauktu par trešo,
07:50
es to sauktu par piekto.
07:51
Mēs šajā gadījumā izlaižam visas pāra harmonikas
07:56
vienā galā vaļējai, otrā slēgtai caurulei.
07:58
Tas ir nedaudz dīvaini,
07:59
bet tā notiek, kad tev ir
08:00
blīzuma punkts šajā galā,
08:01
un obligāts mezgla punkts tajā galā.
08:05
Tu vari to pamēģināt. Skaties, tā ir funkcija no L.
08:08
Ja tu gribi to pārbaudīt,
08:09
nākamreiz, kad dzersi limonādi.
08:10
Skaties, ja L ir liels,
08:12
ja tavas caurules garums ir liels,
08:15
tas nozīmē, ka viļņa garumam jābūt lielam.
08:17
Ja viļņa garums ir liels,
08:19
nu, paskatīsimies.
08:20
v = λf.
08:23
Ja tev ir liels viļņa garums,
08:25
tas nozīmēs mazu frekvenci,
08:26
jo ātrums nemainīsies.
08:28
Ātrumu nosaka vide,
08:30
un tu, visticamāk, nemaini vides temperatūru
08:32
neko daudz.
08:34
Varbūt tev dzērienā ir ledus vai kas tāds,
08:36
bet, ja tas kūst, temperatūra nedaudz mainīsies.
08:38
Tas nemainīs ātrumu tik ļoti.
08:41
Ja tu palielini garumu,
08:42
tu palielināsi viļņa garumu,
08:43
tas samazinās frekvenci.
08:45
Zema frekvence nozīmē zemu noti.
08:47
Tu dzirdēsi zemāku, basīgāku noti.
08:50
Pamēģini šo, es gribu, lai tu to izmēģini,
08:52
nākamreiz, kad dzersi limonādi,
08:54
vai varbūt tas ir veselīgs dzēriens.
08:58
Lai kas tas arī būtu.
08:59
Tev te ir limonāde, tā ir līdz noteiktam līmenim.
09:03
Lai kur arī būtu ūdens, tas darbojas kā caurules apakša.
09:06
Šobrīd man ir tikai šāda garuma caurule.
09:10
Augša ir vaļā,
09:11
un apakša būtībā ir tur,
09:13
kur ir ūdens līmenis,
09:14
jo gaiss nevar tikt cauri šim ūdens līmenim.
09:17
Tad garums būtu tikai tik liels.
09:18
Turpinot dzert,
09:20
turpini pūst pāri augšai.
09:22
Turpinot pūst pāri augšai,
09:23
klausies, kādu noti tu dzirdi.
09:25
Tev vajadzētu dzirdēt arvien zemāku noti.
09:27
Jo zemāk tas nonāk, kad tas ir līdz šejienei,
09:31
tagad tavs garums...
09:32
tavas caurules garums ir lielāks.
09:35
Tā ir vaļā augšā, ciet apakšā.
09:36
Tu dzirdēsi vēl zemāku noti,
09:38
kad tas nonāks līdz šejienei.
09:39
Kad tu beigsi,
09:40
tagad tā ir vēl garāka.
09:42
Tu dzirdēsi daudz zemākas notis.
09:44
Notīm vajadzētu kļūt arvien zemākām.
09:46
Ne skaļākām un skaļākām, bet zemākām un zemākām,
09:48
frekvencei vajadzētu izklausīties arvien zemākai,
09:51
jo zemāks kļūst dzēriena līmenis.
09:52
Jo lielāks garums, jo lielāks viļņa garums,
09:54
jo mazāka frekvence.
rezonanse(resonance)
stāvviļņi(standing waves)
viļņa garums(wavelength)

Eksperta komentārs

Video ir aplūkota rezonanse un stāvviļņu veidošanās caurulē, kurai viens gals ir vaļējs, bet otrs slēgts. Tiek parādīts, ka vaļējā galā veidojas blīzums, bet slēgtajā galā – mezgls. Analizējot iespējamos stāvviļņus, iegūta sakarība starp caurules garumu un rezonējošo viļņa garumu: λ=4Ln\lambda=\frac{4L}{n}, kur n=1,3,5,…n=1,3,5,\ldots Parādīts, ka šādā caurulē iespējami tikai tie stāvviļņi, kuriem atbilst nepāra skaitļi n. Tiek izskaidrots, kā no caurules garuma noteikt iespējamos rezonanses viļņa garumus un frekvences. Noslēgumā aplūkots konkrēts piemērs ar pudeli vai glāzi. Samazinoties šķidruma līmenim, palielinās gaisa staba garums, tādēļ palielinās rezonējošā viļņa garums un samazinās skaņas frekvence. Rezultātā dzirdamā skaņa kļūst zemāka.

Jēdzieni: rezonanse, stāvvilnis, viļņa garums, frekvence, mezgls, blīzums, skaņas vilnis, rezonējošs gaisa stabs.