Koordināta, ātruma vektors un ātruma vektora modulis

- [Instruktors] Izpētīsim jēdzienus: atrašanās vieta,

ceļa ātrums un ātrums.

Sāksim ar piemēru.

Mums te kaut kur uz ceļa ir novietota automašīna.

Kāda ir tās atrašanās vieta?

Sāksim ar to.

Kāda ir tās atrašanās vieta?

Atrašanās vietas nozīme būtībā ir novietojums.

Tas arī viss.

Tā ir atrašanās vieta.

Bet kā to izmērīt?

Tam mums nepieciešams atskaites punkts.

Atrašanās vietu vienmēr mēra,

mērot, cik tālu tā ir no kāda atskaites punkta.

Piemēram, izvēlēsimies šo kā atskaites punktu.

Parasti atskaites punktu saucam par nulli,

vai arī par sākumpunktu, kā vien vēlies.

Tas nav obligāti, bet tā darīt ir ērti.

Un tagad varam veikt mērījumu.

Ja to izmērām,

pieņemsim, ka tie ir 10 metri, tagad varam teikt:

"Ei, tās mašīnas atrašanās vieta ir 10 metri."

Bet tu uzreiz vari saskatīt vienu problēmu.

Ja es teiktu tikai, ka atrašanās vieta ir 10 metri,

mēs nezinātu, vai tu runā

par 10 metriem pa labi vai 10 metriem pa kreisi.

Tāpēc viens veids, kā to atrisināt,

ir teikt: "Atrašanās vieta ir 10 metri pa labi", labi?

Bet cits veids, kā to pateikt, pateikt to pašu,

ka atrašanās vieta ir 10 metri pa labi,

ir izvēlēties,

ka visas atzīmes pa labi no sākumpunkta

ir ar plus zīmi, un viss pārējais

kreisajā pusē ir ar mīnus zīmi.

Un tagad mēs varētu teikt, ka mašīnas atrašanās vieta

ir +10 metri.

Tas automātiski nozīmē, ka tā ir 10 metrus pa labi.

Atkal jau, nav obligāti jāizvēlas,

ka labā puse ir ar plus zīmi.

Tu vari izvēlēties, ka arī kreisā puse ir ar plus zīmi.

Tu vari brīvi par to izlemt.

Tā vienkārši ir pieņemts,

izvēlēties labo pusi kā pozitīvo.

Un līdzīgi, ja mašīna būtu novietota,

piemēram, uz vertikāla ceļa,

tad mēs parasti izvēlētos virzienu uz augšu kā pozitīvu.

Atkal jau, tā ir vienošanās, bet parasti mēs tā darām.

Un tā rezultātā, skaties,

šīs mašīnas atrašanās vieta kļuva -15 metri.

Mīnus zīme norāda, ka tā ir zem mūsu atskaites punkta.

Jebkurā gadījumā, varam turpināt un pierakstīt atrašanās vietu.

Parasti atrašanās vietas apzīmēšanai izmantojam burtu x.

Bet atkal, tu vari izvēlēties jebko citu.

Tā vienkārši ir pieņemts.

Mūsu gadījumā x ir vienāds ar 10 metriem.

Tu varētu rakstīt +10,

lai norādītu plusu pozitīvajā pusē.

Bet pat ja neuzraksti plusu, tas ir saprotams.

Ja priekšā nav nekādas zīmes,

tas jau nozīmē, ka tas ir pozitīvs.

Bet es varēju arī rakstīt 10 metri pa labi.

Es varēju rakstīt 10 metri.

Es būtu uzzīmējis šādu bultiņu.

Visi šie varianti apzīmē vienu un to pašu.

Bet, kā redzi, svarīgi ir tas,

ka, lai apzīmētu atrašanās vietu,

tev vajag gan moduli, 10 metrus,

gan virzienu kā zīmi, vai arī tu to uzraksti,

vai izmanto bultiņu,

bet tev ir gan modulis, gan virziens.

Lielumus, kuriem ir gan modulis, gan virziens,

sauc par vektoriāliem lielumiem.

Tātad atrašanās vieta ir vektoriāls lielums,

jo tai nepieciešams virziens.

Un mēs to attēlojam, izmantojot bultiņu.

Svarīgi par atrašanās vietas vērtību ir tas,

ka, ja mēs būtu izvēlējušies pavisam citu atskaites punktu,

piemēram, ja mēs būtu izvēlējušies atskaites punktu

kaut kur šeit, teiksim, kaut kur šeit.

Skaties, tagad mašīnas atrašanās vieta ir mainījusies.

Lai gan mašīna nav izkustējusies,

tās jaunā atrašanās vieta ir -5 metri.

Tas ir tāpēc, ka mainījies atskaites punkts.

Tātad vērtība, šī atrašanās vietas vērtība,

ir atkarīga no tā, kur izvēlies atskaites punktu.

Cits veids, kā to pateikt,

ir teikt, ka atrašanās vieta ir atkarīga no atskaites sistēmas.

Tāpēc vienmēr ir svarīgi zināt,

kur ir tavs atskaites punkts,

kuru virzienu esat izvēlējušies, pozitīvo un negatīvo.

Jebkurā gadījumā, atgriežoties pie tēmas,

liksim tai mašīnai tiešām kustēties.

Pieņemsim, ka mašīna pārvietojas no šejienes uz šejieni 3 sekundēs.

Tagad varam definēt jaunu lielumu, ko sauc par ātruma vektoru.

Ātrums ir mērs tam, cik strauji

mainījās mašīnas atrašanās vieta.

Un to aprēķina kā atrašanās vietas izmaiņu jeb pārvietojumu.

Trīsstūris nozīmē delta,

tas nozīmē atrašanās vietas izmaiņu (pārvietojumu),

dalītu ar laiku, kas pagājis šīs izmaiņas laikā.

Tātad mūsu piemērā, mūsu piemērā,

kāda ir atrašanās vietas izmaiņa?

Sākumā tā bija šeit.

Tā nokļuva šeit.

Tātad no 10 līdz 25,

atrašanās vieta ir mainījusies par 15 metriem.

Kā es ieguvu 15?

Es vienkārši atņēmu: 25 mīnus 10, pareizi?

Es rēķināju 25 metri mīnus 10 metri.

Tā ir atrašanās vietas izmaiņa.

Dalīts ar patērēto laiku, kas ir 3 sekundes.

Tātad 25 - 10 ir 15, 15 dalīts ar 3 ir 5 metri sekundē.

Ko šis skaitlis nozīmē?

Pirmkārt, mēs te redzam plus zīmi.

Tas nozīmē, ka ātrums ir vērsts pa labi,

un tas ir loģiski.

Atrašanās vieta ir mainījusies uz labo pusi.

Ātrums arī ir vektoriāls lielums, labi?

Tā kā atrašanās vieta ir vektoriāls lielums,

tad arī ātrums kļūst par vektoriālu lielumu.

Zīme tev pasaka,

kurā virzienā mainījusies atrašanās vieta,

ka jaunā atrašanās vieta ir pa labi

no manas sākotnējās atrašanās vietas.

Un ko saka skaitlis?

5 metri sekundē.

Tas nozīmē, ka, ja mašīna brauktu vienmērīgi,

tā mainītu savu atrašanās vietu par 5 metriem

pa labi katru sekundi.

Ja es varētu redzēt animāciju,

tā izskatītos šādi.

Pirmajā sekundē, skaties, tā mainījās par 5.

Un nākamajā sekundē tā atkal mainījās par 5 pa labi.

Un pēdējā sekundē atkal

tā mainījās par 5 metriem pa labi.

Protams, tu varētu jautāt:

"Kā būtu, ja mašīna nekustētos vienmērīgi?"

Ja nu tā sākumā brauktu ātrāk,

un vēlāk kļūtu lēnāka?

Tad tas vairs nenozīmētu,

ka tā brauc tieši 5 metrus sekundē.

Tad tas apzīmētu vidējo vērtību.

Bet par to pārāk neuztrauksimies.

Labi, paņemsim vēl vienu piemēru.

Teiksim, šoreiz mūsu mašīna brauc

no šejienes uz šejieni 5 sekundēs.

Kāpēc gan tev neaprēķināt, kāds ir ātrums?

Labi, paskatīsimies.

Ātrums ir, mums jānoskaidro

atrašanās vietas izmaiņa.

Kā mēs noskaidrojam atrašanās vietas izmaiņu?

Sākumā tā bija šeit.

Beigās tā nonāca šeit.

Atrašanās vietas izmaiņa vienmēr ir beigu mīnus sākuma.

Tieši to mēs darījām arī iepriekš.

Tātad beigu ātrums.

Ups, izmantosim to pašu krāsu.

Beigu atrašanās vieta, atvaino.

Beigu atrašanās vieta mīnus sākuma atrašanās vieta,

dalīts ar laiku, kas pagājis izmaiņas gaitā.

Un ko mēs iegūsim?

Tas ir 5 mīnus 25, kas ir -20.

-20 dalīts ar 5 ir -4.

Tātad šoreiz es iegūtu -4 metrus sekundē.

Atkal, ko tas nozīmē?

Atkal mīnus zīme saka,

ka ātrums jeb atrašanās vieta

šeit ir mainījusies pa kreisi.

Un tas ir loģiski.

Mēs to redzam, burtiski redzam, ka atrašanās vieta mainījusies.

Jaunā atrašanās vieta ir kreisajā pusē

no sākuma atrašanās vietas.

To arī saka negatīvā zīme.

Bet ko saka 4 metri sekundē?

O, tas tagad saka, ka, ja mašīna

brauc vienmērīgi,

mašīna tagad veiktu 4 metrus.

Tā maina savu atrašanās vietu

par 4 metriem pa kreisi katru sekundi.

Tas ir nedaudz lēnāk nekā ieguvām iepriekš.

Runājot par ātrāk un lēnāk,

tas mums atgādina vēl vienu lielumu,

kaut ko, kas mums droši vien ir pazīstams.

Tas ir ātruma vektora modulis.

Uztver ātruma vektora moduli kā to, cik ātri

tu veic noteiktu attālumu.

Un ātruma vektora moduli aprēķinām kā veikto ceļu dalītu ar laiku.

Un atkal, tas būtu patiesi, ja mašīna

brauktu ar nemainīgu ātruma vektora moduli, bet, ja nē,

tas apzīmētu vidējo ātrumu, tāpat kā iepriekš.

Bet jebkurā gadījumā, tagad varam jautāt:

"Kāda ir atšķirība starp ātruma vektora moduli un ātruma vektoru?"

Tie izklausās ļoti līdzīgi, vai ne?

Paskatīsimies uz mūsu piemēriem

vēlreiz un aprēķināsim ātruma vektora moduli.

Pirmajā gadījumā, kāds tas ir?

Ātruma vektora modulis šeit bija,

jeb vidējais ātrums, man būtu jāsaka.

Kāds ir veiktais ceļš?

Veiktais ceļš ir no 10 līdz 25.

Tie ir 15 metri dalīti ar laiku,

kas patērēts šī ceļa veikšanai, kas ir 3 sekundes.

Un 15 dalīts ar 3 ir 5.

Es iegūstu to pašu atbildi kā iepriekš,

5 metri sekundē.

Atkal, ko tas nozīmē?

Tas nozīmē, ka mašīna veic

5 metru attālumu katru sekundi,

ja tā brauktu vienmērīgi.

Bet ja nē, tad tas apzīmētu

vidējo vērtību, tāpat kā iepriekš.

Tāpēc vispārīgi mēs to parasti saucam

par vidējo ātrumu, labi?

Bet tas ir tāds pats kā iepriekš.

Tātad kāda ir atšķirība starp ātruma vektora moduli un ātruma vektoru?

Apskatīsim otro piemēru.

Tas mums visu noskaidros.

Ja atgriežamies pie mūsu otrā piemēra,

kur mašīna brauca atpakaļ, kāds ir ātruma vektora modulis tagad?

Vai kāds ir vidējais?

Ups, labi, kāds tagad ir vidējais ātrums?

Vidējais ātrums būtu

veiktais ceļš dalīts ar laiku.

Atkal, kāds ir veiktais ceļš?

Šoreiz veiktais ceļš,

mašīna atbrauca no šejienes uz šejieni,

tātad veiktais ceļš ir 20.

Vai tas ir -20?

Kad runa ir par attālumu,

man vienalga, vai tā brauc pa kreisi

vai tā brauc pa labi.

Mani interesē tikai attālums, un attālums ir 20.

Un tā ir galvenā atšķirība.

Tātad šeit nebūs negatīvu zīmju,

tāpēc būs tikai 20 metri dalīts ar 5 sekundēm.

Tātad es iegūstu 20 dalīts ar 5.

Tas ir vienkārši 4 metri sekundē.

Un kā redzi, šeit nav zīmes.

Tas nozīmē, ka lielā atšķirība starp ātruma vektora moduli un ātruma vektoru

ir tā, ka ātruma vektora modulim ir tikai skaitliskā vērtība.

Tam nav virziena,

jo attālumam nav virziena.

Man vienalga, kurā virzienā notiek kustība.

Un tā kā tam nav virziena,

tas ir skalārs lielums.

Tā ir lielā atšķirība.

Tu vari domāt par šo ātrumu kā ātrumu bez virziena.

Tiem abiem ir vienādas mērvienības,

metri sekundē kā standarta mērvienība,

vai ikdienas dzīvē,

mērvienība būtu jūdzes stundā.

Tātad īsumā, lielā atšķirība starp ātruma vektoru un ātruma vektora moduli

ir tāda, ka, runājot par ātruma vektoru,

mums interesē pārvietojums.

Piemēram, ja mašīna sāktu no šejienes,

aizbrauktu šurp, un tad, teiksim, atgrieztos

tajā pašā atrašanās vietā, atrašanās vietas izmaiņa ir nulle,

jo mašīna ir atgriezusies tajā pašā atrašanās vietā, vai ne?

Tātad, attiecībā uz ātrumu,

nav atrašanās vietas izmaiņas, nav pārvietojuma.

Bet runājot par ātruma vektora moduli, tas saka:

"Man vienalga,

kur ir tava sākuma un beigu atrašanās vieta.

Mani interesē tikai, cik lielu attālumu esi veicis,

un tu esi veicis kaut kādu attālumu, vai ne?"

Attālums attēlo,

vari to uztvert kā odometra rādījumu savā mašīnā.

Tas skaitlis turpinās augt, vai ne?

Tātad tu būsi veicis noteiktu attālumu,

un tātad veiktais ceļš

šajā turp-atpakaļ braucienā nebūtu nulle.

Kā redzi, ātruma vektors ir vektoriāls lielums.

Virzienam ir nozīme.

Bet, runājot par ātruma vektora moduli, virzienam nav nozīmes.