Koordināta, ātruma vektors un ātruma vektora modulis

- [Skolotājs] Izpētīsim stāvokļa,

ātruma un vektoriālā ātruma jēdzienus.

Sāksim ar piemēru.

Mums te uz ceļa kaut kur stāv mašīna.

Kāds ir tās stāvoklis?

Sāksim ar to.

Tātad, kāds ir tās stāvoklis?

Stāvokļa nozīme būtībā ir atrašanās vieta.

Tas arī viss.

Tas ir tas, kas ir stāvoklis.

Bet kā to izmērīt?

Tam mums ir vajadzīgs atskaites punkts.

Atrašanās vietu vienmēr mēra,

nosakot, cik tālu tā ir no kāda atskaites punkta.

Piemēram, izvēlēsimies šo par atskaites punktu.

Atskaites punktu parasti sauc par nulli,

vai arī var to saukt par sākumpunktu, kā vien vēlies.

Tas nav obligāti, bet tā ir ērtāk.

Un tagad varam to izmērīt.

Ja tu to nomērīsi,

pieņemsim, ka sanāk 10 metri, tad mēs varam teikt:

„Šīs mašīnas stāvoklis ir 10 metri.”

Bet te uzreiz var pamanīt problēmu.

Ja es tikai teiktu, ka stāvoklis ir 10 metri,

mēs nezinātu, vai ir domāti

10 metri pa labi vai 10 metri pa kreisi.

Tāpēc viens veids, kā to atrisināt,

ir teikt: „Stāvoklis ir 10 metri pa labi.” Skaidrs?

Bet ir cits veids, kā pateikt to pašu,

ka stāvoklis ir 10 metri pa labi.

Cits veids ir izvēlēties,

ka visas atzīmes pa labi no sākumpunkta

ir pozitīvas, un viss pārējais

kreisajā pusē — negatīvs.

Un tagad mēs varam teikt, ka mašīnas stāvoklis

ir +10 metri.

Tas automātiski nozīmē, ka tie ir 10 metri pa labi.

Atkal jāpiebilst, ka nav obligāti jāizvēlas,

ka labā puse ir pozitīva.

Tu vari izvēlēties arī kreiso pusi kā pozitīvu.

Tā ir pilnīgi tava brīva izvēle.

Vienkārši ir pieņemts

izvēlēties labo pusi kā pozitīvo.

Līdzīgi, ja mašīna stāvētu,

teiksim, uz vertikālas trases,

tad mēs parasti izvēlētos augšupvērsto virzienu kā pozitīvu.

Atkal — tas ir pieņēmums, bet parasti mēs tā darām.

Un rezultātā, paskat,

šīs mašīnas stāvoklis kļuva -15 metri.

Mīnus zīme norāda, ka tā atrodas zemāk par mūsu atskaites punktu.

Jebkurā gadījumā mēs varam iet tālāk un pierakstīt stāvokli.

Stāvokļa apzīmēšanai parasti izmanto burtu x.

Bet, kā jau teicu, tu vari izvēlēties jebkuru citu.

Tas ir tikai tāds pieņēmums.

Mūsu gadījumā x = 10 metri.

Varētu rakstīt +10,

lai parādītu, ka tas ir pozitīvajā pusē.

Bet arī tad, ja plusu neraksta, tas ir saprotams.

Ja priekšā nav nekādas zīmes,

tas jau nozīmē, ka skaitlis ir pozitīvs.

Bet es varēju arī rakstīt „10 metri pa labi”.

Es varēju uzrakstīt 10 metri.

Es būtu uzzīmējis šādu bultiņu.

Visi šie apzīmējumi nozīmē vienu un to pašu.

Bet ir redzams, kas ir svarīgi:

lai aprakstītu stāvokli,

ir vajadzīgs gan lielums, 10 metri,

gan virziens — kā zīme vai uzrakstot to vārdiem,

vai izmantojot bultiņu.

Bet ir gan lielums, gan virziens.

Lielumus, kuriem ir gan lielums, gan virziens,

sauc par vektoriāliem lielumiem.

Tātad stāvoklis ir vektoriāls lielums,

jo tam ir nepieciešams virziens.

Un to mēs apzīmējam ar bultiņu.

Un svarīgi par stāvokļa vērtību ir tas, ka,

ja mēs būtu izvēlējušies pavisam citu atskaites punktu,

teiksim, ja mēs būtu izvēlējušies atskaites punktu,

kaut kur šeit, teiksim, kaut kur šeit.

Tagad paskat, mašīnas stāvoklis ir mainījies.

Lai gan mašīna nav kustējusies,

tās jaunais stāvoklis ir -5 metri.

Tas ir tāpēc, ka mainījās atskaites punkts.

Tātad vērtība, šī stāvokļa vērtība,

ir atkarīga no tā, kur tu izvēlies atskaites punktu.

Citiem vārdiem sakot,

stāvoklis ir atkarīgs no atskaites sistēmas.

Tāpēc vienmēr ir svarīgi zināt,

kur ir tavs atskaites punkts,

kuru virzienu tu esi izvēlējies kā pozitīvu un negatīvu.

Jebkurā gadījumā, atgriežoties pie tēmas,

liksim tai mašīnai beidzot kustēties.

Pieņemsim, ka mašīna no šejienes uz šejieni aizbrauc 3 sekundēs.

Tagad mēs varam definēt jaunu lielumu, ko sauc par vektoriālo ātrumu.

Vektoriālais ātrums ir mērs tam, cik strauji

mainījās mašīnas stāvoklis.

Un to aprēķina kā stāvokļa maiņu.

Trīsstūris nozīmē delta,

tas nozīmē stāvokļa maiņu,

dalītu ar laiku, kas pagāja šai stāvokļa maiņai.

Tātad mūsu piemērā, mūsu piemērā,

kāda ir stāvokļa maiņa?

Sākumā tā bija šeit.

Tā aizbrauca šurp.

No 10 līdz 25,

stāvoklis ir mainījies par 15 metriem.

Kā es dabūju tos 15?

Es vienkārši no 25 atņēmu 10, vai ne?

Es rēķināju 25 metri - 10 metri.

Tā ir stāvokļa maiņa.

Dalīts ar pagājušo laiku, kas ir 3 sekundes.

25 - 10 = 15, 15 / 3 = 5 metri sekundē.

Ko šis skaitlis nozīmē?

Pirmkārt, mēs te redzam pozitīvu zīmi.

Tas nozīmē, ka vektoriālais ātrums ir vērsts pa labi,

un tas ir loģiski.

Stāvoklis ir mainījies uz labo pusi.

Vektoriālais ātrums arī ir vektoriāls lielums, skaidrs?

Tā kā stāvoklis ir vektoriāls lielums,

tad arī vektoriālais ātrums kļūst par vektoriālu lielumu.

Tātad zīme tev pasaka,

kurā virzienā ir mainījies stāvoklis,

ka jaunais stāvoklis ir pa labi

no mana sākuma stāvokļa.

Un ko saka skaitlis?

5 metri sekundē.

Tas saka, ka, ja mašīna brauktu ar nemainīgu ātrumu,

tā mainītu savu stāvokli par 5 metriem

pa labi katru sekundi.

Ja es varētu redzēt animāciju,

tas izskatītos šādi.

Pirmajā sekundē, skat, tas mainījās par 5.

Nākamajā sekundē tas atkal mainījās par 5 pa labi.

Un pēdējā sekundē atkal,

tas mainījās par 5 metriem pa labi.

Protams, tu varētu jautāt,

ja nu mašīna nekustējās ar nemainīgu ātrumu?

Ja nu sākumā tā brauca nedaudz ātrāk,

un vēlāk kļuva nedaudz lēnāka?

Tādā gadījumā tas vairs nenozīmē,

ka tā brauc tieši 5 metrus sekundē.

Tad tas apzīmētu vidējo vērtību.

Bet par to pārāk neuztrauksimies.

Labi, apskatīsim vēl vienu piemēru.

Pieņemsim, ka šoreiz mūsu mašīna brauc

no šejienes uz šejieni 5 sekundēs.

Pamēģini izrēķināt, kāds ir vektoriālais ātrums.

Labi, paskatīsimies.

Vektoriālais ātrums ir... mums jāizrēķina

stāvokļa maiņa.

Kā mēs izrēķinām stāvokļa maiņu?

Sākumā tā bija šeit.

Beigās tā nonāca šeit.

Stāvokļa maiņa vienmēr ir beigu mīnus sākuma.

Tieši tā mēs darījām arī iepriekš.

Tātad beigu vektoriālais ātrums...

Ui, izmantosim to pašu krāsu.

Beigu stāvoklis, atvainojos.

Beigu stāvoklis mīnus sākuma stāvoklis,

dalīts ar laiku, kas pagāja šai maiņai.

Un ko mēs iegūsim?

5 mīnus 25 ir mīnus 20.

Mīnus 20 dalīts ar 5 ir mīnus 4.

Tātad šoreiz es iegūtu -4 metrus sekundē.

Atkal, ko tas nozīmē?

Mīnus zīme atkal norāda,

ka vektoriālais ātrums... ka stāvoklis

šeit ir mainījies pa kreisi.

Un tas ir loģiski.

Mēs redzam, mēs burtiski redzam, ka stāvoklis ir mainījies.

Jaunais stāvoklis ir pa kreisi

no sākuma stāvokļa.

To arī nozīmē negatīvā zīme.

Bet ko nozīmē 4 metri sekundē?

Tas tagad nozīmē, ka, ja mašīna

brauc ar nemainīgu ātrumu,

tā tagad veiktu 4 metrus.

Tā maina savu stāvokli

par 4 metriem pa kreisi katru sekundi.

Tas ir nedaudz lēnāk, nekā mēs ieguvām iepriekš.

Runājot par ātrāk un lēnāk,

tas prātā ienes vēl vienu lielumu,

kaut ko, kas mums, iespējams, ir pazīstams.

Tas ir ātrums.

Domā par ātrumu kā par to, cik strauji

tu veic kādu attālumu.

Un ātrumu aprēķina kā attālums dalīts ar laiku.

Un atkal, tas būtu pareizi, ja mašīna

brauktu ar nemainīgu ātrumu, bet, ja ne,

tas apzīmētu vidējo ātrumu, tāpat kā iepriekš.

Jebkurā gadījumā, mēs tagad varam jautāt:

„Kāda ir atšķirība starp ātrumu un vektoriālo ātrumu?”

Tie izklausās ļoti līdzīgi, vai ne?

Apskatīsim mūsu piemērus

vēlreiz un aprēķināsim ātrumu.

Pirmajā gadījumā, kāds ir ātrums?

Ātrums šeit bija,

vai, precīzāk sakot, vidējais ātrums.

Kāds ir veiktais attālums?

Veiktais attālums ir no 10 līdz 25.

Tie ir 15 metri, dalīti ar laiku,

kas tika pavadīts, veicot šo attālumu, t.i., 3 sekundes.

Un 15 / 3 = 5.

Es saņemu to pašu atbildi, ko iepriekš,

5 metri sekundē.

Atkal, ko tas nozīmē?

Tas nozīmē, ka tagad mašīna veic

5 metru attālumu katru sekundi,

ja tā brauktu ar nemainīgu ātrumu.

Bet, ja nē, tad tas apzīmētu

vidējo vērtību, tāpat kā iepriekš.

Tāpēc kopumā mēs to parasti saucam par

vidējo ātrumu, skaidrs?

Bet tas ir tas pats, kas iepriekš.

Tad kāda ir atšķirība starp ātrumu un vektoriālo ātrumu?

Ā, apskatīsim otro piemēru.

Tas mums visu noskaidros.

Ja atgriezīsimies pie otrā piemēra,

kur mašīna brauca atpakaļ, kāds ir ātrums tagad?

Vai kāds ir vidējais?

Ui, labi, kāds tagad ir vidējais ātrums?

Vidējais ātrums būtu

attālums dalīts ar laiku.

Atkal, kāds ir veiktais attālums?

Šoreiz veiktais attālums...

mašīna brauca no šejienes uz šejieni,

tātad veiktais attālums ir 20.

Vai varbūt -20?

Kad runa ir par attālumu,

man ir vienalga, vai tā brauc pa kreisi

vai pa labi.

Viss, kas man rūp, ir attālums, un attālums ir 20.

Un tā ir galvenā atšķirība.

Šeit nebūs nekādu negatīvu zīmju,

būs vienkārši 20 metri dalīts ar 5 sekundēm.

Es iegūstu 20 / 5.

Tie ir vienkārši 4 metri sekundē.

Un var redzēt, ka šeit nav nekādas zīmes.

Tas nozīmē, ka lielā atšķirība starp ātrumu un vektoriālo ātrumu

ir tāda, ka ātrumam ir tikai lielums.

Tam nav virziena,

jo attālumam nav virziena.

Man ir vienalga, kurā virzienā tas kustas.

Un, tā kā ātrumam nav virziena,

tas ir skalārs lielums.

Tā ir lielā atšķirība.

Ātrumu var uztvert kā vektoriālo ātrumu bez virziena.

Abiem ir vienādas mērvienības,

metri sekundē kā standarta mērvienība,

vai arī ikdienišķāka,

mērvienība būtu jūdzes stundā.

Īsumā, lielā atšķirība starp vektoriālo ātrumu un ātrumu

ir tāda, ka, runājot par vektoriālo ātrumu,

mums rūp, par cik ir mainījies stāvoklis.

Piemēram, ja mašīna startēja no šejienes,

aizbrauca šurp un tad, teiksim, atgriezās

tajā pašā vietā, tad stāvokļa maiņa ir nulle,

jo mašīna ir atgriezusies tajā pašā vietā, vai ne?

Tātad, kas attiecas uz vektoriālo ātrumu,

stāvoklis nav mainījies.

Bet, kad runa ir par ātrumu, ātrums saka:

„Man ir vienalga,

kāds ir tavs sākuma un beigu stāvoklis.

Viss, kas man rūp, ir, cik lielu attālumu tu esi veicis,

un tu esi veicis kādu attālumu, vai ne?”

Attālums ir tas,

par to var domāt kā par odometra rādījumu tavā mašīnā.

Šis skaitlis turpinās pieaugt, vai ne?

Tātad tu būsi veicis kādu attālumu,

un veiktais attālums

šajā turp-atpakaļ ceļā nebūs nulle.

Tātad, redzi, vektoriālais ātrums ir vektoriāls lielums.

Virzienam ir nozīme.

Bet, kad runa ir par ātrumu, virzienam nav nozīmes.